重难点突破03立体几何中线面平行与垂直证明专项训练（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第七章空间向量与立体几何

重难点突破 03 立体几何中线面平行与垂 直证明专项训练 1．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点． （1）求证： ； （2）求三棱锥 的体积． 【解答】解：（1）证明：在三棱柱 中， 平面 ，则 平面 ， 由 平面 ，则 ， 因为 ，则 ，又 为 的中点，所以 ， 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 由 平面 ，所以 ． （2）设点 到平面 的距离为 ，则 等于点 到平面 的距离 ，易知 ，△ 的面积为 ， 所以 ． 2．如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）设 ， ，求三棱锥 的体积． 【解答】解：（1）取 的中点 ，连接 ， 因为 ， 为 中点，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 ， 且 ， ， 平面 ，所以 平面 ． （2）由（1）知， 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又 ， ，所以 ， 因为 ，所以 为等腰三角形， 所以 ， 所以 ， 所以 ．3．如图，在正四棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点， ． （1）证明： ， ， ， 四点共面． （2）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 的值． 【解答】解：（1）证明：因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， ， 所 以 故 ， ， ， 四点共面； （2）由正四棱锥的对称性知， ， ， 设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ， 由 是 的中点得 ， 由 得 ， 所以 ． 4 ． 如 图 ， 已 知 四 边 形 为 菱 形 ， 平 面 ， 平 面 ，． （1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 平面 ，求 的长． 【解答】证明：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为四边形 为菱形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ， ， 平面 ， 所以平面 平面 ； 解：（2）设 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，所以 ， 底面 ， 以 为原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为 ，所以 ， 设 ，则 ，0， ， ， ，1， ， ，1， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，得 ， 因为 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 令 ，得 ， 因为平面 平面 ， 所以 ，解得 ， 故 的长为1． 5．如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形， ， 分别是 ， 的中点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 【解答】解：（1）证明：因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ；（2）因为 是等边三角形， 是 的中点， 所以 ， 因为 ， ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 因为底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形， 所以 ． 6．棱长为2的正方体中， 、 分别是 、 的中点， 在棱 上，且 ， 是 的中点． （1）求证： ； （2）求 ， ． 【解答】解：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， 如图所示：则 ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，2， ； （1） ， ， ， ， ；（2）由 知， ，2， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 为 的中点． （1）求证： 面 ； （2）求证：平面 平面 ． 【解答】解：（1）证明：设 ，连接 ， 因为 ， 分别是 ， 的中点 ，所以 （4分）而 面 ， 面 ， 所以 面 （7分） （2）连接 ，因为 ， 所以 ， 又四边形 是菱形， 所以 （10分） 而 面 ， 面 ， ， 所以 面 （13分） 又 面 ， 所以面 面 （14分） 8．如图所示，在四棱锥 中，已知 底面 ，且底面 为梯形， ， ， ，点 在线段 上， ． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）过 作 交 于点 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ；（2）在梯形 中， ， ， ， ， 所以 ， 所以 ，即 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ， 9．如图，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形， 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求证：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）连接 交 于 ， 底面四边形 是菱形， 为 的中点， 又 为 的中点，连接 ，则 ． 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）由 ，得 ， 由四边形 是菱形，得 ，又 ， 平面 ， 而 平面平面 ， 平面 平面 ． 10．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 为 中点， 为 中点， 为线段 上动点． （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）证明：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）如图，连接 交 于点 ，连接 ， 底面 为正方形， 为 中点， 为 中点， ，且 ， 四边形 为平行四边形， 为 中点． 又 为 中点， ，且 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ． （2） 底面 为正方形， ， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ，且 为 中点，则 ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ． 11．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 是菱形，点 是 对角线 与 的交点， ， ， 是 的中点，连接 ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）证明：平面 平面 ． 【解答】证明：（Ⅰ） 在 中， 、 分别是 、 的中点， 是 的中位线， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （Ⅱ） 底面 是菱形， ， 平面 ， 平面 ， ． 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ． 12．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 为等腰直角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求证：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）因为底面 是正方形， 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为平面 与 交于点 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ； （2）因为侧面 为等腰直角三角形，且 ， 所以 ， ， 因为 ， ，且两直线在平面 内， 可得 平面 ， 因为 平面 ，则 ． 又因为 ， ，且两直线在平面 内， 则 平面 ， 因为 平面 ，则 ， 因为 ， 所以 为等腰三角形， 所以点 为 的中点， 又因为 ，所以 为等腰直角三角形， 因为 ， ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以面 平面 ． 13．已知正四棱柱 中， ， ． （1）求正四棱柱 的表面积； （2）求证：平面 平面 ． 【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： 由 题 意 得 ， 正 四 棱 柱 的 表 面 积 为 ． （2）证明： 为正方形，故 ， 正四棱柱 中， 平面 ， 平面 ， 故 ， ， ， 平面 ， 故 平面 ， 又 平面 ， 故平面 平面 ．14．如图，在棱长是2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点． （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的大小． （Ⅱ）证明： 平面 ． 【解答】解：（Ⅰ）建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直 角坐标系如图： 则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ， 分别为 ， 的中点， ，1， ， ，1， ， 则 ，0， ， ， ， ， 则 ， ， ， 则 ， ， 即 ， ，即异面直线 与 所成角为 ． （Ⅱ）证明： ，0， ， ，2， ， 则 ，0， ，0， ， ，0， ，2， ，即 ， ， 则 ， ， ， 平面 ． 15．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点．求证： （1）四边形 为平行四边形； （2） 平面 ． 【解答】证明：（1）以 为坐标原点， 分别为 ， ， 轴的正方向，建立 空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2，， 所以 ， ， 所以 ， 又 ， ， ， 四点不共线，所以四边形 为平行四边形． （2）由（1）知 ， ， 所以 ， 所以 ，即 ， ， 又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 16．如图所示，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点． （1）求证：平面 平面 ； （2）证明：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ， 又因为 为正方形，则 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 且 ， ， 平面 ， 所以平面 平面 ． （2）因为 平面 ， 平面 ，则 ， 又因为 是正方形，则 ， 且 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 ，所以 平面 ， 且 平面 ，所以平面 平面 ． 17．如图， 平面 ， 为圆 的直径， ， 分别为棱 ， 的中点． （1）证明： 平面 ． （2）证明：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）因为 为圆 的直径，所以 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 由（1）知 ，所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ． 18．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 为 的中点， 为棱 上一动点． （1） 在棱 上何处时，可使得 平面 ？并证明你的结论； （2）求证：平面 平面 ． 【解答】解：（1）当 为棱 的中点时， 平面 ，理由如下： 因为 为 的中点， 为 的中点，得 ， 由四边形 为正方形，得 ，因此 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； 证明：（2）在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面 平面 ． 19．如图，四边形 是矩形， 平面 ， 平面 ，点 在棱 上． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ； （3）求证： ．【解答】证明：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）因为四边形 是矩形，所以 ，由（1）可得 ， ， ， 所以平面 平面 ； （3）因为 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 ， 又因为平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 而 平面 ， 可证得： ． 即 ． 20．如图，矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求证：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）因为 是矩形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 面 ； （2）因为 是矩形，所以 ． 因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 且 面 ，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 ， 因 ， ， 、 面 ， 所以 面 ，又 面 ， 所以面 面 ．