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专题 4.5 《导数》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2020·全国高二课时练习）已知f(x)＝sinx－cosx，则 ＝（ ）
A．0 B．
C． D．1
2．（2021·全国高三其他模拟（文））函数 在 处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））曲线 在 处的切线方程为（
）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏高三其他模拟）函数 的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
5．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、
航天等众多领域，并取得了显著经济效益，假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）
与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为初始时该放射性同位素的含量，已知
时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间
为（ ）．
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
6．（2020·全国高二课时练习）函数 在 上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数 的所有零点之和为0，则实数a
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
8．（2020·云南丽江市·高二期末（文））已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，函数
满足：当 时， ，且 ．则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知定义在 上的函数 满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·辽宁高三其他模拟）已知 和 是函数 的两个极值
点，且函数 有且仅有两个不同零点，则 值为（ ）
A． B． C． D．0
11．（2021·济南市·山东师范大学附中高二期中）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）A．若 在 单调递增，则实数
B．当 时， 是 的极值点
C．当 时， 的零点 满足
D．当 时， 恒成立
12．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）函数 ， ，下列说法正确的是（
）
A．当 时， 在 处的切线方程为
B．当 时， 存在唯一极小值点 且
C．存在 ， 在 上有且只有一个零点
D．对任意 ， 在 上均存在零点
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·浙江高二期末）曲线 上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．
14．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））若函数 在上有两个零点，则实数 的取
值范围为___________.
15．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数 对 均有 ，若
恒成立，则实数m的取值范围是_______.
16．（2021·辽宁大连市·高三二模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如
果函数 ，数列 为牛顿数列，设 ，且 ， .则 ________；
数列 的前 项和为 ，则 _______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的极值．
18．（2021·江苏高二月考）设函数
（1）若 在点 处的切线为 ，求a，b的值；
（2）求 的单调区间.
19．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知函数 .
（1）当 时，判断 的单调性；
（2）若 有两个极值点，求实数 的取值范围.
20．（2021·河南郑州市·高二期末（理））已知函数 ， ，其中 ．
（1）若曲线 在 处的切线斜率为 ，求 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
21．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知函数 ．（1）求 的单调区间；
（2）若方程 有两个不同的解，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
22．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝1+lnx+ ln2x﹣x.
（1）若g（x）＝f′（x），求g（x）的极大值.
（2）当x≥a（a∈R）时，f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值.
（3）当x∈（0，1）时，证明：xex+3sinx＞4x+x2.
