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重难点突破 03 解三角形大题专项训练
(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形的面积；二是给出三角形的面积，
求其他量．解题时主要应用三角形面积公式S＝absin C，此公式既与边长的乘积有关，又
与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．
(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的
量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法
求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A、B、C<π，b－c<a<b＋c，
三角形中大边对大角等．
【例1】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝
c.
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
(3)若c＝，△ABC的面积为S，求△ABC面积S的最大值；
(4)若c＝，△ABC的周长为L，求△ABC的周长L的取值范围；
(5)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC周长L的取值范围；
(6)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC面积S的取值范围．
(1)由已知及正弦定理得
【解答】
(1)由已知及正弦定理得
,
整理得 ,
的内角为 ,
,且 ,,又 .
(2)由余弦定理 ,得 ,
又 ,
得 ,
,
.
的周长为 .
(3)因为 ,由余弦定理得
,
即 ,
当且仅当 时“ ”成立。解得 .
又 面积 ,
则 .
故 面积 的最大值为 .
(4)由余弦定理得,
即 ,所以 ,又 ,解
得 ,则 的周长 .
(5)
为锐角三角形,且 ,
则 ,
所以 ,
,
所以 .
(6)由正弦定理得 ,
则 ,
所以.
为锐角三角形,且 ,则 ,
所以 ,
所以 .
1．（2023•临沂一模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 在 中 ， 由 已 知 及 正 弦 定 理 得 ：
，
即有 ，即 ，
而 ， ，则 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理 得， ，
因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
所以 面积的取值范围是 ．
2．（2023•泉州模拟） 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长的取值范围．
【解答】解：（1）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知
，
则 ，
则 ，
即 ，
又 ，
即 ，
又 ，
则 ；
（2）由 ，
由正弦定理 可得： ， ，则 ，
又 ，
即 ，
即 ，
则 ，
则 的周长的取值范围为 ．
3．（2023•德州一模）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求证： ；
（2）若 的角平分线交 于 ，且 ，求 面积的取值范围．
【解答】证明：（1） ，
由正弦定理可得， ，
，
，
，
，
为锐角三角形，
， ，
，
在 ， 上单调递增，
，即 ；
（2）解： ，
在 中， ，由正弦定理可得， ，
，
，
为锐角三角形，
，解得 ，
，
面积的取值范围为 ．
4．（2023•盐城三模）在 中， 为 的角平分线，且 ．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 ，求边 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
得： ，
解得 ，
所以 ．
（2）设 ， ， ，
由 得，
即 ，
所以 ，
又在 中 ，
所以 ，
得 ，
因为 且 ，
得 ，
则 ，
所以 ，
即边 的取值范围为 ．
5．（2023•抚松县校级模拟）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且____（填序号）．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求 的取值范围．
【解答】解：选①：由 可得： ，
即 ，化简可得： ，
因为 ，则 ；选②：由 可得： ，
则 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ；
选③：由 可得： ，
化简可得： ，
因为 ，则 ；
（1）选①②③均可得 ， ，
则 ， ，
由正弦定理可得： ，则 ， ，
所以 ；
（2）因为
，
为锐角三角形，则 ，
解得 ，所以 ，所以 ．
6．（2023•龙凤区校级模拟）如图，在 中， ．延长 到 ，使得 ，
且 ．（1）若 ，求 的面积；
（2）当 时，求 面积的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 在 中 ， ， 则
，即 ，
，
的面积为 ，
在 中， ，即 ，
，
的面积为 ．
的面积 ．
（2）在 中，设 ，
，则 ，
的面积 ，
，则 ， ， ， ，则 ，
面积的取值范围为 ， ．
7．（2023•安康一模）已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）若 ，求 外接圆的面积；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【解答】解：（1） ，
由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
又 ，故 ，
设 外接圆的半径为 ，则 ，解得 ，
故 外接圆的面积为 ．
（2）由（1）得 ，则 ，
为锐角三角形，
，解得 ，
又由正弦定理得 ，即 ，
，又 ，则 ，
，
故 面积的取值范围是 ．
8．（2023•定远县校级模拟）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向
量 ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
，
又 ，则 ；
（2）由（1）得 ，由余弦定理得 ，即 ，
又 ，则 ，
，即 ，
的周长为 ．
9．（2023•湖南三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 边上的高为 ，求 的周长．
【解答】解：（1）因为 ，
所以由 得 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，故 ，
则 ，解得 ；
（2）因为 ，令 ，
则 ，
由三角形面积公式可得 ，则 ，故 ，
由余弦定理可得 ，则 ，解得 ，
从而 ， ， ，
故 的周长为 ．
10．（2023•重庆模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
．
（1）求角 ；
（2）若 的面积为1，求 的周长的最小值．
【解答】解：（1） ，，
在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 即
，
，
又 ，则 ，
， ，
， ；
（2）由（1）得 ， 的面积为1，
，即 ，
在 中，由余弦定理得 ，当
且仅当 时，等号成立，
，
故 的周长的最小值为 ．
11．（2023•青羊区校级模拟）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， 为 在 方向上的投影向量，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的周长．
【解答】解：（1） 为 在 方向上的投影向量，
，又 ，
，
，
又 ， ，
，
， ， ， ，
又 ，
，
解得 ；
（2） ， ，
， ，
，
， ，
，
，
解得 ，
，的周长为 ．
12．（2023•麒麟区校级模拟）在锐角 中，角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，
从 条 件 ① ： ， 条 件 ② ： ， 条 件 ③ ：
这三个条件中选择一个作为已知条件．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围．
【解答】解：（1）选条件①：因为 ，所以 ，即
，
又因为 为锐角三角形，所以 ，
，所以 ；
选条件②：因为 ，所以 ，所以
，
又因为 ，所以 ；
选条件③：由正弦定理可得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
，所以 ；
（2），
， ，
所以 ，即 ，
又 ，
周长的取值范围为 ， ．
13．（2023•云南模拟）已知函数 在 上单调，
且 ．
（1）求 的解析式；
（2）若钝角 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，
求 周长的最大值．
【解答】解：（1）
，
在 上单调，且 ，
，解得 ，
又 ，则 为 的一条对称轴，
，解得 ， ，，即 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，
或 ，解得 或 ，
为钝角三角形， ，
由余弦定理 ，即 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
，
，
即 周长的最大值为 ．
14．（2023•晋中模拟） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 ，
且满足 ．
（1）求 的外接圆半径；
（2）若 的平分线 交 于点 ，且 ，求 的面积．
【解答】解：（1） ，
由正弦定理，得 ，则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理知 ，
所以 的外接圆半径为 ；
（2）由 平分 ，得 ，
则 ，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
又 ，
则 ，
联立 ，可得 ，解得 舍去），
故 ．
15 ． （ 2023• 枣 强 县 校 级 模 拟 ） 已 知 的 内 角 ， ， 满 足
．
（1）求角 ；
（2）若 的外接圆半径为1，求 的面积 的最大值．
【解答】解：（1）设内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
根据 ，
可得 ，
，
，又 ，
；
（2）由正弦定理得 ，
，
由余弦定理得 ，
的面积为 ，
（当且仅当 时等号成立），
面积 的最大值为 ．
16．（2023•湖南一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
且 ．
（1）求 的外接圆半径 ；
（2）求 内切圆半径 的取值范围．
【解答】解：（ 1）在 中，由正弦定理得 ，即
，
由余弦定理得 ，
又 ，则 ，
又 ，解得 ；
（2）由（1）得 ，则 ， ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
则
又 ，则 ， ， ，
．
17．（2023•西固区校级二模）若 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 周长的取值范围．
【解答】解：（1） 中，因为 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
由①②解得 ，
又 ，所以 ；
（2）由 ， ，
根据正弦定理得 ，所以 ， ，
所以 ；
又 ，所以 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 ， ．
18．（2023•榆林三模）已知 ， ， 分别为 的内角 ， ， 所对的边，
，且 ．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
而 ，
故 ，
所以 ；
（2）
，
因为 ，
所以 ， ，故 ， ．
19．（2023•武昌区校级模拟）已知 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若
满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
【解答】解：（1） 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若满足
，
由正弦定理知， ，
， ，
，
化简得 ，
， （其中 舍去），即 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
那么 的面积 （当且仅当 时等号成立），
则 面积的取值范围为 ， ．
20．（2023•晋江市校级模拟）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，
的面积 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 因 为 ， 由 正 弦 定 理 得 ：，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由 得： ；
由 得： ，即 ，即 ，
由余弦定理可得： ，
故 ，则 ，
令 ，则 ，解得 ，
由正弦定理得： ，故 的值为 或 ；
（2）由 得： ，即 ，
由余弦定理可得： ，
即 ，
故 ，
令 ，则 ，即 ，
由 得 ，故 ，
故 ，即得 ，故 的取值范围是 ．
21．（2023•安徽三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 ；
（2）设 的中点为 ，且 ，求 的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 及 正 弦 定 理 知 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ．
（2）设 ，则 ，
在 中，由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 ， ．
22．（2023•济宁三模）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由 ，即 ，
得 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ．
（2）由正弦定理 ，
所以
．
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 ．
23．（2023•浙江模拟）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满
足 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由题意得 ，
即 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理知， ，
， ，
， ，
又 是锐角三角形， ， ；
（2）在 中，由正弦定理得 ，
，
是锐角三角形，且 ；，解得 ，
， ，
线段 长度的取值范围为 ， ．
24．（2023•叙州区校级模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已
知 的面积 ， ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）求 周长的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由 ，可知： ，
．由正弦定理得 ．
由余弦定理得 ，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
， ．
的周长为，
， ，
， ，
的周长的取值范围为 ， ．
25．（2023•长沙模拟）已知向量 ，且函数 ．
（1）求 的最小正周期及对称中心；
（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，角 为锐角， ．若
，且 的面积为 ，求 的周长．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
，
由 ，
故最小正周期为 ，
由 ， ，
， ，
的对称中心为 ， ， ．
（2）由于 ，
故 ，于是 ，
又 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
故 或 （舍去），
由余弦定理 ，则 ，
化简得： ，
，
，
的周长为 ．
26．（2023•琼海校级三模）在① ，② ，③
中选一个，补充在下面的横线中，并解答．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足____．
（1）求 ；
（2）若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值．
【解答】解：（1）若选①：因为 ，整理得
，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ；若选②：因为 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，
因为 ， ，则 ，则 ，
可得 ，所以 ；
若 选 ③ ： 因 为 ， 由 正 弦 定 理 可 得
，
则 ，
因为 ， ，则 ，则
可得 ，所以 ．
（2）由题意可得： ，且 ，
则 ，
即 ，且 ， ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，
所以 ，
故 的面积的最小值为 ．
27．（2023•沙坪坝区校级模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 为 中点，且 ，求 面积的最大值．
【解答】解：（1） ，
由正弦定理得： ，
， ．
，且 ，
， ，
；
（2）由（1） ，在 中，由余弦定理可得：
，
，
，
当且仅当 时取等号，此时 ， ，
，
．
28．（2023•邵阳一模）如图， 为 内的一点， 记为 ， 记为 ，且
， 在 中的对边分别记为 ， ， ， ， ．
（1）求 ；（2）若 ， ， ，记 ，求线段 的长和 面积的最
大值．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 已 知 ， 由 正 弦 定 理 可 得
，由 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
所以 ；
（2）在 中，由余弦定理得知： ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，因为 ，
所以当 ，即 时， 面积有最大值 ．
29．（2023•大连模拟）已知函数 的最小正周期为
是函数 一个零点．
（1）求 ， ；
（2）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，求 面积的
最大值．
【解答】解：（1）依题意， ，解得 ，
则 ，
又 是函数 一个零点，
则 ，可得 ，
又 ，则 ；
（2）由（1）可知， ，
则 ，
又 为 的内角，则 ，
由余弦定理可得， ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即 面积的最大值为 ．30．（2023•茂名一模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）求证： ；
（2）求 的取值范围．
【 解 答 】 证 明 ： （ 1 ） 在 中 ， 由 及 正 弦 定 理 得 ：
，
又 ，
， 即
，
，即 ，
，
，
，
， ；
（2）解：由 得 ，
，
，
由 题 意 ， 及 正 弦 定 理 得 ：
，
，即 ，
故 的取值范围为 ．
31．（2023•鼓楼区校级模拟）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对边长， ，且 ．
（1）求角 的值；
（2）求 面积的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，且 ，
由正弦定理得 ，
得到 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
（2）因为 ， ，
所以由正弦定理，可知 ，可得 ， ，
所以 面积，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
32．（2023•乌鲁木齐三模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 大小；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 余 弦 定 理 得 ， 即
，
再由正弦定理得 ，
，
，
，
又 ，
；
（2）由正弦定理得 即， ，而 ，
由 为锐角三角形，
且 ，则 ，
，即 ．
33．（2023•重庆模拟）在锐角 中， ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对
的边，外接圆周长为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）记 的面积为 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）因为外接圆周长为 ，
则有 ，解得 ，
由正弦定理可得： ，
又 ，
，
又 ，
， ，
，
由正弦定理可知： ．
（2） ， ，
由正弦定理得： ，是锐角三角形，
，
， ，
则 ．
34．（2023•武侯区校级模拟）已知函数 ，且
图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作
为已知条件作答．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象的一个对称中心为 ；
条件③： 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
（A），求 面积的取值范围．
【解答】解：（1） 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， ，即 ，
， ．
若选①②，则 ， ， ，即 ， ，
， ， ；
若选①③，则 ， ，即 ，， ， ，得 ，
；
若选②③， ， ，即 ， ，
， ，此时 ，
， ， ， ，
．
（2）由（1）知， ， ，
，
， ，
，
， ， ， ，
，即 面积的取值范围是 ．
35．（2023•河北模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 ；
（2）已知 的外接圆半径为4，若 有最大值，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，因为 ，则 ，可得 ，
则
，
又因为 ， ，则 ， ，整理得 ，
且 ，所以 ．
（2）由正弦定理 ，可得 ， ，
因为 ，则 ，
则
，
①若 ，即 时，则 ，
其中 ，
当 ，即 时， 取到最大值，符合题意；
②若 ，即 时，则 在 上单调递减，无最值，不符
合题意；
③若 ，即 时，则 ，
其中 ，
当 ，即 时， 取到最大值
注意到 ，则 ，可得 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围为 ．
