文档内容
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
教学内容 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课时 1
1.经历探索圆周角定理推论的过程，理解圆周角定理推论，体会分类讨论、化
核心素养 归的思想方法；
目标 2.掌握圆周角定理的推论，能够利用推论，解决圆、三角形、四边形相关的几
何问题，培养几何直观能力，逻辑推理能力.
1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)
知识目标 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，
获得正确的学习方式．(难点)
教学重点 圆周角定理推论的证明及应用.
教学难点 能够在图形中抽象基本图形，正确使用圆周角定理及其推论.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 问题 1 什么是圆周角？ 设计意图：复习圆周角、
圆心角关系：圆周角等于
它所对的弧上圆心角度数
问题 2 什么是圆周角定理？ 的一半，为圆周角定理推
论的推导铺垫.
师生活动：学生思考片刻，举手回答问题
预设：（1）顶点在圆上，并且两边都和圆相交的
角叫圆周角.
（2）圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半.
二、探究
二、小组合作，探究概念和性质
新知
知识点一：直径所对应的圆周角
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什 设计意图：
么特点？你能证明你的结论吗？ 本环节的设置，需要学生
经历猜想——实验验证
——严密证明，这三个基
本的环节，从而推导出从
首先，让学生明确，“它 圆心角和圆周角关系定理
所对的圆周角”指的是哪 推导出的两个推论.
个角？（∠BAC）
然后，让学生猜想，这个
角的特点，并拿量角器实
际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直
角）
最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用
圆周角和圆心角关系定理进行证明.
预设：
猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC 为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴根据圆周角定理，∠A＝∠BOC＝90°.
（2）如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径
吗？为什么？
1师生活动：
首先，让学生猜想结果；
然后，再让学生尝试进行证明.
预设：
解：弦 BC 是直径.
连接 OC、OB，
∵圆周角∠A＝90°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°.
∴ B、O、C 三点在同一直线上.
∴ BC 是⊙O 的一条直径.
活动的注意事项：在（2）证明弦BC是直径的问
题中，学生往往容易进入误区，直接连接BC，认
为BC过点O，则直接说BC是直径，这样的说理
是错误的，应该是连接OB和OC，再证明三点共
线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接
BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.对于三
点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒.
设计意图：学会将文字语
归纳总结 言转化为几何语言.
推论 直径所对的圆周角是
直角.
几何语句：∵ BC 为直
径，
∴∠BAC = 90°.
推论 90° 的圆周角所对的
弦是直径.
几 何 语 句 ： ∵ ∠ BAC =
90°，
设计意图：加强学生对直
∴ BC 为直径 .
径所对的圆周角是直角的
理解与运用，并通过中考
题，体会在中考中对这一
链接中考
知识点的考法.并且规范
1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，
其过程.
∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
C
A
O
师生活动：
B D
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
预设：
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD =
25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
2设计意图：知识点2顺接
推论1证明对角线为直径
知识点二：圆内接四边形及其性质 的四边形对角互补，此为
(1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 圆内接四边形对角互补的
为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么 特殊情形.
关系？为什么？
师生活动：
教师从推论1图形基础上再
补一个点，构成四边形.
此时学生观察四边形，
首先：引导学生进行猜想；
然后：让学生进行证明.
不难发现有两个直径所对的
圆周角，根据四边形内角和
360°，可以知∠BAD+∠BCD=180°；
预设：
解：∠BAD 与∠BCD 互补.
∵AC 为直径，
∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°.
设计意图：通过对特殊图
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°，
形的研究，探索出一个特
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
殊的关系，然后进行一般
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
图形的变换，让学生再次
经历猜想—证明的基本环
节，把结论从特殊推广到
(2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与
一般，培养学生的几何直
∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
观、逻辑推理能力.
教师提问当对角线AC是圆
内一条弦的时候，问题2中
的关系是否成立；学生观察
图形，此时圆心不在四边形
对角线上，需要找到优弧所
对圆心角、圆周角，可能会陷入∠BAD和∠BCD
所对圆心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心
角的角度进行表达.
其次，在两个图形中四边形ABCD的共同特征探
索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他
比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不
要把问题向复杂方向思考.
师生活动：
首先：让学生猜想结论；
然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜
想结果；
最后：让学生利用所学知识进行严密证明.
预设：
解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立.
连接 OB，OD，
则∠BAD = ∠2，∠BCD = ∠1.
∵∠1 +∠2 = 360°，
3∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
归纳总结
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样
的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形
的外接圆.
根据以上讨论你能发现什么结论？
推论 圆内接四边形的对角互补.
设计意图：通过一个练
几何语句：
习，让学生自主经历解决
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
问题的三个基本环节，从
∴∠BAD+∠BCD = 180°
而巩固本节课学习方法的
（圆内接四边形的对角互补）.
应用，同时进一步研究圆
内接四边形外角的性质：
圆内接四边形的任何一个
想一想
外角都等于它的内对角.
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外
角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？
∵∠A＋∠DCB＝180°，
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
师生活动：
让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个
环节
师生共同总结：圆内接四边形的任何一个外角都
等于它的内对角.
链接中考
2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四
边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为
( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总
三、当堂 结，教师结合学生的具体活动，加以指导.
练习，巩
固所学
设计意图：通过圆周角、
圆心角相互转化，初步进
行几何题训练，提高学生
灵活运用推论，进行逻辑
推理能力。发展学生几何
4猜想、推理验证的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦
CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的
度数.
C
A
E
O
B
2.(阜宁县期末)如图，AB 是⊙OD 的直径， C、D
是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，
∠DAC = 25°，求∠BAC 的度数 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
D C
A B
O
D
A O
4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O
B
经过△CABC
的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和
∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD.
判断△BDE 的形状，并证明你的结论.
A
B O
E
圆周角和直径D的关系及C圆内接四边形
1．圆周角和直径的关系
板书设计
2．圆内接四边形的概念和性质
5课后小结
本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问
题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通
教学反思
过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学
习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.
6
