专题5构造函数证明不等式（原卷版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题 5 构造函数证明不等式 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此 类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值 (值域),从而达到证明不等式的目的． 二、解题秘籍 (一) 把证明 转化为证明 此类问题一般是 有最小值且比较容易求,或者 有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把 的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围 【例1】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数 . (1)求证：当 时， ； (2)求证： . 【解析】（1）证明：因为 ，则 ， ， 当 时， ， ， ，函数 单调递减， 则 成立； 当 时，令 ，则 ， 因为函数 、 在 上均为减函数， 所以，函数 在 上为减函数，因为 ， ， 所以存在 ，使得 ， 且当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 而 ，所以 ， 又因为 ，所以存在 ，使得 ， 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 因为 ，所以， ， 所以，对任意的 时， 成立， 综上， 对任意的 恒成立. （2）证明：由（1），对任意的 ， ，则 ， 即 ， 对任意的 ， ， 所以， ，则 ， 所以 ，从而可得 ， 上述两个不等式相加可得 ， 所以， ， 又由（1），因为 ， 则 ， 可得 ， 当 且 时， ， 所以， ，即 ， 所以，当 时， ， 从而有 ， 上述两个不等式相加得： ， 所以， ， 当 时， ，即 ， 所以，对任意的 ， ， 因此， . (二) 把证明 转化为证明此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数 的性质,通过函数性质证明该不等式. 【例2】（2024届广东省河源市高三上学期开学联考）已知函数 ， ，其 中 . (1)求过点 且与函数 的图象相切的直线方程； (2)①求证：当 时， ； ②若函数 有两个不同的零点 ， ，求证： . 【解析】（1） ， 设切点的坐标为 ， 则切线方程为 ， 因为切线过点 ， 所以 ，解得 ， 所以切线方程为 . （2）①令 ， ， 令 ，则 ， 当 时， ， 所以 在 上单调递增， 所以 ，所以 在 上单调递增， 所以 ， 即当 时， ； ② ， 若 ， ，则 在 上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意； 若 ， ， 令 ，因为 ， ，且 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 又因为当 时， ； 当 时， ，又因为 ， 所以 恰有一解 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 为函数 的唯一的极大值点， 因为当 时， ， 当 时， ， 所以函数 有两个不同的零点 ， 等价于 ， 即 ，不妨设 ，当 ， ，所以 ， 由（1）得，直线 与函数 切于原点得：当 时， ， 因为 ，所以当 时，结合①中 有 ， 令 ，即当 时， ， 所以 一定存在两个不同的根，设为 ， ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 位于单调递减区间， 所以 ，同理 ， 所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 . (三) 把证明 转化为证明 有时候把证明 转化为证明 后,可能会出现 的导函数很复杂,很 难根据导函数研究 的最值,而 的最小值及 的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为 未必有 . 【例3】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)当 时，证明： . 【解析】（1）由题意可得 . 则 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 要证 ，即证 ，即证 . 设 ，则 . 当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增. 故 .设 ，则 . 当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减. 故 . 因为 ，且两个最值的取等条件不同， 所以 ， 即当 时， . (四) 把证明 转化为证明 若直接证明 比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如 构造一个中间 函数 ,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数 ,再通过证明 来证明原不等式. 【例4】已知函数 在区间 上单调． (1)求 的最大值； (2)证明：当 时, ． 【解析】 (1)由已知得, , 要使函数 在区间 上单调,可知在区间 上单调递增, 令 ,得 ,即 , 解得 ,（ ）, 当 时满足题意,此时,在区间 上是单调递增的,故 的最在值为 .(2)当 时,要证明 ,即证明 , 而 ,故需要证明 . 先证： ,（ ） 记 , , 时, ,所以 在 上递增, , 故 ,即 . 再证： ,（ ） 令 , 则 则 , 故对于 ,都有 ,因而 在 , 上递减, 对于 ,都有 , 因此对于 ,都有 . 所以 成立,即 成立, 故原不等式成立. (五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式 此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常 见的变形方法有： ①去分母,把分数不等式转化为整式不等式； ②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；③不等式为 类型,且 的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以 ； xlnx ④不等式中含有 ,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以 ； ⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式. 【例5】（2024届江西省稳派上进教育高三上学期8月考试）已知函数 ， ， ， 分别为 ， 的导函数，且对任意的 ，存在 ， 使 ． (1)求实数a的取值范围； (2)证明： ，有 ． 【解析】（1）因为 ， 所以 ， 所以 在区间 上单调递增， 故 ． 因为 ， 所以 ． 令 ，则 ， 又 ，所以 ， 故 在区间 上单调递增， 所以 ．又对任意的 ，存在 ，使 ， 所以 ， 即 ，解得 ， 故实数a的取值范围为 ． （2）令 ， ，则 ． 令 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立）． 令 ，则 ． 令 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立）， 故 （当且仅当 时，等号成立）． 又 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 故 ，即 ． (六) 通过减元法构造函数证明不等式 对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变 形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数. 【例6】（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期考试）已知函数 .注： 为自 然对数的底数， .(1)若 ，求函数 的单调区间； (2)若函数 有两个不相等的零点 ，极值点为 ，证明： （i） ； （ii） . 【解析】（1）由 ， 得 ， 令 得 ，令 得 . 所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . （2）（i） ， 设 ， 存在唯一 且 ，使得 . 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 是极小值点. 若 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 所以 ，所以 ，此时 不存在两个零点，不满足要求， 故要使函数 有两个不相等的零点 ，则 . 于是 . （ii） ①， ②， ①-②得 ，整理得 ③. 下证： .不妨设 ，令 ，则 . 可化为 ，即 . 令 ，于是 在 上单调递增， 又 ，所以 ，从而 ， 得 . 于是③式可化为 ，得 . 得证. (七) 与数列前n项和有关的不等式的证明 此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3, ,n代换,然后用 叠加法证明. 【例7】（2024届黑龙江省哈尔滨高三上学期开学考试）已知函数 ，其中 ． (1)讨论函数 零点个数； (2)求证： ．【解析】（1） ①当 时， 即 在 单调递减， 又 ， 只有一个零点. ②当 时，令 则 ， 当 时， 当 时， 故 在 单调递增， 在 单调递减， ， 令 ，则 ， 故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 故 ， 又 ， ， 故当 时， 只有一个零点， 当 且 时， 有两个零点， 综上可知：故当 或 时， 只有一个零点， 当 且 时， 有两个零点， （2）由（1）可知，当 时， 在 单调递减， 故当 时， ，故 ， 取 ，则 ，即 ， 相加可得 ，， 三、典例展示 【例1】（2023届福建省三明市高三三模）已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)若 ，证明： . 【解析】（1） 定义域为 ，因为 ， 所以 . 令 ，则 ， 所以 ， 当 时， ，此时 ，所以 在 上单调递减. 当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ，即 在 上单调递减. 当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ， 即 在 和 上单调递减，当 时， ， 即 在 上单调递增. 综上所述：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递减， 在 上单调递增 （2）要证明： ，只要证明： ， 只要证明： 只要证明： . 只要证明： ， 只要证明： ， 只要证明： . 由（1）知，当 时， 在 上单调递减. 即要证明 ，即要证明 . 即证明 .因为 ，所以 ，所以原不等式成立.解法二： 要证明： ，只要证明： . 只要证明： 只要证明： 只要证明： . 令 ， 所以 所以 . 因为 ，所以 ，即 在 上单调递增. 所以 ，即原不等式成立 【例2】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断测试）已知函数 . (1)求 的最大值; (2)证明： 【解析】（1） ，定义域为 ， 则 ， 令 ， 因为 恒成立，所以 在 上单调递增， 所以 ，即当 时， ，令 ，可得 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 . （2）要证 ，即证 ， 令 令 得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 ， 即欲证 ，只需证 也就是证明 设 ，则 ，令 ，得 当 时， ；当 时， 当 时， 取到最小值 故 式成立，从而 成立. 【例3】（2024届湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评）已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)若两个不相等的正实数a，b满足 ，求证： ； (3)若 ，求证： . 【解析】（1）函数 的定义域是 . 由 ，得 在 上单调递减； 由 ，得 在 上单调递增， 综上知， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .（2）由（1）得 在 的值域为 ， 在 上的值域为 .注意到 ， . 不妨设 ，则欲证 ，即证 . 由于 由（Ⅰ）得 在 上单调递增， 故只需证 ， 由已知 ，即证 ，也即 ， 方法一：令 ， . ， 由 ，在 单调递增， 得 单调递增， 且 . 由于 ，故 满足 . 由 单调递增知： 当 时 ， 单调递减，值域为 ； 当 时 ， 单调递增，值域为 ； 设 ， ，则 ， 单调递减，故 ，即 ， 取 ，得 ，即 综上，得 ，即 ， 得证. 方法二：（重新同构） 令 ，即 ，证： ， 由于 ，从而 . 故要证 成立，只需 在 单调递增成立即可. ， 令 ， ，则 ， 在 单调递减， ， ， 故 在 单调递增成立，原命题成立. 方法三：（比值代换）由对称性，不妨设 ， ， 则 由于 ，欲证 ， 即证： ，即证 ， 可变为 ，由证法二可知成立，从而得证；方法四：（切、割线放缩）1、由于 故 ，即 ； 2、由方法二知 ， ， 故 ，即 ，故 ， ； 由1、2知 ，故 成立，原命题成立. （3）由（2）知 ， ①当 时， 在 上单调递增， 故 . ②当 时， 由 ，取 ， 得 （ ）时， 有 ，即 . 由 在 上单调递增，故 ， 综上，得 时，当 成立. 【例4】（2023届贵州省贵阳市2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考）实数 ， ， . (1)讨论 的单调性并写出过程； (2)求证： . 【解析】（1）若 ，令 ， 的定义域为 .. 此时 ①当 时， 时， ， 在 上是增函数； 时， ， 在 上是减函数； 时， ， 在 上是增函数； ②当 时， ， 在 上单调递增； ③当 时， 时， ， 在 上是增函数， 时， ， 在 上是减函数， 时， ， 是增函数. 若 时， ， 时， ， 在 上是减函数； 时， ， 在 上是增函数； 若 ，则 的定义域为 ， 此时 且 ， 当 时， ，当 时， ； 当 时， ；当 时， ； 故 在 ， 上为增函数，在 ， 上为减函数 （2）由（1）得 时， ， 在 上是减函数， 即当 时， ，即 ， 即 .令 ， ， 求和即得 . 【例5】（2024届黑龙江省鹤岗市高三上下学期开学考试）已知函数 ， ． （ 为自然对数的底数） (1)当 时，求函数 的极大值； (2)已知 ， ，且满足 ，求证： ． 【解析】（1）当 时， ，定义域为 ， 则 ， ， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 的极大值为 ； （2）由题意知， ，由 可得 ， 所以 ，令 ， 由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ， 令 ， ，又 ， ，所以 ， ，则 ， ①若 ，则 ，即 ，所以 ； ②若 ，设 ，且满足 ，如图所示，则 ，所以 ，下证： ． 令 ， ， 则 ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ， ， ， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ，即 ． 由①②可知， 得证. 四、跟踪检测 1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数 ， ． (1)若 ，求a； (2)若 ， 的极大值大于b，证明： ． 2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数 （ ）． (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围：(2)设 ， ， 为函数 的两个零点，证明： ． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知 ，函数 . (1)若 ，求 在点 处的切线方程； (2)求证： ； (3)若 为 的极值点，点 在圆 上.求 . 4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数 ， (1)证明：当 时， 恒成立； (2)若关于 的方程 在 内有解，求实数 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程 有三个实数根 . (1)求 的取值范围； (2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分， 若选②则该小问满分9分. ①证明： ； ②证明： . 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数 ， . (1)讨论 的单调性； (2)设函数 ， ，当 时，证明： . 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数 ，已知 是函数的极值点. (1)求 ； (2)设函数 ，证明： . 8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数 ，曲线 在 点 处的切线方程是 . (1)求 、 的值； (2)求证： ； (3)若函数 在区间 上无零点，求 的取值范围. 9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若 的两个极值点分别为 ， ，证明： ． 10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)求证： ， .