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专题 5.5 三角函数真题训练
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 的最小正周期和最大
值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和
最大值.
【详解】由题， ，所以
的最小正周期为 ，最大值为 .
故选：C．
2．（2022年新高考浙江数学高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所
有点向右平移 个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
3．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正
确；因为 ， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象
向右平移 个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知， 是 成立的必要不充分条件.
故选：B
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题） （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即
可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
6．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短
到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，即得 ，再利用换元思想求得 的解析
表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
的解析表达式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到
的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的
图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数 的图像向左
平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求
出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对
称，则 ，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
8．（2022年新高考全国II卷数学真题）若 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为锐角， ，则
（ ）．
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦
公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊
角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三
角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在
于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角
的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
12．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 为函数 向左平移
个单位所得函数，则 与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部
分大致图像，考虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为
，所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关
系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 在区间
单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答
案.
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
14．（2021年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，
进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨
论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）下列区间中，函数 单调递增的
区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形
式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单
调区间内即可，注意要先把 化为正数．
16．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，
利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
17．（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数 的最小正周
期为T．若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
18．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的
杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆
弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计
算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，分别求出 ，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接 ，
因为 是 的中点，所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
19．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数 的部分图像如
图所示，则满足条件 的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角
不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合
题意，可得 的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根
据特殊点求解 .
20．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若 ，则
________．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求 ，进而可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .故答案为： .
21．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记函数 的
最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出
的取值，从而得解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
22．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 在区间 有
且仅有3个零点，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
23．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ，如图A，B是直线
与曲线 的两个交点，若 ，则 ______．【答案】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得，
，从而得到 的值，再根据 以及 ，即可得
，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角
函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
24．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 的部分图像如
图所示，则 _______________.【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
【详解】由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图
得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零
点”横坐标x，则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合
图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要
求.
25．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则
__________， _________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型
函数方程，可求出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得
，
则 .
故答案为： ； .
