文档内容
专题 4.4 平面向量基本定理及坐标表示
【新高考专用】
题型一 平面向量基本定理的应用
1
1．（2024·山东潍坊·模拟预测）在△ABC中，⃗AD= ⃗AB，点E为CD的中点，设⃗AC=⃗a，⃗AE=⃗b，则
3
⃗AB=（ ）
A．6⃗b−3⃗a B．6⃗b−2⃗a C．4⃗b−3⃗a D．3⃗b−2⃗a
【解题思路】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
1
【解答过程】因为⃗AD= ⃗AB，点E为CD的中点，
3
所以⃗AB=3⃗AD=3(⃗CD−⃗CA)=3⃗CD+3⃗AC
=6(⃗AE−⃗AC)+3⃗AC=6⃗AE−3⃗AC=6⃗b−3⃗a.
故选：A.
2．（2024·四川·一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且⃗BD=⃗DA，⃗AE=3⃗EC，点
F为DE中点，则⃗BF=（ ）
1 3 3 1 3 3 3 3
A．− ⃗BA+ ⃗BCB． ⃗BA+ ⃗BC C． ⃗BA+ ⃗BC D． ⃗BA+ ⃗BC
8 8 4 2 8 8 8 41
【解题思路】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到⃗BF= (⃗BD+⃗BE)，再利用向量的线性运
2
算，即可求解.
1
【解答过程】因为点F为DE中点，所以⃗BF= (⃗BD+⃗BE)，又⃗BD=⃗DA，⃗AE=3⃗EC，
2
1 1 1 1 1 1 1 3 3
所以⃗BF= (⃗BD+⃗BE)= ⃗BA+ (⃗BC+ ⃗CA)= ⃗BA+ ⃗BC+ (⃗BA−⃗BC)= ⃗BA+ ⃗BC
2 4 2 4 4 2 8 8 8
故选：C.
3．（2024·安徽·模拟预测）已知O为等边△ABC的中心，若⃗OA=3⃗a,⃗AB=2⃗b，则⃗AC= −9⃗a−2⃗b ．
（用⃗a,⃗b表示）
1
【解题思路】等边三角形的中心即三边中线的交点，由重心的结论：DO= OA，结合向量的线性运算即
2
可求解.
【解答过程】解：由题可得如图：
∵O是△ABC的重心，⃗OA=3⃗a，O是△ABC各边中线的交点，
1 3
∴⃗DO= ⃗OA⇒⃗DO= ⃗a，
2 2
9 9
∴⃗DA=⃗DO+⃗OA= ⃗a⇒⃗AD=− ⃗a，
2 2
又D为BC的中点，⃗AB=2⃗b，故：
1
⃗AD= (⃗AB+⃗AC)⇒⃗AC=2⃗AD−⃗AB,
2
所以：⃗AC=−9⃗a−2⃗b，故答案为：−9⃗a−2⃗b.
4．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形ABCD中，E为BC中点，AE与BD交于点F，若将⃗AB=⃗a，
1 2
⃗AD=⃗b作为平面向量的一个基，则向量⃗AF可表示为 ⃗b+ ⃗a （用⃗a、⃗b表示）.
3 3
AF
【解题思路】先利用平行线的性质求出 ，进而利用向量的线性运算求解即可.
EF
【解答过程】由已知AD//BE，
AF AD
则 = =2，
EF BE
2
所以AF= AE，
3
所以⃗AF= 2 ⃗AE= 2(1 ⃗AD+⃗AB ) = 1 ⃗b+ 2 ⃗a.
3 3 2 3 3
1 2
故答案为： ⃗b+ ⃗a.
3 3
题型二 利用平面向量基本定理求参数
5．（2024·广东珠海·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足⃗BD=3⃗DC，M是AD的中点，若
⃗BM=λ⃗BA+μ⃗BC，则λ+μ=（ ）
5 7 5
A． B．1 C． D．
4 8 8
【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
1 1 1
【解答过程】由题可知，⃗AM= ⃗AD⇒2⃗BM−2⃗BA=⃗BD−⃗BA⇒⃗BM= ⃗BA+ ⃗BD，
2 2 2
3
⃗BD=3⃗DC=3(⃗BC−⃗BD)⇒⃗BD= ⃗BC,
4
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 3 ⃗ 1 3 7
所以有BM= BA+ BD= BA+ BC，所以λ= ,μ= ，得λ+μ= .
2 2 2 8 2 8 8故选：C.
6．（2024·广东汕头·一模）在平行四边形ABCD中，G为△ABC的重心，满足
⃗AG=x⃗AB+ y⃗AD(x,y∈R)，则x+2y=（ ）
4 5
A． B． C．0 D．−1
3 3
【解题思路】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.
【解答过程】如图，设AC与BD相交于点O，G为△ABC的重心，
可得O为BD的中点，BG=2GO，
1 1 1 1
所以⃗AG=⃗AO+⃗OG=⃗AO+ ⃗OB=⃗AO+ ⃗DB= (⃗AB+⃗AD)+ (⃗AB−⃗AD)
3 6 2 6
2 1
= ⃗AB+ ⃗AD，
3 3
因为⃗AG=x⃗AB+ y⃗AD(x,y∈R)，
2 1 2 1 4
所以x= ,y= ，则x+2y= +2× =
.
3 3 3 3 3
故选：A.
7．（2024·江西·二模）在△ABC中，已知⃗DC=3⃗BD，P为线段AD的中点，若⃗BP=λ⃗BA+μ⃗BC，则
1 1
+ = 10 ．
λ μ
1 1
【解题思路】根据题意，由向量的线性运算公式可得⃗BP= ⃗BA+ ⃗BD，由平面向量基本定理可得λ、μ
2 8
的值，进而计算可得答案．
1
【解答过程】根据题意，在△ABC中，已知⃗DC=3⃗BD，则⃗BD= ⃗BC，
4
由于P为线段AD的中点，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
则BP=BD+DP=BD+ DA=BD+ (BA−BD)= BA+ BD= BA+ BC，
2 2 2 2 2 8
1 1
又⃗BP=λ⃗BA+μ⃗BC，⃗BA、⃗BC不共线，故λ= ，μ= ，
2 81 1
所以 + =2+8=10．
λ μ
故答案为：10．
8．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，⃗AB=2⃗DC，点E是线段BC的中点，若⃗AE=λ⃗AB+μ⃗AD，
则λ+μ=
5
.
4
【解题思路】
连接CF,依题意可得▱AFCD,利用平面向量基本定理，将⃗AE用⃗AB和⃗AD表示出来即得.
【解答过程】
如图，取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF ∥ AD，且CF=AD.
∵⃗AE=⃗AB+⃗BE=⃗AB+ 1 ⃗BC=⃗AB+ 1 (⃗FC−⃗FB)=⃗AB+ 1(⃗AD− 1 ⃗AB ) = 3 ⃗AB+ 1 ⃗AD，
2 2 2 2 4 2
3 1 5
∴λ= ,μ= ,λ+μ= .
4 2 4
5
故答案为： .
4
题型三 平面向量的坐标运算
1
9．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(3,−2)，B(−5,−1)，且⃗AP= ⃗AB，则点P的坐标为（ ）
2
( 3) ( 3)
A． −1,− B．(−8,1) C． 1, D．(8,−1)
2 2
【解题思路】设点P的坐标为(x,y)，根据平面向量的坐标运算可得出关于x、y的方程组，解出这两个未
知数的值，即可得出点P的坐标.1
【解答过程】点A(3,−2)、B(−5,−1)，且⃗AP= ⃗AB，
2
1 ( 1)
设点P的坐标为(x,y)，则(x−3,y+2)= (−8,1)= −4, ，
2 2
1 3 ( 3)
所以，x−3=−4，y+2= ，求得x=−1，y=− ，故点P的坐标为 −1,− ，
2 2 2
故选：A．
10．（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量⃗a=(1,0),⃗b=(0,1)，则2⃗a+3⃗b=（ ）
A．(2,−3) B．(−2,−3) C．(−2,3) D．(2,3)
【解题思路】运用向量的坐标运算计算即可.
→ →
【解答过程】因为向量⃗a=(1,0),⃗b=(0,1)，所以2a+3b=2(1,0)+3(0,1)=(2,3).
故选：D.
11．（2024·上海嘉定·一模）已知⃗a=(2,1),⃗b=(−1,2)，则2⃗a+3⃗b= (1,8) ．
【解题思路】根据向量坐标的线性运算可得答案.
【解答过程】因为⃗a=(2,1),⃗b=(−1,2)，
所以2⃗a+3⃗b=2(2,1)+3(−1,2)=(1,8).
故答案为：(1,8).
12．（2024·贵州·模拟预测）已知向量⃗a=(1,0),⃗b=(1,1),⃗c=(−1,2)，且⃗c=λ⃗a+μ⃗b，则λ+μ= −1 .
【解题思路】先求得⃗c=λ⃗a+μ⃗b的坐标，再利用向量相等求解.
【解答过程】解：因为⃗a=(1,0),⃗b=(1,1)，
所以⃗c=λ⃗a+μ⃗b=(λ+μ，μ)，
又因为⃗c=(−1,2)，
所以¿
解得λ=−3,∴λ+μ=−1．
故答案为：−1.
题型四 由向量共线（平行）求参数13．（2024·青海西宁·一模）已知向量⃗a=(m,−1)，⃗b=(1,m−2)，若⃗a//⃗b，则m=（ ）
A．−1 B．1 C．−1−√2 D．−1+√2
【解题思路】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，列式计算即得.
【解答过程】向量⃗a=(m,−1)，⃗b=(1,m−2)，由⃗a//⃗b，得m(m−2)+1=0，即m2−2m+1=0，
所以m=1.
故选：B.
14．（2024·河南南阳·一模）已知向量⃗a=(1,−2),⃗b=(x,−1),⃗c=(−4,x)，若2⃗a+⃗b,⃗a−⃗c反向共线，则
实数x的值为（ ）
A．−7 B．3 C．3或−7 D．−3或7
【解题思路】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可.
【解答过程】因为⃗a=(1,−2),⃗b=(x,−1),⃗c=(−4,x)，所以2⃗a+⃗b=(2+x,−5),⃗a−⃗c=(5,−2−x).
因为2⃗a+⃗b,⃗a−⃗c共线，所以(2+x)×(−2−x)−(−5)×5=0，解得x=3或x=−7.
又2⃗a+⃗b,⃗a−⃗c反向共线，代入验证可知x=3时为同向，舍去.
而x=−7满足条件，所以x=−7.
故选：A.
15．（2024·江西南昌·模拟预测）已知⃗a=(1,2),⃗b=(−1,3)，若(k⃗a+⃗b)//(2⃗a−⃗b)，则k的取值为 −2
.
【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【解答过程】因为⃗a=(1,2),⃗b=(−1,3)，所以2⃗a−⃗b=(3,1)，k⃗a+⃗b=(k−1,2k+3)，
由(k⃗a+⃗b)//(2⃗a−⃗b)，则有3×(2k+3)−1×(k−1)=0，解得k=−2.
故答案为：−2.
→ →
16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量 a=(3,4)，b=(m,3) .若向量⃗a−2⃗b与⃗a+⃗b共线，则实数m
9
的值为 .
4
【解题思路】借助向量的坐标运算与共线性质计算即可得.【解答过程】由题意，知⃗a−2⃗b=(3−2m,−2),⃗a+⃗b=(3+m,7)，
9
由向量⃗a−2⃗b与⃗a+⃗b共线，得7(3−2m)+2(3+m)=0，解得m=
.
4
9
故答案为： .
4
题型五 利用向量共线求向量或点的坐标
17．（23-24高三上·广西南宁·期末）已知平面向量⃗a=(1,2)，⃗b=(−2,m)，且⃗a∥⃗b，则2⃗a+⃗b=
（ ）
A．(−2,−4) B．（0，0）
C．(−1,−2) D．（1，2）
【解题思路】根据⃗a∥⃗b求得m，进而求得2⃗a+⃗b.
【解答过程】由于⃗a∥⃗b，所以1×m=2×(−2),m=−4,⃗b=(−2,−4)，
所以2⃗a+⃗b=(2,4)+(−2,−4)=(0,0).
故选：B.
18．（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知⃗a=(2,1)，⃗b=(x,−2)，若⃗a∥⃗b，则⃗a+⃗b=（ ）
A．(−2,−1) B．(2,1) C．(3,−1) D．(−3,1)
【解题思路】根据题意结合向量共线的坐标运算可得x=−4，代入运算求解即可.
【解答过程】因为⃗a=(2,1)，⃗b=(x,−2)，
若⃗a∥⃗b，则x=2×(−2)=−4，即⃗b=(−4,−2)，
所以⃗a+⃗b=(−2,−1).
故选：A.
19．（23-24高一下·北京·期中）已知点A(−1,5)，若向量⃗AB和向量⃗a=(2,3)同向，⃗AB=3⃗a，则点B的坐
标为 (5,14) ．
【解题思路】设出点B的坐标，表示出向量⃗AB后结合向量共线的坐标表示计算即可得.
【解答过程】设点B的坐标为B(m,n)，则⃗AB=(m+1,n−5)，由⃗AB=3⃗a，故¿，故¿，故B(5,14).
故答案为：(5,14).
20．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知A(0,−3),B(3,3),C(x,1)，若⃗AB//⃗BC，则⃗AC=
(2,4) .
【解题思路】利用向量的坐标表示，结合向量共线的坐标表示计算即得.
【解答过程】由A(0,−3),B(3,3),C(x,1)，得⃗AB=(3,6),⃗BC=(x−3,−2)，
由⃗AB//⃗BC，得6(x−3)=−6，解得x=2，则C(2,1)，
所以⃗AC=(2,4).
故答案为：(2,4).
题型六 向量坐标的线性运算解决几何问题
21．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为AD上一点，
BE⊥AC，若⃑BA=λ⃑BE+μ⃑AC，则λ−μ的值为（ ）
1 7 16
A． B． C． D．1
5 25 25
【解题思路】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.
【解答过程】
建立如图示坐标系，由AB=3,BC=4,则有：B(0,0),C(4,0),A(0,3),D(4,3),
因为E为AD上一点，可设E(x,3),
所以⃑BA=(0,3),⃑BE=(x,3),⃑AC=(4,−3).
9 (9 )
因为BE⊥AC，所以 ⃑BE·⃑AC=0，即4x−9=0，解得：x= ，所以E ,3 .
4 4
由⃑BA=λ⃑BE+μ⃑AC得：
¿，解得：¿，所以λ−μ=1.
故选：D.22．（23-24高一下·四川雅安·期末）如下图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，
且OD=2，点P为△BCD内(含边界)的动点，设⃑OP=α⃑OC+β⃑OD(α,β∈R)，则α+β的最大值等于
( )
5 3
A．3 B．2 C． D．
2 2
【解题思路】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设
1 1 1
P(x,y)，易得α= y,β= x，则α+β= x+ y，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数 x+ y在
2 2 2
可行域△BCD内(含边界)的最大值，即可求出结果．
【解答过程】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则
C(0,1),D(2,0)，如下图所示：
设P(x,y)，
∵ ⃑OP=α⃑OC+β⃑OD(α,β∈R)，
∴(x,y)=α(0,1)+β(2,0)=(2β,α)，
1
∴x=2β,y=α，即α= y,β= x，
2
1
∴α+β= x+ y，
2
1 1 1
令z= x+ y,则y=− x+z，其中z为直线y=− x+z在y轴上的截距，
2 2 23
由图可知，当该直线经过点B(1,1)时，其在y轴上的截距最大为 ，
2
3
∴α+β的最大值为 ．
2
故选：D．
23．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,0)，则以A，B，C为顶点的平行四
边形的第四个顶点D的一个坐标可以是 (0,−2)或(2,2)或(−2,2)（答案不唯一） .
【解题思路】分三种情况①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC，利用平行四边形一组对边平行且相等
借助向量相等即可求解.
【解答过程】设点D(x,y)，以A,B,C为顶点的平行四边形可以有三种情况：
①若四边形为▱ABCD时，
因为A(1,0),B(0,2),C(−1,0)，可得⃗AB=(−1,2),⃗DC=(−1−x,−y)，
由⃗AB=⃗DC，可得¿，解得x=0,y=−2，即D(0,−2)；
②若四边为▱ADBC，
因为A(1,0),B(0,2),C(−1,0)，可得⃗CB=(1,2),⃗AD=(x−1,y)，
由⃗CB=⃗AD，可得¿，解得x=2,y=2，即D(2,2)；
③若四边形为▱ABDC时，
因为A(1,0),B(0,2),C(−1,0)，可得⃗AB=(−1,2),⃗CD=(x+1,y)，
由⃗AB=⃗CD，可得¿，解得x=−2,y=2，即D(−2,2).
综上可得，点D的坐标为(0,−2)或(2,2)或(−2,2).
故答案为：(0,−2)或(2,2)或(−2,2)（答案不唯一）.
24．（23-24高三上·河北唐山·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜
边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操
1
作作图，得到如图所示的图形.若⃗FA+x⃗AB= y⃗DA，则x−y= − .
2【解题思路】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【解答过程】如图，以A为原点，分别以⃗AB,⃗AD为x,y轴建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2a，则正方形DEHI的边长为√3a，正方形EFGC边长为a
可知A(0,0)，B(2a,0)，D(0,2a)，DF=(√3+1)a
(3+√3 5+√3 )
则x =(√3+1)a⋅cos30∘，y =(√3+1)a⋅sin30∘+2a，即F a, a
F F 2 2
又⃗FA+x⃗AB= y⃗DA，即⃗AF=x⃗AB+ y⃗AD，
(3+√3 5+√3 )
∴ a, a =x(2a,0)+ y(0,2a)=(2ax,2ay)
2 2
3+√3 5+√3 1
即¿，即2ax−2ay= a− a，化简得x−y=−
2 2 2
1
故答案为：− .
2
题型七 由向量线性运算解决最值和范围问题
25．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE＝2CD．
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE，则λ+μ的取值范围为 [0,4] ．
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论P∈AB,P∈BC,P∈CD,P∈DA四种情况，即可求
出λ+μ的取值范围.
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：
则B(1,0),E(−2,1)，所以⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE=(λ−2μ,μ)，
当P∈AB时，有¿，即0≤λ≤1,μ=0，此时λ+μ的取值范围为[0,1]，
当P∈BC时，有¿，即1≤λ+μ=(λ−2μ)+3μ=1+3μ≤4，此时λ+μ的取值范围为[1,4]，
当P∈CD时，有¿，即3≤λ+μ=(λ−2μ)+3μ=(λ−2μ)+3≤4，此时λ+μ的取值范围为[3,4]，
当P∈DA时，有¿，即0≤λ+μ=(λ−2μ)+3μ=3μ≤3，此时λ+μ的取值范围为[0,3]，
综上所述，λ+μ的取值范围为[0,4].
故答案为：[0,4].
26．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2√5，O是BC的中点，E是正方形内一动点，
且OE=2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°至线段DF，若⃑OF=x⃑BA+ y⃑BC，则x+ y的最小值为
√10
2− .
5
【解题思路】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设∠BOE=θ,写出相关
点的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.
【解答过程】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),, , , , .设 ,则 .又
A(0,2√5)O(√5,0)C(2√5,0)⃑BA=(0,2√5)⃑BC=(2√5,0) ∠BOE=θ E(√5−2cosθ,2sinθ)
, ,所以
DE=DF∠EDF=90° x =2√5+DF⋅sin∠CDF=2√5+DE⋅cos∠EDC
F
=2√5+2√5−y =4√5−2sinθ,
E
y =2√5−DF⋅cos∠CDF=2√5−DE⋅sin∠EDC=2√5−(2√5−x )=√5−2cosθ所以
F E
F(4√5−2sinθ,√5−2cosθ),所以⃑OF=(3√5−2sinθ,√5−2cosθ).
( π)
又⃑OF=x⃑BA+ y⃑BC,所以¿,从而2√5(x+ y)=4√5−2sinθ−2cosθ=4√5−2√2sin θ+ .因为点E是
4
π √10
正方形ABCD内一动点,所以θ∈(0,π),所以当θ= 时,x+ y取最小值,为2− .
4 5
√10
故答案为：2− .
5
1
27．（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AB // DC,AD=DC= AB=1，且
2
AB⊥AD，点P是以A为圆心，AD为半径的圆上的一点，若⃗AP=x⃗AC+ y⃗AB，则3x+ y的最小值为
√26
− ．
2
【解题思路】建立如图平面直角坐标系，设P(cosθ,sinθ)，利用平面向量线性运算的坐标表示和相等向√26
量建立方程组，解出x、y，进而利用辅助角公式化简可得3x+ y= sin(θ+φ)（其中
2
5 1
cosφ= ,sinφ= ），结合正弦函数的想即可求解.
√26 √26
【解答过程】以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
所以B(2,0),C(1,1),A(0,0)，设P(cosθ,sinθ)，
则⃗AP=(cosθ,sinθ),⃗AB=(2,0),⃗AC=(1,1)，
所以⃗AP=x⃗AC+ y⃗AB=x(1,1)+ y(2,0)=(x+2y,x)=(cosθ⋅sinθ)．
cosθ−sinθ
所以x+2y=cosθ,x=sinθ．所以x=sinθ,y= ．
2
cosθ−sinθ 5 1 √26
所以3x+ y=3sinθ+ = sinθ+ cosθ= sin(θ+φ)，
2 2 2 2
5 1 √26
其中cosφ= ,sinφ= ，所以(3x+ y) = − ，
√26 √26 min 2
√26
此时sin(θ+φ)=−1，所以3x+ y的最小值为− ．
2
√26
故答案为：− .
2
28．（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在四边形ABCD中∠BAD=60°,AD=AB，
∠BCD=120°,CB=CD，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且⃗AE=x⃗AB+ y⃗AD，
[ 5 49 ]
则xy的取值范围是 , ．
18 144
【解题思路】以AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设|AB|=2√3a，且E(m,n)，根据题意，由⃗AE=x⃗AB+ y⃗AD，求得E(2√3ax+√3ay−√3a,3ay)，再由线段MN的方程，将点E代入线
7 7
段MN的方程，得到x= −y，进而求得xy= y( −y)，结合二次函数的性质，即可求解.
6 6
【解答过程】以AB的中点O为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面
直角坐标系，如图所示，设|AB|=2√3a，
因为∠BAD=60°,AD=AB，可得△ABD为等边三角形，
又因为∠BCD=120°,CB=CD，可得∠DBC=30∘，且BC=CD=2a，则BC⊥x轴，
√3 5
则A(−√3a,0),B(√3a,0),D(0,3a),C(√3a,2a)，可得M(√3a,a),N( a, a)，
2 2
设E(m,n)，则⃗AE=(m+√3a,n),⃗AB=(2√3a,0),⃗AD=(√3a,3a)，
因为⃗AE=x⃗AB+ y⃗AD，可得(m+√3a,n)=x(2√3a,0)+ y(√3a,3a)，
则¿，即¿，
即E(2√3ax+√3ay−√3a,3ay)，
又由M,N为BC,CD的中点，可得BD//MN，
5a
因为k =k =−√3，所以线段MN的方程为y−a=−√3(x−√3a)，其中a≤ y≤ ，
MN BD 2
将点E代入线段MN的方程，可得n−a=−√3(m−√3a)，
7 7
即3ay−a=−√3⋅(2√3ax+√3ay−2√3a)，整理得x+ y= ，即x= −y，
6 6
5a 1 5
因为点E(m,n)在线段MN上，可得a≤3ay≤ ，即 ≤ y≤ ，
2 3 6
7 7 7 2 49 1 5
又由xy= y( −y)=−y2+ y=−(y− ) + ，其中 ≤ y≤ ，
6 6 12 144 3 6
7 49
当y= 时，xy取得最大值，最大值为 ；
12 144
1 5 5
当y= 或y= 时，xy取得最小值，最小值为 ，
3 6 18
5 49
所以xy的取值范围为[ , ].
18 144
5 49
故答案为：[ , ].
18 144一、单选题
1．（2024·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD中，⃗AB=2⃗AE，⃗BF=2⃗BC，则⃗EF=（ ）
1 1 1
A．2⃗AB+ ⃗AD B． ⃗AB+ ⃗AD
2 2 2
1
C． ⃗AB+2⃗AD D．2⃗AB+2⃗AD
2
【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】
1
如图：⃗EF=⃗EB+⃗BF= ⃗AB+2⃗AD.
2
故选：C.
2．（2024·青海·一模）已知向量⃗a,⃗b不平行，向量3⃗a+4⃗b与k⃗a−2⃗b平行，则k=（ ）
8 8 3 3
A．− B． C．− D．
3 3 2 2
【解题思路】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可求解.
【解答过程】因为向量3⃗a+4⃗b与k⃗a−2⃗b平行，
所以3⃗a+4⃗b=λ(k⃗a−2⃗b)=λk⃗a−2λ⃗b．
因为向量⃗a,⃗b不平行，
3
所以¿解得λ=−2,k=− ．
2故选：C.
1
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(k,−1)，则“k=− ”是“⃗a∥⃗b”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断.
1
【解答过程】由⃗a=(1,2)，⃗b=(k,−1)，若⃗a∥⃗b，则2k=−1，解得k=− ，
2
1
故“k=− ”是“⃗a∥⃗b”的充要条件，
2
故选：C.
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）若向量⃗AB=(2,5)，⃗AC=(m,m+1)，且A，B，C三点共线，则m=
（ ）
2 2 3 3
A．− B． C．− D．
3 3 2 2
【解题思路】由题意可得⃗AB∥⃗AC，根据两向量平行的坐标运算求解即可.
【解答过程】解：由A，B，C三点共线，
得⃗AB∥⃗AC，
2
得2(m+1)−5m=0，解得m=
.
3
故选：B.
5．（2024·云南·模拟预测）在△ABC中，点D是线段BC上的一点，且满足⃗BC=3⃗BD，点P是线段AD的
中点，若存在实数m和n，使得⃗BP=m⃗AB+n⃗AC，则m+n=（ ）
1 1 1 1
A． B．− C． D．−
3 3 2 2
【解题思路】由平面向量的线性运算求解即可.
1 1 2 1
【解答过程】由题意，⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC−⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC，
3 3 3 3
1 1 1 2 1
而⃗BP=⃗AP−⃗AB= ⃗AD−⃗AB= ⃗AB+ ⃗AC−⃗AB=− ⃗AB+ ⃗AC，
2 3 6 3 6
1
由已知，¿，则m+n=− ，
2
故选：D．
6．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利
用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则⃗AB=（ ）
3 5 5 3
A．− ⃗CE+ ⃗DE B．− ⃗CE+ ⃗DE
2 6 6 2
2 5 5 2
C．− ⃗CE+ ⃗DE D．− ⃗CE+ ⃗DE
3 6 6 3
【解题思路】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量
基本定理即得.
【解答过程】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
不妨设AD=2，则A(−1，√3)，B(5，5√3)，D(0，0)，E(9，√3)，C(0，4√3)，
故⃗AB=(6，4√3)，⃗CE=(9，−3√3)，⃗DE=(9，√3).
设⃗AB=x⃗CE+ y⃗DE，则¿，
解得¿，
5 3
所以⃗AB=− ⃗CE+ ⃗DE.
6 2
故选：B.
2x+5 y
7．（2024·福建·模拟预测）在△ABC中，点D是边BC上一点，若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则 的最小
xy值为（ ）
A．7−2√10 B．7+2√10 C．−2√10 D．7
【解题思路】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得x+ y=1，x>0，y>0.，再利用基本不等式
“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】在△ABC中，点D是边BC上一点，⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则x+ y=1，x>0，y>0.
2x+5 y 5 2 5 y 2x √5 y 2x
=( + )(x+ y)=7+ + ≥7+2 ⋅ =7+2√10，
xy x y x y x y
5 y 2x 5−√10 √10−2
当且仅当 = ，即x= ,y= 时取等号，
x y 3 3
2x+5 y
所以 的最小值为7+2√10.
xy
故选：B.
→ →
8．（2024·四川成都·二模）已知向量e ，e 是平面α内的一组基向量，P为α内的定点，对于α内任意一点
1 2
⃗ → →
P，当OP=xe + ye 时，称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x 1 ,y 1 )，
1 2
(x ,y )，则“⃗OA//⃗OB"是“x y =x y ”的（ ）
2 2 1 2 2 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据平面向量基本定理可得解.
⃗ → → ⃗ → →
【解答过程】由已知可得OA=(x ,y )=x e + y e ，OB=(x ,y )=x e + y e ，
1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2
若⃗OA//⃗OB，则∃λ∈R，使⃗OA=λ⃗OB，即x → e + y → e =λ ( x → e + y → e ) ，则¿，即x 1 y 2 =x 2 y 1 ；
1 1 1 2 2 1 2 2
若x y =x y ，则∃λ∈R，使⃗OA=λ⃗OB，即⃗OA//⃗OB，
1 2 2 1
故“⃗OA//⃗OB"是“x y =x y ”的充要条件，
1 2 2 1
故选：C.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(−2,1).若(x⃗a−⃗b)//(⃗a−x⃗b)，则x=（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示列式计算即得.【解答过程】向量⃗a=(1,2),⃗b=(−2,1)，则x⃗a−⃗b=(x+2,2x−1)，⃗a−x⃗b=(1+2x,2−x)，
由(x⃗a−⃗b)//(⃗a−x⃗b)，得(x+2)⋅(2−x)=(2x−1)(1+2x)，即x2=1，解得x=±1，
所以x=−1或x=1.
故选：AC.
1
10．（2024·广东梅州·三模）如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD= AB，E，F分别
2
为DC，AE的中点，若⃗AD=λ⃗AB+μ⃗BF(λ,μ∈R)，则（ ）
7
A．λ= B．μ=2
2
7
C．λ= D．μ=1
4
【解题思路】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
1 1
【解答过程】因为CD∥AB，CD= AB=2，所以⃗AD=⃗AE+⃗ED=⃗AE− ⃗AB，
2 4
因为F为AE的中点，所以⃗AE=2⃗AF=2(⃗AB+⃗BF)=2⃗AB+2⃗BF，
1 7 7
所以⃗AD=2⃗AB+2⃗BF− ⃗AB= ⃗AB+2⃗BF，所以λ= ，μ=2.
4 4 4
可知：AD错误，BC正确.
故选：BC.
11．（2024·安徽·三模）已知向量⃗a=(1,2),⃗a−⃗b=(3,1)，则（ ）
A．⃗b=(−2,1) B．⃗a∥⃗b
C．⃗a⊥⃗b D．⃗a−⃗b在⃗a上的投影向量为⃗a
【解题思路】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC，由投影向量的定义可判断D.
【解答过程】对于A，⃗b=⃗a−(⃗a−⃗b)=(1,2)−(3,1)=(−2,1)，故A正确；
对于BC，由于1×1−2×(−2)=5≠0，1×(−2)+2×1=0，故B错误，C正确；((⃗a−⃗b)⋅⃗a) ⃗a ((⃗a−⃗b)⋅⃗a) 5
对于D，⃗a−⃗b在⃗a上的投影向量为 ⋅ = ⋅⃗a= ⋅⃗a=⃗a，故D正确.
|⃗a| |⃗a| |⃗a| 2 5
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·四川雅安·一模）已知向量⃗a=(4,−2)，⃗b=(2,x)．若⃗a//(2⃗a−⃗b)，则x= −1 ．
【解题思路】先求出2⃗a−⃗b的坐标，再由⃗a//(2⃗a−⃗b)根据向量平行的坐标性质后可求出x的值.
【解答过程】∵⃗a=(4,−2)，⃗b=(2,x)，∴2⃗a−⃗b=(6,−4−x)，
由⃗a//(2⃗a−⃗b)得4×(−4−x)=−12，解得4×(−4−x)=−12，解得x=−1.
故答案为：−1.
13．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形ABC中，E，F是AC上中线BD的三等分点满足DE=EF=FB，
记⃗DF=x⃗AB+ y⃗CE，则x+ y= 1 .
【解题思路】结合图形，由平面向量线性运算和平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】如图，
2 2 2 2 2 2
⃗DF= ⃗DB= (⃗AB−⃗AD)= ⃗AB− ⃗DC= ⃗AB+ (⃗CE+⃗ED)
3 3 3 3 3 3
2 2 2 1 1 1 1
= ⃗AB+ ⃗CE− × ⃗DF⇒⃗DF= ⃗AB+ ⃗CE，所以x= y= ，所以x+ y=1.
3 3 3 2 2 2 2
故答案为：1.
2
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点（与端点不重
3
x+ y
合），设⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则 的最小值是 4+2√3 .
xy2
【解题思路】由⃗BD= ⃗BC，得到⃗CB=3⃗CD，从而有⃗CP=x⃗CA+3 y⃗CD，再根据A,P,D三点共线，得
3
到x+3 y=1，然后利用基本不等式求解.
2
【解答过程】解：因为在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，
3
所以⃗CB=3⃗CD，
又因为⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则⃗CP=x⃗CA+3 y⃗CD，
因为A,P,D三点共线，则x+3 y=1，结合题意知x>0,y>0，
x+ y 1 1 (1 1)
所以 = + = + (x+3 y)，
xy y x y x
x 3 y √ x 3 y
= + +4≥2 ⋅ +4=2√3+4，
y x y x
当且仅当¿，即¿ ¿时，等号成立，
故答案为：4+2√3.
四、解答题
15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形ABCD中，已知A(2,1)、B(−3,2)、C(−1,3)，
其对角线交点为M.求：
(1)向量⃗AC与⃗BC的坐标；
(2)点D与M的坐标.
【解题思路】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据
向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标.
【解答过程】（1）因为A(2,1),B(−3,2),C(−1,3)
⃗
所以AC=(−1,3)−(2,1)=(−3,2) ，
⃗
BC=(−1,3)−(−3,2)=(2,1) .
（2）设M(a,b)，因为M为AC中点，A(2,1)、C(−1,3)，
(1 )
所以¿，所以M ,2 .
2设D(x,y)，则⃗AD=(x−2,y−1)，
由▱ABCD得⃗AD=⃗BC，
即¿所以¿即D(4,2).
1 2
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在△ABC中，⃗AM= ⃗AB，⃗CN= ⃗CB．设⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b．
2 3
(1)用⃗a，⃗b表示⃗AN，⃗MN；
4 1
(2)若P为△ABC内部一点，且⃗BP=− ⃗a+ ⃗b．求证：M，P，N三点共线．
9 9
1 2
【解题思路】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出⃗AN= ⃗b+ ⃗a，进而得到
3 3
1 1
⃗MN=⃗AN−⃗AM= ⃗b+ ⃗a；
3 6
1 1
（2）计算出⃗MP= ⃗b+ ⃗a，结合（1）可得⃗MN=3⃗MP，证明出结论.
9 18
【解答过程】（1）由题可知，
2 2
⃗AN=⃗AC+⃗CN=⃗AC+ ⃗CB=⃗AC+ (⃗AB−⃗AC）
3 3
1 2 1 2
= ⃗AC+ ⃗AB= ⃗b+ ⃗a，
3 3 3 3
1 2 1 1 1
⃗MN=⃗AN−⃗AM=( ⃗b+ ⃗a)− ⃗a= ⃗b+ ⃗a
3 3 2 3 6
1 4 1 1 1
（2）⃗MP=⃗MB+⃗BP= ⃗a+(− ⃗a+ ⃗b)= ⃗b+ ⃗a
2 9 9 9 18
∵⃗MN=3⃗MP，且有公共点M
∴M，P，N三点共线.
17．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）在空间直角坐标系中，已知A(0,1,2)，B(2,−1,5)，C(−2,2,2)，
D(1,2,m).
(1)若AB⊥CD，求m的值；
(2)若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，求x+ y+m的值.
【解题思路】（1）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量垂直建立数量积为零方程，可得答案；（2）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量线性运算建立方程组，可得答案.
【解答过程】（1）⃗AB=(2,−2,3)，⃗CD=(3,0,m−2)，
因为AB⊥CD，所以⃗AB⋅⃗CD=0，
即6+3(m−2)=0，解得m=0.
（2）⃗AC=(−2,1,0)，⃗AD=(1,1,m−2)，
因为⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，所以¿，
解得¿，则x+ y+m=−6.
18．（2024高三·全国·专题练习）已知A(−2,4)，B(3,−1)，C(−3,−4)．设⃗AB=⃗a,⃗BC=⃗b,⃗CA=⃗c，且
⃗CM=3⃗c,⃗CN=−2⃗b.
(1)求3⃗a+⃗b−3⃗c；
(2)求满足⃗a=m⃗b+n⃗c的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量⃗MN的坐标．
【解题思路】（1）分别求出向量⃗a、⃗b、⃗c，即可求出3⃗a+⃗b−3⃗c；
（2）根据题意建立关于m，n的方程组，即可解出m，n；
（3）根据平面向量减法法则求出⃗OM，⃗ON，即可求出M，N的坐标，从而求出向量⃗MN的坐标.
【解答过程】（1）由题意得⃗a=⃗AB=(3,−1)−(−2,4)=(5,−5)，
⃗b=⃗BC=(−3,−4)−(3,−1)=(−6,−3)，⃗c=⃗CA=(−2,4)−(−3,−4)=(1,8)，
所以3⃗a+⃗b−3⃗c=3(5,−5)+(−6,−3)−3(1,8)=(15−6−3,−15−3−24)=(6,−42)；
（2）解法一：因为m⃗b+n⃗c=(−6m+n,−3m+8n)，所以¿，解得¿；
解法二：∵⃗a+⃗b+⃗c=0⃗，所以⃗a=−⃗b−⃗c，又⃗a=m⃗b+n⃗c且⃗b与⃗c不共线，
所以¿；
（3）设O为坐标原点，∵⃗CM=⃗OM−⃗OC=3⃗c＝⃗OM－⃗OC，
∴⃗OM=3⃗c−⃗OC=3(1,8)−(−3,−4)=(0,20)，∴M(0,20)．
又⃗CN=⃗ON−⃗OC=−2⃗b，∴⃗ON=−2⃗b+⃗OC=−2(−6,−3)+(−3,−4)=(9,2)，
∴N(9,2)．∴⃗MN=(9,2)−(0,20)=(9,−18)．
19．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD
上一点，且⃗AG=2⃗GD，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.(1)试用⃗AB和⃗AC表示⃗AM，⃗BG
⃗ ⃗
(2)若⃗AE=λ⃗AB， AF=μAC(λ,μ∈R+)，求λ+4μ的最小值.
【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将⃗AG用⃗AE,⃗AF表示，再根据E，F，G三点共线，可得λ,μ的关系，再根据基本不等式即可得解.
1 1
【解答过程】（1）由题意，D为BC的中点，所以⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC，
2 2
又M为BD的中点，所以⃗AM= 1 ⃗AB+ 1 ⃗AD= 1 ⃗AB+ 1(1 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) = 3 ⃗AB+ 1 ⃗AC；
2 2 2 2 2 2 4 4
2
∵⃗AG=2⃗GD，即⃗AG= ⃗AD，
3
⃗BG=⃗AG−⃗AB= 2 ⃗AD−⃗AB= 2 × (1 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) −⃗AB=− 2 ⃗AB+ 1 ⃗AC；
3 3 2 2 3 3
3 1 2 1
故⃗AM= ⃗AB+ ⃗AC，⃗BG=− ⃗AB+ ⃗AC.
4 4 3 3
⃗ ⃗
（2）由⃗AG=2⃗GD，⃗AE=λ⃗AB， AF=μAC(λ,μ∈R+)，
1 1
得⃗AB= ⃗AE，⃗AC= ⃗AF，
λ μ
所以⃗AG= 2 ⃗AD= 2(1 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) = 1 ⃗AB+ 1 ⃗AC= 1 ⃗AE+ 1 ⃗AF ，
3 3 2 2 3 3 3λ 3μ
1 1
因为E，F，G三点共线，则 + =1 ，
3λ 3μ
( 1 1 ) 5 4μ λ 5 √4μ λ
则λ+4μ=(λ+4μ) + = + + ≥ +2 ⋅ =3，
3λ 3μ 3 3λ 3μ 3 3λ 3μ
4μ λ 1
当且仅当 = ，即λ=1，μ= 时取等号所以λ+μ的最小值3.
3λ 3μ 2
