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专题 5.6 《三角函数》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·北京高二学业考试）已知全集 ，集合 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
， ,
因此， .
故选：B.
2．（2021·河南高一期中（文））设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据诱导公式计算出三角函数值，根据指数函数的单调性将指数的值与1进行比较，即可求得大小关系.【详解】
， ， ，
，
故选： ．
3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））函数 的大致图象为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
使用排除法，结合函数的奇偶性以及代特殊值 ，即可得到结果.
【详解】
由题知，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，
为奇函数，图象关于原点对称，排除 ，
，排除 ， ，故选: .
4．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意利用二倍角的余弦公式求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得 的值．
【详解】
， ，且 ，即 ，求得 （舍去），或
，
，
故选： ．
5．（2021·北京石景山区·高一期末）已知函数 ，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【解析】
利用二倍角余弦公式，结合 的值域范围及二次函数的性质，即可求 的最大值.
【详解】
，而 ，∴ .
故选：C
6．（2021·四川成都市·成都七中高一月考）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题中角之间的关系联想二倍角公式， ，其中 ，计算可得解.
【详解】
.
故选：C
7．（2021·河南信阳市·信阳高中高一月考）点 是函数 （ ，
）的图象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（ ）
A． 的最小正周期是
B． 的值为2
C． 的初相为
D． 在 上单调递增
【答案】D
【解析】根据 是函数 （ ， ）的图象的一个对称中心，得到
， ， ，然后再由点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，得到 ，
，进而得到函数解析式，然后再逐项判断.
【详解】
因为 是函数 （ ， ）的图象的一个对称中心，
所以 ， ， ，
又因为点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，
，
故A，B，C错误，
又 ， ，所以 在 上单调递增，故D正确，故选：D.
8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 的图象关于原点
对称，且在区间 上是减函数，若函数 在 上的图象与直线 有且仅有一个交点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由已知可得 ，得出 ，求出 的减区间，可根据已知得出 范围，再根据题意
可得 在 上仅有一个最小值，可进一步求得 范围，得出结果.
【详解】
的图象关于原点对称， ，
即 ，
因为 区间 上是减函数，所以 在 是增函数，
令 ，解得 ，
又 是 含原点的增区间，所以令 ，
则 ，所以 ，又 ，则解得 ，在 上的图象与直线 有且仅有一个交点，
即 在 上仅有一个最小值，所以 在 仅有一个最大值，
由正弦函数的性质，令 ，即 ，
所以有 ，解得 ，
综上可得 ，即 的最大值为 .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·辽宁高三其他模拟）设 ，函数 在区间 上有零点，则
的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
由题得 ，令 ，求出 解不等式 得解.
【详解】
由题得 ，
令 ，解得 ，取k＝0，，即 ．
故选：BCD
10．（2021·江苏高一月考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
利用二倍角的正切公式判断A；利用二倍角的余弦公式判断BC；利用二倍角的正弦公式判断D.
【详解】
A中， ，正确；
B中， ，不正确；
C中， ，正确；
D中， ，
，正确.
故选：ACD
11．（2021·山东济南市·高三其他模拟）分别对函数 的图象进行如下变换：
①先向左平移 个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来 倍，得到 的图象；
②先将其上各点的横坐标变为原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到 的图象，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 为 图象的一个对称中心
C．直线 为函数 图象的一条对称轴
D． 的图象向右平移 个单位长度可得 的图象
【答案】BCD
【解析】
由三角函数平移和伸缩变换原则可求得 ；
由解析式不同知A错误；利用代入检验法，对应正弦函数的性质可确定BC正确；由左右平移变换后的解
析式可知D正确.
【详解】
① 向左平移 个单位长度可得 ；再将横坐标变为原来 倍，得到
；
② 横坐标变为原来 倍可得 ；再向左平移 个单位长度，得到
；
对于A，两函数解析式不同，A错误；
对于B，当 时， 且 ， 是 的一个对称中心，B正确；对于C，当 时， ， 是 的一条对称轴，C正确；
对于D， 的图象向右平移 个单位长度得：
，D正确；
故选：BCD.
12．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）设 ，其中 ， ，
若 对一切则 恒成立，则以上结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的单调递增区间是
D．存在经过点 的直线与函数 的图像不相交
【答案】AB
【解析】
由题可知，直线 与函数 的图象的一条对称轴，可求得 ，可化简函数 的解析式为
.计算出 的值，可判断A的正误；计算 、 ，可判断B的正误；取 ，利用正弦函数的单调性可判断C的正误；假设命题D正确，求出直线的方程，结合函
数 的最值可判断D的正误．
【详解】
由题可知，直线 与函数 的图象的一条对称轴，
可得 ，整理可得 ，即 ，
.
.
对于命题A， ，A正确；
对于命题B，
，
，所以， ，B正确；
对于命题C，当 时，则 ，
当 时，函数 在区间 上单调递减，C错误；
对于命题D，假设经过点 的直线与函数 的图象不相交，则该直线与 轴平行，此时该直线的方程为 ，则 ， 无解，D错误
故选：AB．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·贵溪市实验中学高二期末）函数 的最小正周期为___________.
【答案】
【解析】
用正弦的二倍角公式化简后，再利用周期公式求解即可
【详解】
解：因为 ，
所以函数的最小正周期为 ，
故答案为：
14．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）设 ，向量 ， ，若
，则 ___________.
【答案】
【解析】
利用二倍角公式求出 的值，结合 以及二倍角的正切公式可求得 的值.
【详解】
由已知可得 ，所以， ，，则 ，可得 ，
所以， ，解得 .
故答案为： .
15．（2021·云南昆明市·昆明一中高二期末（理））已知 和 ，
则函数 的图象与 的图象的对称轴之间的最短距离为______________．
【答案】
【解析】
分别求得函数 和 的对称轴方程，然后由平行线间的距离求解.
【详解】
的对称轴方程为： ，即 ；
的对称轴方程为： ，即 ；
所以函数 的图象与 的图象的对称轴之间的距离为 ，
当 时，取得最小值 ，
所以最短距离为 .
故答案为：16．（2021·福建厦门市·高三二模）已知函数 的图象关于直线 对
称，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则 的最小值为
___________，当 取得最小值时， 对 恒成立，则 的最大值为
___________.
【答案】
【解析】
由 关于 对称和 可确定 ，由此确定 ，验证可知，当
时，可求得 ，满足题意，则可确定 最小值为 ；由 ，
结合二倍角公式可求得 ，由此可确定 的范围，进而得到 的最大值.
【详解】
，又 的图象关于直线 对称，
在 内至少有半个周期，才能满足 ，
，即 ， ，
当 时， 的图象关于直线 对称， ，解得： ，，满足题意， 的最小值为 ；
由 得： ，
即 ， ，
即 ， ，
，
，解得： ，
.
故答案为： ； .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·北京石景山区·高一期末）已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（1）根据角的范围，结合同角的三角函数的平方关系、两角和正弦公式求值即可；（2）由二倍角正余弦公式求 、 ，应用两角差余弦公式求值即可.
【详解】
（1）∵ ， ，
∴ ．
∴ ；．
（2）∵ ， ，
∴ ．
18．（2021·北京高二学业考试）已知函数 ．
（1）写出f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间 上的最小值和最大值．
【答案】（1） ；（2）最小值为 ，最大值为 ．
【解析】
（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得
最值.
【详解】
解：（1）f(x)的最小正周期为 ．
（2）因为 ，所以 ．
所以函数在 上单调递增，
当 ，即x＝0时，f(x)取得最小值 ；
当 ，即 时，f(x)取得最大值 ．
所以f(x)在区间 上的最小值为 ，最大值为 ．
19．（2021·河南商丘市·高一月考）已知 ，且 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）2．
【解析】
（1）由余弦的二倍角公式化单角，然后凑配成关于 的齐次式，再化为 ，代入已知可得；
（2）由同角关系求得 ，由两角和与差的正切公式计算 ，再得 ．
【详解】
解：（1） ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
20．（2021·云南丽江市·高一期末）已知函数 .
（1）若 求 的值；
（2）求函数 的最小正周期；及当 时，函数 的最值.
【答案】（1）答案见解析；（2） ， ， .
【解析】
（1）根据同角三角函数基本关系式，求 的值，再代入函数求 的值；（2）利用二倍角公式和
辅助角公式化简函数 ，求函数的最小正周期，求得 的范围后，求函数的最值.
【详解】
解：（1）因为 且 所以 ，
当 时，
当 时， .（2）因为
所以 ，
由 ，得
当 即
当 即
21．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知 ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2） ，给出 的一个合适的数值使得函数 的值域为
．
【答案】（1） ；（2） 的值可取 ．
【解析】
（1）根据 ，结合 ，可得 或 ，再根据
求解；（2）由 ，根据值域为 ，结合正弦函数的性质求解．
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
可得 或 ，可得 或 ，
又 ，所以 ．
（2） ，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
所以由题意可得 ，可得 ，所以 即可， 的值可取 ．
22．（2021·江苏苏州市·高一月考）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.①图象
上的一个最低点为 ；②直线 是其图象的一条对称轴；③点 是其图象的一个
对称中心.问题：已知函数 的图象相邻两个对称中心
点的距离为 ，且_____.
（1）求 的解析式；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
【答案】条件选择见解析（1） ；（2） .
【解析】
（1）先化简 ，由题意计算出 的值，若选①将最低点 代入，计算出结果；若选②，
是一条对称轴求得 的值，即可得到结果；选③将 代入求得 的值，计算出结果；
（2）由题意计算出 和 的值，即可计算出结果.
【详解】
（1）由题意知： ，则 ，
得： ，则
选①：将最低点 代入，化简求得 ，得： ， ，又
，所以 ，
所以 ；
选②： ，得： ，
又 ，所以 ，
所以 ；
选③：将 代入化简得 ，得： ，
又 ，所以 ，
所以 ；
（2） ，则因为 ，所以
所以
则
.
