重难点突破02奔驰定理与四心问题（解析版）（解析版）_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 02 奔驰定理与四心问题 奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0. △PBC △PAC △PAB 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理 对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题 有着决定性的基石作用． 三角形的内心 1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 常见内心的向量表示： （1） （或 ） 其中 分别是 的三边 的长（2） ，则 点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量 ( )所在直线过 内心(是 角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即 两个单位向量的和向量。 拓展： O是平面上一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点，动点 P满足     AB AC OPOAt(  )   |AB| |AC| ，证明P的轨迹一定通过ABC 的内心． 三角形的外心 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 常用外心的向量表示： （1）（2） 变 形 ： P 为 平 面 ABC 内 一 动 点 ， 若 ，则 为 三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从 而得到三角形的外心。 三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设 是 的重心， 为平面内任意一点. （1） （ 2 ） ， ， ，（3）若 ，则 点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若 、 、 ，重心坐标为 . 若 ，则点 经过 的重心； 3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 证明：因为 ，所以 ，所以 ， 同理可得 ， ，所以O为 垂心 （2） 一．选择题（共22小题） 1．（2023春•叙州区校级期中）若点 是 的重心，则下列向量中与 共线的是 A． B． C． D． 【解答】解： 点 是 的重心， 设 ， ， 分别是边 ， ， 的中点， ， 同理 ， ， ， 零向量与任意的向量共线， 故选： ． 2．（2023•西安模拟）在 中，设 ， ， 为 的重心，则用向量 和 为基底表示向量 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示：由于点 为 的重心， 所以 ，故 ， 故 ． 故选： ． 3．（2022•昌吉州模拟）如图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点（点 ， 与点 ， 不重合），设 ， ， 则 的最小值为 A．2 B． C．4 D． 【解答】解： 为 的重心， ， 又 在线段 上， ， ， ，， 由题意可知 ， ， ， ， ， 当且仅当 ， 时等号成立， ， 即 的最小值为4． 故选： ． 4．（2022•大武口区校级四模）在等边 中， 为重心， 是 的中点，则 A． B． C． D． 【解答】解：在等边 中， 为重心， 是 的中点， 设 是 中点， ． 故选： ． 5．（2023•普陀区校级模拟）已知点 为 的外心，且 ，则 为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【解答】解：由三角形的外心为各边中垂线的交点，结合向量投影的运算可得： ， ， ， 又 ， 则 ， 则 ， 即 ， 即 为钝角三角形， 故选： ． 6．（2020•青秀区校级模拟）已知 是三角形 所在平面内一定点，动点 满足 ， ．则 点的轨迹一定通过三角形 的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解答】解：由正弦定理可知： ， 为三角形的外接圆的半径， 所以动点 满足 ．因为 是 以 ， 为邻边的平行四边形的对角线 为起点的向量，经过 的中点， 所以 点的轨迹一定通过三角形 的重心． 故选： ． 7．（2022•安徽模拟）平面上有 及其内一点 ，构成如图所示图形，若将 ， ， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ． 因图形和奔驰车的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角 ，， 的对边分别为 ， ， ，若满足 ，则 为 的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解答】解：由 ，得 ， 由 ，得 ， 根据平面向量基本定理可得 ， 所以 ， 延长 交 于 ，延长 交 于 ， 则 ，又 ， 所以 ， 所以 为 的平分线， 同理可得 是 的平分线， 所以 为 的内心． 故选： ．8．（2020•重庆模拟）奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的 面积分别为 ， ， ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中 一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车 的 很 相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则必有 A． B． C． D． 【解答】解：如图，由题知 为垂心，所以 ，． 同理， ， ， 所以 ． ． 又 ， ． 由奔驰定理得 ， 故选： ． 9．（2023•河北区二模）在 中，角 ， 的对边长分别为 ， ，点 为 的 外心，若 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：由已知得 ，所以 ， 因为 为 的外心，则 ， ， 故 时， 取最小值为 ， 时取得上界为2， 故 的取值范围是 ．故选： ． 10．（2023•重庆模拟）已知点 是 的外心， ， ， ，若 ，则 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：如图， ， ， ，且 ， ， ， ， ， ，整理得， ， ． 故选： ． 11．（2023•海淀区校级模拟）已知 是 的外心，外接圆半径为 2，且满足 ，若 在 上的投影向量为 ，则 A． B． C．0 D．2 【解答】解：如图所示：是 的外心，且满足 ， 为 的中点， ， 在 上的投影向量为 ，外接圆半径为2， ， ， ， 故选： ． 12．（2021•聊城三模）在 中， ， ， ， 为 中点， 为 的内心，且 ，则 A． B． C． D．1 【 解 答 】 解 ： 为 中 点 ， ， ， 为 的内心， ，， ， ． 故选： ． 13．（2021•迎江区校级三模）等边 的面积为 ，且 的内心为 ，若平面 内的点 满足 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：设三角形边长为 ，由题可得 ，解得 ， 如图，以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系， 因为 为等边 的内心，故 在 上，且 ， 则 ， ， ， ， ， 因为 ，则点 在以 为圆心，1为半径的圆上， 设 ，则 ，即 ，且 ， ， ， 所以 ， 故选： ． 14．（2022•新华区校级模拟）数学家欧拉于 1765年在他的著作《三角形的几何学》中首 次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是 重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 ， ， 分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：根据欧拉定理可知，点 ， ， 三点共线，且 ， 对于 ， ， ，故 错误， 对于 ， ， ， 故 错误， 对于 ， ，故 错误， 对于 ， ，故 正确， 故选： ． 15．（2021•吉林模拟）下列关于平面向量的说法正确的是 A．若 共线，则点 ， ， ， 必在同一直线上 B．若 且 ，则 C．若 为 的外心，则 D．若 为 的垂心，则 【解答】解：若 与 共线，则直线 与 平行或重合， 点 ， ， ， 不一 定在同一直线上， 错； 当 时 与 不一定共线， 错； 当 为重心时满足 ， 错； 若 为 的 垂 心 ， 则 ， ， ，，同理 ， 对． 故选： ． 16．（2020•安徽模拟）设 是 所在平面上一点，点 是 的垂心，满足 ，且 ，则角 的大小是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ，所以 ， 即 ， ，即 （点 是边 的中点）， 所以点 在边 的中垂线上． 同理点 在边 的中垂线上．因此点 是 的外心． 设 外 接 圆 的 半 径 是 ． 故选： ． 17．（2023•浑南区校级模拟）在 中， ， 是 的外心，若 ，则 A． B．3 C．6 D． 【解答】解：如图，取 中点 ，连接 ， 则 ， ，所以 ， 在 中， ， ，由正弦定理得 ，所以 ， 所以 ， 故选： ． 18．（2021•碑林区校级模拟）在 中，若 ，则下列说法正 确的是 A． 是 的外心 B． 是 的内心 C． 是 的重心 D． 是 的垂心 【解答】解： ， ， ， ， 同理由 ，得到 ， 点 是 的三条高的交点， 是 的垂心． 故选： ． 19．（2021•綦江区校级模拟）在 中， ， ， ， 是 的 内心，若 ，其中 ， ，动点 的轨迹所覆盖的面积为 A． B． C． D． 【解答】解：如图，根据题意知， 点在以 ， 为邻边的平行四边形内部， 动点 的轨迹所覆盖图形的面积为 ；在 中， ， ， ； 由余弦定理得， ； 解得 ，或 （舍去）； 又 为 的内心； ； 动点 的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 故选： ． 20．（2023•毕节市模拟）已知点 为三角形 的重心，且 ，当 取最大值时， A． B． C． D． 【解答】解：由题意 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 ，又 ， ， 则 ， 所以 ，即 ， 由 ， ， ， 所以 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 又 在 上单调递减， ， 所以当 取最大值时， ． 故选： ． 21．（2021•全国Ⅲ卷模拟）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ． 内一点 满足： ，则 一定为 的 A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【解答】解：由题意可设 ， ， ， 其中 ， ， 分别为 ， ， 方向上的单位向量， ， ， 则 ，． 在 的角分线上，同理 在 与 的角分线上． 为 的内心． 故选： ． 22．（2023•河南模拟）在锐角 中， ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对 的边，点 是 的重心，若 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 是 的重心， 延长 交 的中点为 ，且 ， 又 ， ， ， 又据 ， ，两式展开相加可得： ， ， ， ， ， 又 为锐角， ， ， ， 再将 代入上面三个不等式中可解得 ， ， 设 ，则 ， ， ， 又 ， ， ，当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 的最小值为 （1） ， 又 ， ， ． 即 的取值范围是 ， ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 23．（2023•潍坊模拟）已知点 为 内的一点， ， 分别是 ， 的中点，则 A．若 为 中点，则 B．若 为 中点，则 C．若 为 的重心，则 D．若 为 的外心，且 ，则 【解答】解：如图1， 为边 的中点， 是 的中点，， 正确； ， ， 正 确； 如图2， 为 的重心， 为 的中点，则 ， ， 错误； 如 图 3 ， 为 的 外 心 ， ， 则 ， 正确． 故选： ． 24．（2023•五华区校级模拟）已知 ， 是两个非零向量，则下列说法正确的是A．若 ， ， ，则 B． 为锐角的充要条件是 C．若 为 所在平面内一点，且 ，则 为 的重 心 D．若 ，且 ，则 为等边三角形 【解答】解：对于 选项， ， ，且 ， ， ， 选项正确； 对于 选项， 当 时， ， ， 选项错误； 对于 选项，在 中，由 ， 可得 ，即 ， 同理 ， ， 为 的垂心， 选项错误； 对于 选项， ， ，又 ， ， 为等边三角形， 选项正确． 故选： ． 25．（2023•黄冈模拟）点 ， 分别是 的外心、垂心，则下列选项正确的是 A．若 且 ，则B．若 ，且 ，则 C．若 ， ，则 的取值范围为 ， D．若 ，则 【解答】解： ．由 ， 可知，点 ， ， 共线， 又 可知，点 在 的角平分线上， 所以 为 的角平分线， 与 不一定相等，故 错误； ．若 ，则点 是 的中点，点 又是 的外心， 所以 ， ，故 正确； ．因为 ，所以 ，如图，建立平面直角坐标系， 设 ， ， ， 因为 ，所以 ， 得 ， ， ， ，， ，则 ， ，故 正确； ．因为 ，所以 ， 即 ，则 ， 同理， ，所以 ， 设 ， 因为 ，所以 ， 即 ，则 ， ，即 ， 则 ， ， ，故 正确． 故选： ． 26．（2023•湖北模拟）下列关于平面向量的说法中正确的是 A．已知 ， ，点 在直线 上，且 ，则 的坐标为 B．若 是 的外接圆圆心，则 C．若 ，且 ，则 D．若点 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的 垂心【解答】解：对于 ，设 ，则 ， 因为点 在直线 上，且 ， 所以 或 ， 则 或 ， 从而可得 或 ， 所以 或 ，故 错误； 对于 ，如图，设 为 的中点，则 ， 则 ，故 正确； 对于 ，当 时， ， 满足 ，则 与 不一定相等，故 错误； 对于 ，因为 ， 所以 ，所以 ， 同理可得 ， ， 所以 是 的垂心，故 正确． 故选： ． 27．（2021•香洲区校级模拟）若点 在 所在的平面内，则以下说法正确的是A．若 ，则点 为 的重心 B．若 ，则点 为 的垂心 C．若 ，则点 为 的外心 D．若 ，则点 为 的内心 【解答】解：对于 ：设点 为 的中点，若 ， 则 ， ， 所以点 为 边上的中线的三等分点， 故点 为 的重心，故 正确； 对于 分别为 的单位向量， 任意两个向量的单位向量的差为三角形的第三边的向量， 所以 、 垂直于构成菱形的对角线， 所以点 在角平分线上，故点 为内心，故 错误； 对于 ， 整理得 ， 所以 ，故点 为 的外心，故 正确； 对于 ， 所以 ，整理得 ，同理 ， 即 ， ， 故点 为 的垂心，故 错误． 故选： ．三．填空题（共10小题） 28．（2023•河北模拟）已知 为 的外心，若 ，且 ，则 ． 【解答】解：因为 是 的外心，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ． 故答案为： ． 29．（2020•江苏四模）设 为 的垂心（三角形三条高的交点），且 ，则 的值为 ． 【解答】解：由题， 为 的垂心（三角形三条高的交点）， ， ． 同理， ， 即 ． 设 ， ， ，，同理可求得 ， ． 故答案为： ． 30．（2023•新城区校级模拟）在平行四边形 中， 为 的重心， ，则 ． 【解答】解：在平行四边形 中， 为 的重心，设点 为 的中点， 如图所示： 故 ， ， 所以 ； 故 ． 由于 ，故 ， 所以 ． 故答案为： ． 31．（2021•商丘模拟）在 中， ， ， 为 的垂心，且满足 ，则 ． 【解答】解：如图所示， 为 的中点，不妨设 ，则 ．因为， 则 ， 则 ， ，由此可得 ． 故答案为： ． 32．（2023•浦东新区模拟）已知 是 的外心，且 ，则 ． 【解答】解：设 外接圆的半径为1， ， ， ， 是 的外心， ， ， ， 是 的外心， ， ， ， ，故答案为： ． 33．（2022•陕西模拟）已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ， ，设 为 的内心，则 的面积为 ． 【解答】解：当 时，由正弦定理 ，可得 ， 结合 ，由余弦定理 ，解之得 ， ， 若 为 的内心，则设 的内接圆半径为 ， 由 ，可得 ， ， 故 ， 所以 ， 所以 ． 故答案为： ． 34．（2022•宁波模拟）在 中，点 、点 分别为 的外心和垂心， ， ，则 8 ． 【解答】解： ， ， 因为 为垂心， 所以 ， 设 ， ，外接圆的半径为 ， 由 余 弦 定 理 得， 同理 ， 所 以 所以 ， 故答案为：8． 35．（2023•北辰区三模）在 中， ， ，若 为其重心，试用 ， 表 示 为 ；若 为其外心，满足 ， 且 ，则 的最大值为 ． 【解答】解：设 的中点为 ， 在 中， ， ， 为其重心， ； 若 为其外心， 则 ， ， ， ， ， ， 即 ， ，， ， 当且仅当 时取等号， 则 的最大值为1． 故答案为： ；1． 36．（2023•黄埔区校级模拟）已知 是三角形 的外心， ， ，若 ，且 ，则三角形 的面积为 2 4 或 ． 【解答】解：当 为直角时，由 ， ，求得 ，满足 ， 且 ， 此时三角形 的面积为 ； 当 不是直角时， 取 中点为 ，则 ， ， ， ． 又 ， ， ， 又 ，，则 ． 三角形 的面积为 ． 故答案为：24或 ． 37．（2022•浙江模拟）在 中，已知 ， ， ， 为 的内心， 的延长线交 于点 ，则 的外接圆的面积为 ， ． 【解答】解：由余弦定理得 ，所以 ， 设三角形的外接圆的半径为 ，所以 ，所以 ， 所以 的外接圆的面积为 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， ， 所以 ， 由正弦定理得 ， 所以 ． 故答案为： ； ．四．解答题（共3小题） 38．（2022•齐齐哈尔二模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作 答． ① 为 的内心； ② 为 的外心． （1）求 ； （2）若 ， ，_______，求 的面积． 【解答】解：（1）因为 ， 由正弦定理得 ， ， ， 三角形中， ，所以 ， ，则 ， 所以 ； （2）选① 为 的内心，如图， ， ， 分别是内切圆在各边上的切点， ，， 设内切圆半径为 ，则 ， 所以 ； 选② 为 的外心， 在 外部，如图， 外接圆 上， 由（1） ， 所以 ， 又 ， ， ． 39．（2022•福建模拟） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ． （1）求 的大小；（2） 为 内一点， 的延长线交 于点 ，______，求 的面积． 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题． ① 为 的外心， ； ② 为 的垂心， ； ③ 为 的内心， ． 【解答】解：（1）在 中，由余弦定理得 ，又因为 ， ， 所以 ，整理得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 即 ， 又因为 ，所以 ； 选①， 设 的外接圆半径为 ，则在 中，由正弦定理得 ，即 ， 因为 为外心，所以 ，与 矛盾，故不能选①； 选②， 因为 为 的垂心，所以 ， 又 ，所以在 中， ， 同理可得 ，又因为 ，所以 ， 即 ， 又因为在 中， ， 所以 ， 因此 ， 故 ， 为方程 两根， 即 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 为等边三角形， 所以 ； 选③， 因为 为 的内心，所以 ， 由 ， 得 ， 由（1）可得 ，即 ，所以 ， 即 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ． 40．（2022•广东模拟） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且．从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并 作答． ① 为 的内心；② 为 的外心；③ 为 的重心． （1）求 ； （2）若 ， ，________，求 的面积． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 正 弦 定 理 及 知 ， ， 整理得， ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ． （ 2 ） 在 中 ， 由 余 弦 定 理 知 ， ， 所以 ， 选择条件①： 为 的内心， 因为 的面积 ，其中 为内切圆的半径， 所以 ，解得 ， 故 的面积 ． 选择条件②： 为 的外心； 在外接圆 上取一点 ，连接 ， ，则 ，所以 ， 在 中，由正弦定理知， ，其中 为外接圆半径， 所以 ， 所以 的面积 ． 选择条件③： 为 的重心， 设 边上的高为 ， 的面积 ，即 ，解得 ， 因为 为 的重心，所以点 到 的距离 ， 所以 的面积 ．