模块五解三角形与平面向量（测试）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高考数学二轮复习讲练（新教材新高考）

模块五 解三角形与平面向量（测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知 ， ，若 ，则向量 在 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， ， 解得 ， ， 向量 在 上的投影向量为 ． 故选：B． 2．在 中，点D，E分别是 ， 的中点，记 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知， ， ． 两式相减，得 ，所以 ． 故选：D． 3．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 成等差数列， ，则 的面积为（ ） A．3 B． C．12 D．16 【答案】B 【解析】因为 成等差数列，可得 ， 又因为 ， 由余弦定理得： ， 整理得 ，即 ， 所以 的面积为 . 故选：B. 4．在△ 中，角 的对边分别是 ，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ，则 ． 故选：B 5．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，则此三角形的解的 情况是（ ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】A 【解析】由 ，得 ，又 ， ，故 只能为锐角，即 ， 故该三角形只有一解． 故选：A. 6．已知平面向量 ， 均为单位向量，且 ， ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意平面向量 ， 均为单位向量，且 ， 建立如图所示平面直角坐标系，设 ， 设 ，由 ， 所以点 在以原点为圆心，半径为 的圆上， 表示以原点为圆心， 半径为 的圆上的点 与点 的距离， 所以，根据圆的几何性质可知： 的最大值是 ， 其中 是点 与原点的距离. 故选：C 7．在 中，内角 、 、 对应边分别为 、 、 ，已知 ，且角 的平分线 交 于点 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以， ， 由正弦定理可得 ， 因为 、 ，则 ，所以， ，可得 ， 因为角 的平分线 交 于点 ， ， 由 ，即 ， 所以， ，所以， ， 所以， ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故 的最小值为 . 故选：A. 8．已知在 所在平面内， ， 、 分别为线段 、 的中点，直线 与 相交于点 ，若 ，则（ ） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为D． 的最大值为 【答案】D 【解析】 ，且 为线段 的中点， 所以 , 则 , , 设 , 则 ， 且 和 共线， ， 所以 ， . 故 为线段 的中点,且 , 所以 , 且 ,若 ， 则 , 即 ,故 ,当且仅当 时，等号成立； ,当 的最大时, 即 最小时， 此时 ， . 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知空间向量 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 在 上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】易知 ，显然 ，故A错误； 易知： ， 故B正确； 易知 ，故C正确； 在 上的投影向量 ，故D正确. 故选：BCD 10．在 中，内角 所对的边分别为 ，下列与 有关的结论，正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 是等腰直角三角形C．若 是锐角三角形，则 D．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则 【答案】ACD 【解析】对于A中，因为 ，设 外接圆的半径为 ,可得 ， 又由 ，所以A正确； 对于B中，因为 ，由正弦定理得 ，即 ， 因为 ，可得 或 ，即 或 ， 所以 是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确； 对于C中，由 是锐角三角形，可得 ，即 ， 因为 是锐角三角形，可得 ， 又因为 在 为单调递减函数，所以 ，所以C正确； 对于D中，如图所示，设 的中点为 ， 的中点为 ， 因为 ，即 ， 可得 ，即 ，所以点 是 上靠近 的三等分点， 所以点 到 的距离等于 到 的 ， 又由 到 的距离为点 到 的距离的 倍， 所以 到 的距离等于点 到 距离的 ， 由三角形的面积公式，可得 ，即 ，所以D正确. 故选：ACD.11．如图，已知 的内接四边形 中， ，下列说法正确的是（ ） A．四边形 的面积为 B．该外接圆的半径为 C． D．过 作 交 于 点，则 【答案】ABC 【解析】对于A，连接AC， 在 中， ， ， 由于 ，所以 ，故 ，解得 ，所以 ， ，所以 ， 故 ， ， 故四边形ABCD的面积为 ，A正确； 对于B，设外接圆半径为R，则 ， 故该外接圆的直径为 ，半径为 ，B正确； 对于C，连接BD，过点O作 于点G，过点B作 于点E， 则由垂径定理得： ，由于 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ，所以 ， 且 ，所以 ，即 在向量 上的投影长为1， 且 与 反向，故 ，C正确； 对于D，由C选项可知： ，故 ，且 ，因为 ，由对称性可知：DO为 的平分线，故 ， 由A选项可知： ，显然 为锐角， 故 ， ， 所以 ， 所以 ，D错误. 故选：ABC 12．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确的是 （ ） A． B． 的取值范围是 C．若 为边 上中点，且 ，则 的最小值为 D．若 面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A项，由 得，即 ， 因为 ，则 ， 若 显然不符题意，或者 也不符合题意， 所以 ，即 ，所以 ，故A正确； 对于B项， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，即 的取值范围是 ，故B错误； 对于C项，由余弦定理知 ， 又 为边 上中点，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 当且仅当 时，取得等号，所以 ，所以 ，故C正确； 对于D项，不妨设 三边上的高分别 ，则 ， 又 ，所以 ，所以 ， 根据余弦定理知 ，所以 ， 当且仅当 时，取得等号，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在圆的内接四边形 中， ， ， ， ，则 ． 【答案】3【解析】连接 ，如图： 在 中，因为 ， ， 由余弦定理，得 ，即 又因为 ，所以 ， 在 中，因为 ， ， ， 由余弦定理，得 ， 即 ，解得： ． 故答案为： . 14．某校数学建模社团对山西省朔州市的应县木塔的高度进行测量.如图，该校数学建模社团成员在应县木 塔旁水平地面上的 处测得其顶点 的仰角分别是 和 ，且测得 ， 米，则该校 数学建模社团测得应县木塔的高度 米. 【答案】70 【解析】设 米，则 米， 米. 在 中， ，由余弦定理可得 ， 即 ，即 ，即 ，解得 或 （舍 去）.故答案为： . 15．在 中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设 ， ，试用 ， 表示 为 ，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 . 【答案】 6 【解析】如图所示， 中， ， 是边 的中点， 是线段 的中点，则 ， ， 即 ； 由 的面积为 ，得 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为6.故答案为： ；6 16．如图，在圆内接四边形 中， ， ， ．若 为 的中点，则 的值为 ． 【答案】 【解析】由余弦定理知 ，所以 ， 由正弦定理得 ，所以 为圆的直径， 所以 ，所以 ，从而 ， 又 ，所以 为等边三角形； 以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立如下图所示的 平面直角坐标系：则 ， ， ， ， ，故 ． 故答案为： ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（10分） 已知平面向量 ， ， ，且 与 的夹角为 . (1)求 ； (2)若 与 垂直，求 的值 【解析】（1） ，且 与 的夹角为 ， ， （2） 与 垂直， ， 即 ， 即 ，解得： . 18．（12分） 已知向量 ， ，函数 ． (1)若 ，求 的值； (2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围． 【解析】（1）∵ ，∴ ，则 ；； （2） ， 由 ，得 ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 , 因 为锐角三角形，可得 ，解得 ， ∴ ，故 的取值范围为 ． 19．（12分） 在 中，内角 所对边的长分别为 ， ． (1)若 ，求 ． (2)若 为 边上的一点，且 ，求 ． 【解析】（1）由余弦定理，得 ，即 ． 因为 ，所以 ， 即 ，解得 ， （舍去）， 将 代入 中得 ．由正弦定理，得 ，即 ， 所以 ． （2）由（1）知， ． 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，解得 ， 又 ，代入可得 . 20．（12分） 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ． (1)求角A的大小； (2)若点 为 的中点，点 满足 ，点 为 与 的交点，求 的余 弦值． 【解析】（1）由已知得 ， 即 ． 由正弦定理得 ．因为在 中， ，所以 ． 因为 ，所以 ． （2）设 ，所以 ， 因为 为 的中点，所以 ， 又 ， 由（1）知， ， ， 故 ， ， 故 ． ， ， 所以 ， 所以 的余弦值为 ． 21．（12分） 在 中， ，且 边上的中线 长为1. (1)若 ，求 的面积； (2)若 ，求 的长.【解析】（1）由题可知 ， 由勾股定理得， ，所以 是直角三角形， 又 ，所以 ， 又 边上中线 ， 所以 ， ， ， 所以 . （2）方法一：由题可知 ， 设 ，则 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ， 所以 ，则 ，① 在 和 中，由余弦定理得 所以 ，② 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，即 ，③ 将 代入得 ，④由①④得 ，即 ，即 ， 即 ，即 ， 因为 ，所以 ，则 ，所以 . 故 的长为2. 方法二：作 的角平分线，交 与 ， 设 ，则 ， 在 和 中，由正弦定理可得 ， 又 ，所以 ， 所以 . 由题可知 ，所以 ， 在 和 中， ， 所以 ，所以 ， 则 ，即 ，即 ， 所以 （舍）或 . 在 和 中，由余弦定理得所以 ， 则 ，解得 . 故 的长为2. 方法三：延长 到 ，使 ，连接 ， 由题可知 ， 设 ，则 ， 在 和 中， ， 所以 ，所以 ，则 ， 所以 ， 即 ，即 ， 所以 （舍）或 . 在 和 中，由余弦定理得 所以 ， 则 ，解得 . 故 的长为2. 22．（12分） 在 中，内角 的对边分别为 ，且 .(1)求 ； (2)若 为 的中点，在 上存在点 ，使得 ，求 的值. 【解析】（1）由 ，而 ， 所以 ，则 ，且 ， 若 ，即 ，则 ， 所以 ； 若 ，即 ，则 ，显然不成立； 综上， . （2）如下图示， 若 且 ， 则 ，同理 ， 所以 ， 则 ， 由（1）易知 ，且 ， 所以 ，整理得 ， 综上， ， ， 所以 ，即 ， ，即 ， 故 .