3.4讲难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题(3类热点题型讲练)（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷

第 04 讲 难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题 目录 【类型一 平面直角坐标系中动点移动问题】................................................................................................1 【类型二 平面直角坐标系中图形翻转问题】................................................................................................7 【类型三 平面直角坐标系中新定义型问题】...............................................................................................11 【类型一 平面直角坐标系中动点移动问题】 例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向， 依次得到点 ， ， ， ， ，…，则 的坐标是 ． 【答案】 【分析】由图可得， ， ， ， ，…，当n能够被3整除时，点坐标为 ， 根据 得 ，点按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，则 ，根 据点 在点 的上方，即可得． 【详解】解：由图可得， ， ， ， ，… 当n能够被3整除时，点坐标为 ， ∵ ， ∴ ， ∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循环， ∴ ， ∵点 在点 的上方，∴ 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键找出图形的变化规律． 【变式训练】 1．（2023春·江苏·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从 1，0 出发，向上运动1个单位 长度到达点B 1，1 ，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C 0，2 ，D 2，2 ，此时称动点A完成第一次跳 跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G 1，4 ，H 1，4 ，I 3，4 ，此时称动点A完 成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ） A． 2023，4046 B．  2023，22023 C． 2024，4046 D．  2024，22023 【答案】C 【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】解：由题意可得：A 1，0 、D 2，2 、I 3，4 ．．． 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为202324046，横坐标为：202312024 故选：C． 【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键． 2．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排 列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为( ) A．(9，2) B．(9，3) C．(9，4) D．(9，5) 【答案】D【分析】由题意知，把第一个点(1，0)作为第一列，(2，0)，(2，1)作为第二列，(3，2)，(3，1)，(3，0)作为第三 nn1 列，进而可推导一般性规律为：第 列有 个数，则 列共有 个数，且奇数列的点的顺序由上到下， n n n 2 881 偶数列点的顺序由下到上，由 36，可知第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，进而可 2 求点坐标． 【详解】解：由题意知，把第一个点(1，0)作为第一列，(2，0)，(2，1)作为第二列，(3，2)，(3，1)，(3，0)作为 第三列， nn1 进而可推导一般性规律为：第 列有 个数，则 列共有 个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶 n n n 2 数列点的顺序由下到上， 881 ∵ 36， 2 ∴第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，坐标为 9，5 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了点规律的探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形OABC 1 是正方形，曲线C 1 C 2 C 3 C 4 C 5叫作“正方形的渐 开线”，其中CC ，CC ，CC ，CC ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA1时，点C 的坐 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2023 标是( ) A．(1，2022) B．(2023，1) C．(1，2023) D．(2022，0) 【答案】A 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C 在第三象限，与C ，C ，C ，…符合同一规律， 2023 3 7 11 探究出C ，C ，C ，...的规律即可． 3 7 11 【详解】解：由图得C (0，1)，C (1，0)，C (1，2)，C (4，0)，C (0，5)，C (5，0)，C (1，6)，… 1 2 3 4 5 6 7 点C的位置每4个一循环， 202350543， ∴C 在第三象限，与C ，C ，C ，… 2023 3 7 11符合规律(1，n1)， ∴C 坐标为(1，2022)． 2023 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向 左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点 ；接着水平向右平移2个单位长度，再 竖直向上平移2个单位长度得到点 ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得 到点 ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点 ，…，按此作法进行下 去，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解． 【详解】解： ， ； ， ； ， ； ， ； …… 当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ； ∴ ，即 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论． 5．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 次从原点运动到点 ，第 次接着运动到点 ，第 次接着运动到 点 ，……，按这样的运动规律，经过第 次运动后，动点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】设动点 运动了 次，则点 的横坐标为 ，点 的纵坐标按 ， ， ， ， ，0，2，0， 重复出现，每4个数为一个循环． 【详解】解：设动点P运动了n次． 观察图形中点的坐标可知： 点P的横坐标为n， 点P的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，重复出现，每4个数为一个循环． ∵202545061， ∴当点P经过2025次运动后，横坐标为2025，纵坐标为1． 即点 的坐标为 2025，1 ． P 故答案为： 2025，1 ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律 是解题的关键． 6．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),B(1,1),C(1,2),D(1,2)把 一条长为a个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 ABCD A的规律紧绕在四边形ABCD的边上． （1）当a12时，细线另一端所在位置的点的坐标是 ； （2）当a2023时，细线另一端所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 1,1 1,0【分析】根据点的坐标，求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从 而确定答案． 【详解】解：∵A1,1，B1,1，C1,2，D1,2 ， ∴AB2，BC 3，CD2，DA3， ∴四边形ABCD的周长为232310， ∴细线绕一圈的长度为10， ∵12101  2， ∴当a12时，细线另一端所在位置的点与点 B 重合，坐标为： 1,1 ； ∵202310202  3， ∴当a2023时，细线另一端所在位置的点在点 B 下方1个单位长度处，即为： 1,0 ； 故答案为： 1,1 ， 1,0 ； 【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形ABCD的周长。 7．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一点从A 0,1 开始按向右、向上、向右、 1 向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据规律，解决下列问题． (1)点A 的坐标为______ ； 5 (2)点A 的坐标为______ ； 4n1 (3)求出点A到点A 的距离． 1 2025 【答案】(1) (2,-1) (2) 2n,1 (3)1012 【分析】（1）通过图象，推理可得到A 的坐标情况， 5 （2）通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每个点的横、纵坐标来总结规律． （3）通过（2）的规律，求得A 的点的坐标，通过两点间坐标求出距离． 2025 【详解】（1）解：由图中可知，A(0,1)、A (1,1)、A(1,0)、A (2,0)、A (2,1)、A (3,1)、A (3,0)， 1 2 3 4 5 6 7 故答案为：(2,1)，n （2）解：根据各点坐标的规律可知， 为偶数时， 的横坐标为 ， n A 2 n n1 为奇数时， 的横坐标为 ， n A 2 n n的纵坐标为4次一循环，循环顺序为11001，  4n1为奇数， 4n11 点 的横坐标为 2n，  A 4n1 2  (4n1)4n......1， 点A 4n1 的纵坐标为1， 点A 4n1 的坐标为(2n,1)， 故答案为：(2n,1)， （3）解：根据上边规律，可求点A 的坐标为(1012,1)， 2025 A 到A 的距离为101201012． 1 2025 【点睛】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同来分别讨论，通 过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解． 【类型二 平面直角坐标系中图形翻转问题】 例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形 的两边 分别在x轴、y轴上，点 C与原点重合，点 ，将长方形 沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为 ， 经过第二次翻滚，点A的对应点记为 ；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点 的坐 标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出 的商，从而解答本题． 【详解】解：观察图形得， ， ， ， ， 经过4次翻滚后点A对应点一个循环， ，∵点 ，长方形的周长为： ， ∴经过505次翻滚后点A对应点 的坐标为 ，即 ． ∴ 的坐标为 ． 故选：B． 【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形， ，边 在 轴正半轴上， ，点 在第一象限内，将 绕点 顺时针旋转，每次旋 转 则第2023次旋转后，点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图象可知，点 旋转8次一个循环，利用这个规律解决问题即可． 【详解】解：∵ 为等腰直角三角形， ， ∴ ， 观察图象可知，点 旋转8次一个循环， 余数为7， 点 的坐标与 相同， 点 的坐标为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化 旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考 常考题型． 2．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为 坐标原点， 是直角三角形，点O为直角顶点，已知点 ， ， ，将 按如 图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到 、 、 、 …，则 的直角顶点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，从 到 经过的路程恰好为 的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：从 到 经过的路程恰好为 的周长： 故 的直角顶点的横坐标为： ； 的直角顶点的横坐标为： 同理：从 到 经过的路程恰好为： 故 的直角顶点的横坐标为： ； 的直角顶点的横坐标为： … ∴ 、 、 、…、 的直角顶点的横坐标为： ∵ ∴ 的直角顶点的横坐标为： ∵ 与 的直角顶点的横坐标相同 故 的直角顶点的横坐标是 故选：B 【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键． 3．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连 续翻转2019次，点P依次落在点 的位置，则 的横坐标为（ ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】B 【分析】观察图形和各点坐标可知：点 到 要翻转4次为一个循环， 到 横坐标刚好加4， 到 处横坐标加3，按照此规律，求出 的横坐标，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：点 到 要翻转4次为一个循环， ， ， ， ， ， ， 到 横坐标刚好加4， 到 处横坐标加3， ， ， ， 的横坐标 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 4．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将 沿 轴向右滚动到 的位置，再到 的位置……依次进行下去，若已知点 ， ， ，则点 的 坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的滚动可知每滚动3次为一个周期，点 在第一象限，点 在 轴上，由点 ， ，可得 ，从而得到 ，进而得出点 的横坐标，同理可得出点 、 的横坐标，从而得出点 的横坐标为 （ 为正整数），再代入 即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 每滚动3次为一个周期，点 在第一象限，点 在 轴上， ， ， ， 由旋转的性质可得： ， 点 的横坐标为： ， 同理可得出：点 的横坐标为： ，点 的横坐标为 ， ，点 的横坐标为 （ 为正整数）， 点 的横坐标为 ， 点 的坐标为 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意进行计算得出规律：点 的横坐标为 （ 为正整 数），是解题的关键． 【类型三 平面直角坐标系中新定义型问题】 例题：（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫做点P伴随点．已知点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…， 这样依次得到点 ， ， ，…， ，…．若点 的坐标为 ，点 坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以 4，根据商和余数的情况确定点 的坐标即可． 【详解】解：∵ 的坐标为 ， ∴ ， ， ， ， …． 依此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵ , ∴点 的坐标与 的坐标相同，为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组 依次循环是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫做点P的友好点，已知点 的友好点为点 ，点 的友好点为点 ，点 的友好点为点 ．……以此 类推，当点 的坐标为 时，点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 的坐标为 和友好点的定义，顺次写出点 、 、 、 的坐标，发现循环规律，即可求解． 【详解】解：当点 的坐标为 时，点 的友好点 的坐标为 ， 点 的友好点 的坐标是 ， 点 的友好点 的坐标是 ， 点 的友好点 的坐标是 ， ……以此类推， ∴ ， ， ， （n为自然数）， ∵ ， ∴点 的坐标为 ， 故选：C 【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫作 点P的伴随点，已知点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ， ，…， ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出前五个点的坐标可以发现规律 ， ， ，…， ，…每四个坐标为一个循环，据此 求解即可． 【详解】解：∵点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ， ∴点 的坐标为 ，即 ， ∴点 的坐标为 ，即 点 的坐标为 ，即 ， ∴可知 ， ， ，…， ，…每四个坐标为一个循环， ∵ ， ∴ 与 的坐标相同，即 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫做点P 的伴随点，已知 的伴随点为 ， 的伴随点为 ，…，这样依次下去得到 ， ，……， ．若 的坐标为 ，则 的坐标为 . 【答案】 【分析】根据伴随点的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4， 根据商和余数的情况确定点 的坐标即可． 【详解】解： 的坐标为 ， ， ， ， ， ， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ， 点 的坐标与 的坐标相同，为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每 个点 为一个循环组依次循环． 4．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点 经过某种变换后得到点 ，我们把点 叫做点P的和谐点．已知点 的和谐点为 ， 的和谐点为 ， 的和谐点 为 ，…，这样由 依次得到 、 、 … ．若点 坐标为 ，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用点 的和谐点的定义分别写出点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用 判断点 的 坐标与点 坐标相同. 【详解】解：根据题意得点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ， 点 坐标为 ，…, 而 ， ∴点 的坐标与点 坐标相同，为 ， 故答案为： . 【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及 平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键. 5．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知点 ， ，点 是线段 的中点， 则 ， ．在平面直角坐标系中有三个点 ， ， ，点 关于 的对称点为 （即 ， ， 三点共线，且 ）， 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为，按此规律继续以 ， ， 为对称点重复前面的操作，依次得到 ， ， ，则点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可求得点 至点 的坐标，观察各点坐标，可知每 个点循环一次，即可求得点 的坐标与已知某个点的坐标相同． 【详解】设点 的坐标为 ． 根据题意，得 解得 所以，点 的坐标为 ． 同理可得 ， ， ， ， ． 观察各点坐标可知，点 至点 为一个循环，即每 个点循环一次． ∵ ， ∴点 的坐标与点 的坐标相同． ∴点 的坐标是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键在于根据题意求得某点的对称点的坐标． 6．（2023春·北京房山·八年级统考期末）在平面直角坐标系 中,不同的两点 ， ,给出如 下定义：若 ,则称点 ， 互为“等距点”．例如，点 , 互为“等距点”． (1) , ， , 四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是________． (2)已知 ， ①若点 是点 的等距点，且满足 的面积为 ,求点 的坐标； ②若以点 为中心，边长为 正方形上存在一点 与点 互为等距点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) 、 (2)①点B的坐标为 ， ， ， ；② 或 【分析】（1）根据“等距点”定义，逐点验证即可得到答案；（2）①设 ，由题意得到 ， 或 ，再由 的面积为 ，列式 ，解得 ，代入 或 ，即可得到点 的坐标为 或 或 或 ；②根据题意，作出图形，设 ，当 与点 互为等距点，则 ，分四种情况：当 在正方形左边上；当 在正方形右边上；当 在正方形上 边时； 当 在正方形下边时，分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“等距点”定义，得： 、 , ，即 与坐标原点不是“等距点”； 、 , ，即 与坐标原点互为“等距点”； 、 , ，即 与坐标原点不是“等距点”； 、 , ，即 与坐标原点不是“等距点”； 综上所述，与坐标原点互为“等距点”的是 、 故答案为： 、 ； （2）解：① ，点 是点 的等距点， 设 ，则 ，即 ， 或 ， 如图所示： 的面积为 ，由图可知， ，解得 ， 当点 在 上时，由 得到 ；由 得到 ，即 点 的坐标为 或 ； 当点 在 上时，由 得到 ；由 得到 ，即 点 的坐标为 或 ； 综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ； ②如图所示： ，正方形边长为 ， 设 ，当 与点 互为等距点，则 ， 当 在正方形左边上，有 ，即 ，得到 ，解得 或 ； 当 在正方形右边上，有 ，即 ，得到 ，解得 或 ； 当 在正方形上边时，有 ，再由 解得 或 ，则 或 ，解得 或 ； 当 在正方形下边时，有 ，再由 解得 或 ，则 或 ，解得 或 ； 综上所述，若以点 为中心，边长为 正方形上存在一点 与点 互为等距点， t的取值范围为 或 ． 【点睛】本题考查新定义与坐标问题，读懂题意，根据新定义结合学过的知识，综合运用是解决问题的关 键．