文档内容
第五章 平面向量及解三角形（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））已知向量 和 不共线，向量 ，
， ，若 ､ ､ 三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
∵ ､ ､ 三点共线，
∴ ，
解得 .
故选：A.
2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量 ， ，若 与 反向共线，则
的值为（ ）
A．0 B．48 C． D．
【答案】C
由题意 ，得 ，
又 与 反向共线，故 ，此时 ，
故 .
故选：C.
3．（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
由已知及正弦定理得 ，所以 ，所以 ＝
.
故选：C.
4．（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔
——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划
设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7
米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45 ；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30 ，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据： ）
A．68 B．70 C．72 D．74
【答案】B
如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，
由已知得 为直角三角形， ， ， (米)， (米),
设PQ=x，则 , .
∴ ，
∴ ,
∴塔高 (米),
故选：B
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）在凸四边形 中 ， ，则以下结
论正确的是（ ）
A． B．四边形 为菱形
C． D．四边形 为平行四边形
【答案】A
如图（1）所示，设 ，则 都是单位向量，
因为 ，所以 ，可得 ，又因为 ，所以 ，且 为 的平分线，所以C不正确；
在 中，因为 ，且 ，
可得 ，
所以四边形 的面积大于 ，所以A正确；
如图图（2）所示只有当 时，此时凸四边形 才能为平行四边形且为菱形，所以B、D不正确；
故选：A.
6．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设 ， 是平面内两个不共线的向量， ，
， ，若A，B，C三点共线，则 的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
因为A，B，C三点共线，所以向量 、 共线，
所以存在 ，使得 ，即 ，
即 ，
因为 、 不共线，所以 ，消去 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，当且仅当 ，
时，等号成立.
故选：A
7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角 ，其外接圆半径为 ， ， 边上的高的取值范围为
（ ）.
A． B． C． D．【答案】C
因为 为锐角三角形， ，设 边上的高为 ，
所以 ，解得
由正弦定理可得， ，
所以 ， ， ，因为 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以高的取值范围为 .
故选：C.
8．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1， ，
，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形
【答案】C
设三角形的三条边为a，b，c，设 中点为D，
，则
，∴
同理，∴ ，∴ ， ，∴可以构成三角形
，∴ ，
∴ 为钝角三角形，
故选：C
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东广州·三模）已知向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
，A正确； ，B正确；
，则 ，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）在 中， ， ， ，下列命题为真命题的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为锐角三角形
C．若 ，则 为直角三角形
D．若 ，则 为直角三角形
【答案】ACD
解：A：若 ，由正弦定理得 ，
，则 A正确；
B：若 ，则 ，
，即 为钝角，为钝角三角形，故 B错误；
C：若 ，则 ，
为直角三角形，故 C正确；
D：若 ，则 ，
， ，
由余弦定理知 ，
，则 ，
， ， 为直角三角形，故 D正确．
故选：ACD．
11．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，
其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为
2，点P是圆O内的定点，且 ，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
【答案】AC如图，设直线 与圆 于 ， .
则 ,
故A正确.
取 的中点为 ，连接 ，则
，
而 ，故 的取值范围是 ，故B错误.
当 时，
，故C正确.
因为 ，故 ，故D错误.
故选：AC
12．（2022·浙江·嘉兴一中高一期中）在△ABC中， ， ，O为△ABC内的一点，设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】ACD
对于A选项，重心为中线交点，则 ，即 ，
因为 ，
则 ，所以 ， ，
所以 ，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则 ，
即 ，所以 ，
由A选项，则 ， ，
所以 ，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即 的外接圆圆心，
因为 ，设 为边 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
，
所以 ，易知 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设 ，垂足为边 上点 ，则 ， ， 共线，
由C选项，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·河南省杞县高中高一阶段练习）已知点 ， ， ， ，则向量 在
向量 方向上的投影向量为______．
【答案】
解： ， ， ， ，
， ，
所以 ， ，
所以 在 方向上的投影向量为 ；
故答案为：
14．（2022·北京·二模）已知 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使 成立的一
组A，B的值是________．
【答案】 （答案不唯一）
由正弦定理得： ，
， ，
，
，
（答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）.15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知向量 ，其中 且
其中 设 与 的夹角为 ，若对于任意 ，总有 ，则 的最小值为
__________．
【答案】
解：不妨设 ， ，则向量问题可转化为如下解三角形问题：
由 ，为锐角，
同时由余弦定理，
而 实际上表示的是OA的延长线 ．
故 ，而 ，则 与 的夹角 ．
可知，随着 的增大， 也在增大，则 在减小，
由题意，只需求 所趋近的最大值和最小值即可．
第一种极限情况，当 与A重合时，第二种极限情况，当 位于OA的延长线无穷远处时， 可看作与 平行，根据两条平行直线同旁内角
互补的性质， ，
由于 恒成立，则 ，则k的最小值为 ．
故答案为：
16．（2022·浙江·模拟预测）已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于点D，M是AD的中
点，延长BM交AC于点H， ， ，则 ___________， ___________.
【答案】
在△ABC中，AD是 的角平分线，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，又 ，解得
.
所以
△ADC中，设 则 ，由余弦定理得： ，即
，即 ，所以 .
在 ABC中， ， .
△
因为AD是∠BAC的角平分线，所以
所以 ，所以 .
由正弦定理得： ,
所以 .而 ，
所以 .
取 为基底，则由H、M、B三点共线可得： ①；、
由C、D、B三点共线可得： ；
即 ，所以 ,所以 .
即 ②.
因为M是AD的中点，所以 ,①式可化为： ，
即 ③
设 ，则
②③对照得： ，解得 ，即 .
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
，
(1)若 ，求角B.(2)设 ， ，试求 的最大值.
【答案】(1) ；(2)
(1) ，∴ ，
，
∵ ,∴ ，
又∵
∴ .
(2) ，
∵ ，∴ ， ，
∴当 时， 有最大值 .
18．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在① ，② 这两个条件中任选
一个作为已知条件，然后解答问题．
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求 的BC边上的中线AD的长．
【答案】(1) (2)
(1)解：（1）若选①，即 ，得 ，
， 或 （舍去），
， ；
若选②： ，
由正弦定理，得 ，
， ， ，则 ， ， ；
(2)解： 是 的 边上的中线， ，，
，
．
19．（2022·广东·华南师大附中三模）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足 ， ，
(1)求B；
(2)设 ， ，求函数 的值域．
【答案】(1) (2)
(1)由 ，
可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
(2)
∵ ，则 ， ，
在三角形ACD中，由正弦定理得 ，可得 ，
在三角形ABC中，由正弦定理得 ，
可得
，
因为 ，
可得 ，
当 时，即 ，
可得 ，
当 时，即 ，
可得 ，
所以 的值域为 ．
20．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①
，② ，③ 中任选一个，
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1) (2)6
(1)选① ，得
∴∵
∴
∴
选②
∵
∴
选③
又
所以 ，
所以
(2)由余弦定理知：
由基本不等式知：
所以
所以： (当且仅当 时，等号成立)，
所以
综上： ABC的周长的最大值为6．
21．（△2022·湖北·华中师大一附中高一期中）如图，某城市有一条 从正西方通过市中心 后转向东偏
北60°方向 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，并在 ， 上分
别设置两个出口A， ， 在A的东偏北 的方向（A， 两点之间的高速路可近似看成直线段），由于
A， 之间相距较远，计划在A， 之间设置一个服务区 .
(1)若 在 的正北方向且 ，求A， 到市中心 的距离和最小时 的值；(2)若 到市中心 的距离为 ，此时 设在 的平分线与 的交点位置，且满足
，则求A到市中心 的距离最大时 的值.
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意可知 ，
若 在 的正北方向，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以A， 到市中心 的距离和最小时 ；
(2)解：因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
因为 平分 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， 有最大值20，
此时在 中， ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以当A到市中心 的距离最大时 .
22．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设 ， ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
(1) ，由正弦定理得：，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
其中 ，
所以 ，
因为点E为线段BD的中点，所以 ，
由题意得： ，
所以 .
(2)由（1）知： ，又 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得： ，
则 ， ， ，
故 ，面积为
故 面积的取值范围是 .
