文档内容
3.4 圆周角和圆心角的关系
第 2 课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确
的学习方式．(难点)
一、情境导入
你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？
如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C
处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角和直径的关系
【类型一】 利用直径所对的圆周角是直角求角的度数
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝
60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
【类型二】 作辅助线构造直角三角形解决问题
如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O
的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质
判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．
解：(1)AB＝AC.证明如下：连接 AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， 即
AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．
方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周
角．
探究点二：圆内接四边形
【类型一】 圆内接四边形性质的运用
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，
则∠D＝( )
A．65° B．120° C．125° D．130°
解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋
∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.
方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．
【类型二】 圆内接四边形与圆周角的综合
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．
【类型三】 圆内接四边形与垂径定理的综合
如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：
∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是
CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB 为⊙O 的直径，
CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点，AC、BD
交于点E.
(1)求证：△CBE∽△CAB；
(2)若S ∶S ＝1∶4，求sin∠ABD的值．
△CBE △CAB
解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，
直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝
BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．
(1)证明：∵点C为BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝
∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；
(2)解：连接 OC 交 BD 于 F 点，则 OC 垂直平分 BD.∵S ∶S ＝1∶4，
△CBE △CAB
△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB为
⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.设FC＝a，则AD
＝3a.∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，
∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a.在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝＝.
方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的
问题时考虑相等的角．
三、板书设计
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1．圆周角和直径的关系
2．圆内接四边形的概念和性质
本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒
体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探
究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效
果.
