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重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球
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知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点
的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
3、球内接圆台，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
例1．（2023·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为 ，因为正方体的表面积为 ，可得 ，解得 ，
则正方体的对角线长为 ，
设正方体的外接球的半径为 ，可得 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
例2．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，则球的表面积
为 ．
【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径 与正方体棱长 之间的关系为 ，
由 ，可得 ，所以球的表面积 .
答案：
例3．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱
长分别为2，3，4则球 的表面积是
【答案】
【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4，所以长方体的体对角线长为： ，故
长方体的外接球的半径为 ，球的表面积为： ，
故答案为：
变式1．（2023·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体 的外接球的表面积为 ，
， ，则长方体 的体积为 .【答案】
【解析】因为长方体 的外接球的表面积为 ，
设球的半径为 ，由题意 ， ， ，
长方体 的外接球的一条直径为 .
因为 ， ，所以 ， ，
则长方体 的体积为 .
故答案为：
变式2．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体 中， ， ， ，
则长方体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】由题意，根据长方体 外接球的性质，可得
，
，该长方体的外接球的表面积 .
故答案为： .
题型二：外接球之正四面体模型
例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为 ，且A，B，
C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
【答案】
【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，
所以该正四面体的表面积为 ，所以 ，
又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为 ，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为 ，半径为 ，
所以球O的体积为 ．
故答案为：
例5．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为 ，
则正四面体为 ，
设球的半径为R，则 ，
解得 ，
所以 则正方体的棱长为 ，
所以正四面体的棱长为 ，
故答案为：
例6．（2023·全国·高三专题练习）棱长为 的正四面体的外接球体积为 .
【答案】
【解析】如图，棱长为 的正四面体可以嵌入到棱长为 的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的
立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为 ，则 ，
所以立方体外接球的体积 .
故正四面体的外接球体积为 .
故答案为：变式3．（2023·全国·高一假期作业）正四面体 和边长为1的正方体 有公共顶点
， ，则该正四面体 的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】由图可知正四面体 的外接球的体积等于正方体 的外接球的体积，求正方
体外接球体积即可．
如图，由题可得正四面体 与正四面体 全等，
所以正四面体 的外接球的体积等于正四面体 的外接球的体积，
也即是正方体 的外接球的体积，
因为正方体棱长为1，所以外接球直径为 ，
所以正方体 的外接球的体积为： ，
所以正四面体 的外接球的体积为 ．
故答案为： ．
变式4．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体 中，其侧面积与底面积之差为
，则该正四面体外接球的体积为 .
【答案】【解析】设正四面体 的边长为 ，则该正四面体每个面的面积为 ，
正四面体 的侧面积与底面积之差为 ，解得 .
如下图所示：
过点 作 平面 ，垂足为点 ，连接 ，可知外接球球心 在 上，
设球 的半径为 ， 的外接圆半径为 ， ，
由图可知， ，即 ，解得 .
因此，正四面体 的外接球体积为 .
故答案为： .
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
例7．（2023·高一单元测试）在四面体 中，若 ， ， ，则四
面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以 ，2， 为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧
棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则
有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
故答案为 ．
例8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ， ，
，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体 的外接球的半径为 ,
则四面体 在一个长宽高为 的长方体中，如图，
则 故 ，
故四面体ABCD外接球的体积为 ，
故选：C
例9．（2023·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以可以将三棱锥 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有 ，整理得 ，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有 ，
所以所求的球体表面积为： ．
故选：A．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ， ， ，将三棱锥 放到长方体中，可得
长方体的三条对角线分别为 ，2， ，
设长方体的长、宽、高分别为 ，
则 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以三棱锥 外接球的半径 ．
三棱锥 外接球的体积 ．
故选：C
题型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这
个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
【答案】52π
【解析】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则 ，正六棱柱的体积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连
线的中点，
其半径为 ，∴外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
例11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱 的所
有顶点都在一个表面积是 的球面上，且 ，则此直三棱柱的表面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，因为 ，所以 .
于是 （ 是 外接圆的半径）， .
又球心到平面 的距离等于侧棱长 的一半，
所以球的半径为 .
所以球的表面积为 ，解得 .
因此 .
于是直三棱柱的表面积是
.
故选：D.
例12．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，若三棱柱
的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C
【解析】设 为等腰直角三角形的直角边为 ，三棱柱 的高为 ，
则 ，所以 ，则 ，
外接圆的半径为 ，
所以棱柱外接球的半径为 ，
令 ，则 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
则该三棱柱外接球表面积最小值为 .
故选：C.
变式6．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱 的体积为 ，则其外
接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．6π C．16π D．8π
【答案】A
【解析】设正三棱柱底边为 ，高为 ，外接球半径为 ，如图所示，取上下底面正三角形的
的中心分别为 （D在中线CE的三等分点靠E处），易知三棱柱 的外接球球心 在
的中点处.
故
由题意可得:
外接球表面积为：
当且仅当 时取得最小值 .
故选：A变式7．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，已知 ， 侧
面 ，且直线 与底面 所成角的正弦值为 ,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱柱 如图所示，
因为 ，所以该三棱柱为直三棱柱.
因为 侧面 ，所以三条侧棱 两两互相垂直.
所以 为直线 与底面 所成角，
所以 ，则 .
因为 所以 .
将三棱柱补成长方体，设外接球的半径为 ，
所以 ，
所以 .
故选D.变式8．（2023·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱 所有棱长都为6，则此三棱柱外接球
的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
【答案】D
【解析】如图， 为棱 的中点， 为正△ 的中心， 为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知 ∥ ， ，外接球半径 ，
∵正△ 的边长为6，则
∴
外接球的表面积 .
故选：D．
题型五：外接球之直棱锥模型
例13．（2023·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥 中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱
PA⊥平面ABC，且 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面 是边长为3的等边三角形， 平面 ，
可得此三棱锥外接球，即以 为底面以 为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为 ，则外接球的球心 为 的中点，的外接圆半径为 ， ，
所以球的半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
例14．（2023·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥 中， 面 ， 为等边三角形，且
，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，
此三棱锥外接球，即为以 为底面以 为高的正三棱柱的外接球，
设球心为O，作 平面 ，则 为 的外接圆圆心，连接 ，则 ，
设 的外接圆半径为r，三棱锥 外接球半径为R，
由正弦定理，得 ，所以 ，
中， ，所以 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
例15．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥 ，其中 平面
，则三棱锥 外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】根据题意设底面 的外心为G，O为球心，所以 平面ABC，因为 平面ABC，所以 ，
设 是PA中点，因为 ，所以 ，
因为 平面 平面ABC，所以 ，因此 ，
因此四边形ODAG是平行四边形，故 ，
∵ ，∴ ，
又 外接圆的半径 ，由正弦定理得 ，
所以该外接球的半径 满足 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： ．
变式9．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥 中， 为等边三角形， 平
面 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积的最小值为 .
【答案】 /
【解析】设 ，则 ，
取正三角形 的外心为 ，设四面体 的外接球球心为 ，
连接 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
则平面 截球所得截面为大圆，又 ，
则
又底面外接圆的半径 ，
所以三棱锥外接球的半径 .
当 时， 有最小值 ，
所以三棱锥外接球的表面积的最小值为 .故答案为：
变式10．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥 中， 平面 ，
，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
【答案】 /
【解析】如图，
分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，
连接 、 、 、 、 ，可得 ， ，
则 为异面直线 与 所成角，∴ ，
由 面 ，而 ，故 面 ， 面 ，则 ，
设 ，可得 ， ， ， ，则 ，
在 中，由余弦定理，可得 ，
，解得 ，
设底面三角形 的中心为 ，三棱锥 的外接球的球心为 ，
连接 ，则 平面 ，
由底面三角形 是边长为2的等边三角形，可得 ，
∴ 为三棱锥外接球的球心，∴ ，则 ， ，又 ，可得 ，
则三棱锥 的外接球的半径 ．
∴三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
变式11．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
为菱形， 底面 ， 为对角线 与 的交点，若 ， ，则三棱锥
的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 ，
因为 底面 ，所以 平面 ，
因为四边形 是菱形，则 ，所以 是 的外心，
又 底面 ， 平面 ，所以 ，
所以 到 四点距离相等，即为三棱锥 的外接球球心．
又 ， ，所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球体积为 ．
故答案为： ．变式12．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥 中， 平面BCDE， ，
， ，且 ，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】连接 ，
因为 ， ，所以 在直径为 的圆上，
取 的中点 ，即四边形 外接圆的圆心，
在 中， 即 ，解得 ，
所以四边形 外接圆的直径即 外接圆的直径为 ，
所以 ，
因为 平面BCDE，所以四棱锥的外接球的球心 与底面 的距离为 ，
所以四棱锥的外接球的半径为 ，对应的表面积为
故答案为：
变式13．（2023·广东韶关·高二统考期末）三棱锥 中, 平面 , , , ,
则三棱锥 外接球的体积是 ．
【答案】
【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为 , 分别为上下底面的外心,则 为
的中点, 为底面外接圆的半径,所以球心O到面 的距离为 ,
由正弦定理有:
,
所以 ,
.
故答案为: .
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
例16．（2023·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为6，则该四
棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图， 是正四棱锥 的高，而 ，则 ，
，显然正四棱锥 的外接球的球心O在直线 上，
令 ，则 ，
在 中， ，解得 ，所以该四棱锥的外接球体积为 .
故答案为：
例17．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥 的顶点都在球O的球
面上，其侧棱与底面所成角为 ，且 ，则球O的表面积为
【答案】
【解析】如图，正三棱锥 中，设点Q为 的中心，则PQ⊥平面ABC，
∴ ，∴ ，PQ＝3．
球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则 ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴球O的表面积为 ．
故答案为： .
例18．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥 中，点D在棱 上，
且满足 ， ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】在正三棱锥 中，取 的中点E，连接 ， ，如图，
由 ， ，得 ， ，又 ， 平面 ， ，
则 平面 ，而 平面 ，于是 ，又 ， , 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，从而 ， ，且 ，
由 ，得 ， ，由于 两两垂直，则以 为棱的长方体与三棱锥 有相同的外接球，
于是三棱锥 外接球的半径为 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故答案为：
变式14．（2023·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥 的侧棱与底面所成的角为 ，高为
，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】 /
【解析】设顶点P在底面 的投影为 （ 为等边 的中心），则该三棱锥外接球的球心O在
上，连接 ，
因为 底面 ，则侧棱与底面所成的角为 ，可得 ，
设棱锥外接球的半径为R，
因为 ，即 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
变式15．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥 中， ，
，该三棱锥的外接球体积为 ．【答案】
【解析】在正三棱锥 中 为等边三角形，顶点 在底面的射影为底面的重心，所以
，
又 ， ，所以 ，所以 ，同理可得 、 ，
即 ， ， 两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径 ，
所以三棱锥的外接球体积 .
故答案为：
变式16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台 中，
， ， ，则正三棱台 的外接球表面积为（ ）
A．64 B． C． D．
【答案】B
【解析】设外接球球心为 ，等边三角形 的外心为 ，等边三角形 的外心为 ，
三点共线，则 是正三棱台 的高，
设台体的高为 ，设外接球的半径为 ，
过 作 ，垂足为 ，根据正棱台的性质可知 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，设等边三角形 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 .
设等边三角形 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 .
在直角三角形 中， ，
所以 .
当球心O在 线段上，则 ，解得 ，
当球心O在 的延长线上时，则 ，无解，
所以正三棱台 的外接球表面积为 .
故选：B
变式17．（2023·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面
上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示， ， ，为外接球球心，设外接球半径为R， 分别为棱台上下底面的中心，
则 ，
由勾股定理得： ， ，
设 ，则 ， ，
故 ，解得： ，
故 ，
故球的表面积为 .
故选:B
变式18．（2023·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥 的底面边长为6，侧棱长为 ，
则该四棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
连接 交于点 ，连接 ，则 平面ABCD，
因为正四棱锥 的底面边长为6，侧棱长为 ，
所以 ，
设外接球的半径为R，易知球心O在线段 上，
在 中， ，即 ，
解得 ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
变式19．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥 中， ，若四
棱锥 的体积为 ，则该四棱锥外接球的体积为 ．【答案】
【解析】如图所示：
作 平面 ，垂足为H．连接 ，则H为 的中点．
设 ，则 ， ，从而 ，故四棱锥 的体积为
，解得 ．
由题意可知正四棱锥 外接球的球心O在 上，连接 ．
设正四棱锥 外接球的半径为R，
则 ，即
解得 ，故该四棱锥外接球的体积为 ．
故答案为：
变式20．（2023·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台 中， ， ．当该
正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
图1
设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1， 分别是上下底面的中心，连结 ， ， ，根据边长关系，知该棱台的高为 ，则 ，
由 ，且四边形 为直角梯形， ， ，可得
，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时棱台的高为1.
上底面外接圆半径 ，下底面半径 ，设球的半径为R，显然球心M在 所在的
直线上.
显然球心M在 所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段 上，如图2，设 ，则 ， ，显
然
则，有 ，即
解得 ，舍去.图3
当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段 的延长线上，如图3，设 ，则 ，显
然
即 ，即
解得 ， ，
此时，外接球的表面积为 .
故选：D.
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
例19．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，所以由余弦定理可得 ，解得
，所以 ，
所以 是以 为斜边的直角三角形，
因为 ，所以点P在平面 内的射影是 的外心，
即斜边 的中点，且平面 平面 ，
于是 的外心即为三棱锥 的外接球的球心，
因此 的外接圆半径等于三棱锥 的外接球半径．
因为 ， ，
所以 ，
于是 ，
根据正弦定理知 的外接圆半径R满足 ，
所以三棱锥 的外接球半径为 ，
因此三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故答案为：
例20．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
【答案】 /
【解析】取 的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 和 都是等边三角形，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
设球心为 ， 和 的中心分别为 ，则 平面 ， 平面 ，
因为 ， 公共边，所以 ≌ ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为故答案为：
例21．（2023·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，且
，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则 都是直角三角形，
又 ，同理可得 ， ，
所以M点是 的外心；
又 ， 是以 斜边的直角三角形，
在底面 的射影为斜边 的中点 ，如下图：
则 ，设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，
则 在 上，则 ，即 ，得 ，外接球的表面积为 ；
故答案为：变式21．（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球
面上， ，△ABC是边长为 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点， ，则球
O的体积为 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
因为 ，则 ，
在 中，因为 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
可知 ，即 ，所以 两两垂直，
可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，可知球O即为正方体的外接球，
其体对角线即为外接球的直径，即 ，
所以球O的体积 .
故答案为： .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ， ，则
该三棱锥外接球的体积为A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 中点为 ，连接 ，易知
在 中：
又 平面
为 外心 球心在 上
设半径为 ，球心为
在 中：
故答案选A
变式23．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，过 作 垂足为 ，取 的中点 ，连接
过 作 ∥ ,且 = ，连接 ，则
∵△ 为等边三角形，则
∴ ， ，根据题意可得
∵ ，则
由题意可得 ，则 ，则
如图2，∵ ，则顶点 在平面 的投影为△ 的外接圆圆心 ，则三棱锥 的
外接球的球心 在直线 上，连接
，则∴△ 的外接圆半径 ，则
设棱锥 的外接球的半径为 ，则
即 ，解得
三棱锥 的外接球的表面积为
故选：D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在四面体 中， ， ，则四
面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． s D．
【答案】D
【解析】作出图形，根据题中数据证明出平面 平面 ，并找出球心的位置，列等式求出外接球
的半径，结合球的表面积公式可得出结果.如下图所示：取 的中点 ，连接 、 ，设 和 的外心分别为点 、 ，分别过点 、 作平面
和平面 的垂线交于点 ，则点 为外接球球心，
由题意可知， 和 都是边长为 的等边三角形，
为 的中点， ，且 ，
， ， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
易得 ， ，
平面 ， 平面 ， ，
同理可得 ，则四边形 为菱形， ， 菱形 为正方形，
平面 ， 平面 ， ，
所以外接球的半径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 .
故选：D.
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
例22．（2023·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体
积为 .
【答案】
【解析】由题设，圆锥体的高为 ，
若外接球的半径为 ，则 ，可得 ，
所以圆锥的外接球的体积为 .
故答案为： .例23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为 ，
该圆锥内接于球 ，则球 的表面积为 .
【答案】 /
【解析】作圆锥的轴截面，则该轴截面等边△ 的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆
半径等于圆锥的外接球半径，如下图所示，
因为圆锥的侧面积 ，所以 ,
设球的半径为R，由正弦定理得 ，
因此，这个球的表面积为 .
故答案为：
例24．（2023·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的
表面积与球的表面积之比为 .
【答案】
【解析】设球的半径为 ，则圆柱的表面积 ，
球的表面积 ，所以 .
故答案为： .
变式25．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为
和 ，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为 ，则 ，所以， ，
取圆台的轴截面 ，如下图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为 、 ，则 、 分别为 、 的中点，
连接 、 、 、 、 、 ，则 ，
由垂径定理可知， ， ，
所以， ， ，
因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，所以， ，
所以， ，则 ，
因此，圆台的侧面积为 ，
故选：D.
变式26．（2023·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为 ，
若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得圆台的高为 ，
设圆台的上下底面圆心为 ， ， ，球 的半径为 ，
当圆台的两个底面在球心 异侧时， ，所以 ，
解得 ， ；
当圆台的两个底面在球心 同侧时， ，
，
解得 ， ，
此时 ，不合题意，舍去，
故球 的体积 ，
故选：B．
变式27．（2023·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为
3和4，球的表面积为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆台外接球的表面积 ，所以球的半径 ，
设圆台的上､下底面圆心分别为 ，在上､下底面圆周上分别取点 ，
连接 ，如图，
因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，
所以 ， ，
所以 ， ,
所以 ，所以圆台体积 .
故选：D.
题型九：外接球之垂面模型
例25．（2023·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥 中，平面 平面BCD， 是边长
为2的等边三角形， ， .若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为
.
【答案】 /
【解析】作出底面 的外心 ，侧面 的外心 ，取 中点 ，
连接 ，因为平面 平面 ，面 平面 ，
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
由球的性质可得 平面 ，所以 ，
同理 ，所以四边形 为平行四边形，
故 ，
在 中，因为 ， ，则 ，
设 的外接圆半径为 ，根据正弦定理有 ，则 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，则 ，
则外接球的表面积为 .
故答案为： .例26．（2023·四川乐山·高二期末）已知正 边长为1，将 绕 旋转至 ，使得平面
平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则 ， ，
分别取 与 的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体
的球心，
由 ，
所以正方形OEGF的边长为 ，则 ，
所以四面体 的外接球的半径 ，
球O的表面积为 ．
故答案为： ．
例27．（2023·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥 中，平面 平面 ，点
是 的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 的外接圆圆心即点 ，三棱锥外接球球心在过点 与平面 垂直
的直线上，
由于平面 平面 即球心在平面 内，
所以球心即为 的外接圆圆心，球的半径即为 的外接圆半径 .因为 ，所以 ，从而 .
设 ，在 中，根据余弦定理有 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ，所以三棱锥 的外接球的表面积为
.
故答案为：
变式28．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱 中， ．设D为 的
中点，三棱锥 的体积为 ，平面 平面 ，则三棱柱 外接球的表面积为
．
【答案】
【解析】取 的中点E，连接AE，如图．
因为 ，所以 ．
又面 面 ，面 面 ，且 面 ，
所以 面 ， 面 ，所以 ．
在直三棱柱 中， 面ABC， 面ABC，所以 ．又AE， 面 ，且AE， 相交，所以 面 ， 面 ，
所以 ．
设 ，则 ，解得 ，
所以 ．
所以三棱柱 外接球的表面积 ．
故答案为：
变式29．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥 中,平面 平面ABC,
, , , 为等边三角形,则三棱锥 外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,所以 平面
;
如图,因为 ,所以三角形 的外心即为 中点 ,
过三角形 的外心 作平面 的垂线,
过三角形 的外心 作平面 的垂线,
则两垂线必相交于球心 ,连接 ,则外接球半径 .
在 中, , ,
所以 ,
所以表面积 .
故答案为: .变式30．（2023·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形 中，
，沿对角线 将 折起，使平面 平面 ，连接 ，得
到三棱锥 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】在平面四边形中设 ，
即在Rt 中， .
在等腰 中， .设 外接圆圆心为 ，外接圆半径为 ，由正弦定理可得
.
设三棱锥 外接球球心为 ，则 平面 .
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，则 ，所以四边形 为直角梯形.
设外接球的半径为 ，在平面四边形 中，过 做 于 ，
在 中， 为 的中点， ，
由 ，所以
.
令 ，则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时（满足 ）等号成立.
所以 ，
所以外接球表面积的最小值为 .
故答案为：
变式31．（2023·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，且
， 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，作 中点 ，连接 、 ，
在 上作 的中心 ，
过点 作平面 的垂线，
在垂线上取一点 ，使得 ，
因为三棱锥底面是等边三角形，
是 的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点 的平面 垂线上，
又因 ，则 即为球心，
因为平面 平面 ， ， ，
平面 平面 ， ，所以 平面 ，
，
，
， ，
设球的半径为 ，
则 ，
，
即 ，解得 ，
故三棱锥外接球的表面积为 .
故答案为：
变式32．（2023·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形 中， ，现沿 折起，使
得平面 平面 ，连接 ，得到三棱锥 ，则其外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】设 ，由矩形的性质可知： ，
则三棱锥 的外接球的球心即为 ，半径 ，
所以三棱锥 的外接球的体积 .
故答案为： .变式33．（2023·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是
边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为 ，则该三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】依题意，点 是三棱锥 外接球的球心，设球 的半径为 是 外接圆的圆心，
设圆 的半径为 ，点 到底面 的距离为 ，
由题意，可得 ，则 .
因为 是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得 ，则 .
所以三棱锥 的体积为 ，
三棱锥 的体积取最大值则需要 最大.
由题意可知，点 在过 且与底面 （此处底面 为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点 运
动到该圆的最高点时， 最大.
取 的中点 ，连接 ，过点 作 .如图所示，
由圆的对称性可知，此时 ，则 .
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为在 中， ，
又 ，
所以 .
易得四边形 为矩形，所以 .
因为在 中， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
变式34．（2023·四川乐山·统考三模）在三棱锥 中， ，平面 平面
ABC，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】
如图，取 中点 ，连接 ， ，
由 ，则 ， ，
由面 面ABC，面 面ABC ， 面 ，所以 面ABC，
而 面 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
易知 ， ，
取 外接圆的圆心 ，易知 在直线 上，设 外接圆半径为 ，
由正弦定理， ，
同理，取 外接圆的圆心 ，则 在直线 上， ，
过 ， 分别做平面 和平面 的垂线交于点 ，
易证 ， ，∴ ， 为三棱锥 外接球的球心.
①当 时， ， ， ，
， 分别在线段 ， 上，易知 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，则，
，
由基本不等式， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
②当 时， ， ， ，
， 分别在线段 ， 的延长线上，如下图所示，
此时， ，
∵ ，∴ ，且无最小值.
综上所述， 的最小值为 ，
∴三棱锥 的外接球表面积的最小值为 .
故答案为： .
变式35．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形 中，
，沿对角线 将 折起，使平面 平面 ，得到三
棱锥 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
【答案】【解析】在平面图形中设 ，即Rt 中，
.在 中， .
设 外接圆圆心为 ，外接圆半径为 ，
由正弦定理可得 .
设三棱锥 外接球球心为 ，则 平面 .
又 平面 平面 ，交线为 平面
四边形 为直角梯形.
设外接球的半径为 ，在平面 中，过 做 于 ，
在 中， 为 的中点，
.
令 ，则，
当且仅当 时，即 时（满足 ）等号成立.
所以球表面积最小值为 .
故答案为： .
题型十：外接球之二面角模型
例28．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接 ，
因为 ，DA=DC，所以 ， ，故 即为二面角 的平面角，
△ACB的外心为O，过O 作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平
1 1
面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC内，设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
故选:B
例29．（2023·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中， ， 是边长为2的等边三角形，
若二面角 的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正 的重心为 ，则 是正 的外接圆的圆心，
取 的中点 ，因为 ，所以 是 的外接圆的圆心，
过 作 平面 ，过 作 平面 ， ，如图，
则 为四面体 的外接球的球心，
又二面角 的大小为 ，则 ，
又在正 中， ，
则在 中， ，
设四面体PABC的外接球的半径为 ，
则 ，所以四面体PABC的外接球的表面积为 .
故选：C.
例30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥 平面 ，
二面角 的大小为 .若点 均在球 的表面上，则该球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为点 均在球 的表面上，
所以四边形 内接于圆，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，又 ，
所以二面角 的平面角为 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
由余弦定理可得： ，
即 ，即 或 （舍去），
所以 ，所以 外接圆的直径为： ，
即四边形 外接圆的直径为 ，
因为 平面 ，所以，四棱锥 外接球的半径为：
所以四面体 外接球的表面积为 .故选：B.
变式36．（2023·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体 中， 与 都是边长为6的
等边三角形，且二面角 的大小为 ，则四面体 外接球的表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【答案】A
【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ，分别取 和 的外心 与 ，
过两点分别作平面 和平面 的垂线，交于点 ，
则 就是外接球的球心，连接 ，
则 为二面角 的平面角，即 ，
则 是等边三角形，其边长为 ， ，
在 中， ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以四面体 的外接球的表面积为 .
故选：A.
变式37．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组
成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形
纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥
，如图2．若二面角 的大小为 ，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接ME，EF．
因为 ，所以 ．易知 ，因为 ，
所以 ，所以 ．
过点E作OE⊥平面MAC，过点F作OF⊥平面ABC，
，连接OA，易知E，F两点分别是△MAC和△ABC的外心，
所以点O是三棱锥 的外接球的球心．
因为 ，所以 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以外接球的表面积 ．
故选：C.
变式38．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在 中， ， ， ， ，沿
将 折起，使得二面角 为60°，得到三棱锥 ，如图2，若 ，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
．
又 平面 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ，即 90°．因为 为60°，所以 60°，
在 中， ，可得 ， ．
易知， 的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，
如图所示，则该长方体的外接球即为 的外接球，球心PC的中点，
，表面积为 ，故A正确．
故选：A.
变式39．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
，二面角 的大小为 ，若球 的表面积等于 ，则
三棱锥 的体积等于（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 到 的距离相等，
故 即为球心．
由球 的表面积等于 ，设外接球半径为 ，故 ，
解得 ，过 作 垂直于 于点 ，
因为 ， ，所以 ，同理 ，
过点 作 ，且 ，则 ， 是二面角 的平面角， ，过点
作 ，垂足为点 .
因为 ， ，且两直线在平面内，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ， ,且两直线在平面内，所以 平面 ，
则 为 三棱锥的高，
故三棱锥的高为 ，
其中 ，
所以三棱锥 的体积 ．
故选：B.
变式40．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中， ，二
面角 为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设E，F，G分别是BC，AC，BD的中点，则 ，因为 ，所以 ，
则二面角 的平面角为 ，且 平面EFG，
又因为 ，所以 ，所以 ，
因为 平面EFG，所以 ，所以 平面ABC．
又因为F是 外接圆的圆心，所以FG经过球心，且G是 外接圆的圆心，
所以G是三棱锥 外接球的球心，
设外接球的半径为 ，则 ，
故三棱锥 外接球的表面积 ．
故选：D.
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
例31．（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
是球 的直径.若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ， .
因为平面 平面 ，所以 平面 .
设 ，
所以 ，所以球的体积为 .
故选：
例32．（2023·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 的体积为 ， ， ，
若 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 是其外接球的直径，得 中点 是 外接球球心，设 是 的外心，则
平面 ，且 等于 到平面 的距离的一半．求出 中 长（用余弦定理），由正弦定理求
得 外接圆半径，求出 面积，求体积求出 ，从而可得外接圆半径，得表面积．如图， 是
中点，则 是 外接球球心，设 是 的外心，则 平面 ，且 等于 到平面
的距离的一半．
∵ ， ，∴ ，
， ，
， ，
，
∴ ，
．
故选：D.例33．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球
面上, 为球的直径, 是边长为 的等边三角形,三棱锥 的体积为 ,则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出其立体图像,如图:
设 中点为
为球的直径,故点 为三棱锥 外接球的球心.
设 外接圆的圆心为
是边长为 ,故外接圆半径为: .
故是边长为 的等边三角形
根据三角形面积公式可得:
三棱锥 的体积为
根据三棱锥体积公式可得:
可得 ,解得:
根据几何关系可知:
在 中,有
根据球的表面积公式为
故选:A.
变式41．（2023·重庆·校联考一模）已知三棱锥 各顶点均在球 上， 为球 的直径，若
， ，三棱锥 的体积为4，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求解出 面积后，利用三棱锥 的体积，构造方程，求解出点 到底面 的距离，
从而可知 的长度；利用正弦定理得到 ，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.原题如下图
所示：
由 ， 得：
则设 外接圆圆心为 ，则
由正弦定理可知， 外接圆半径：
设 到面 距离为
由 为球 直径可知：
则
球的半径
球 的表面积
本题正确选项：
变式42．（2023·河北唐山·统考三模）三棱锥 的四个顶点都在球面上， 是球的直径， ，
，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：由题意， 是球的直径，
， ，
， ，
，
，
，
球的半径为 ，球的表面积为 ，
故选： ．
变式43．（2023·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球
的直径.若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接AO,BO因为PA=AC,PB=BC,所以 和 为等腰三角形,又因为 为球O的直径,所以O
为PC的中点,所以 ,又因为平面PCA 平面PCB,所以 BO,又因为 所
以 平面PBC,设半径为r，则
，所以 ，故选B．
变式44．（2023·福建莆田·高三统考期中）三棱锥 的各顶点均在球 上， 为该球的直径，
，三棱锥 的体积为 ，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图， ，
三棱锥 的体积为 ，所以 ，
解得三棱锥 的高为 ，
设 为三角形 的外接圆的圆心，
连接 ，则 平面 ，
因为 为该球的直径，
所以 ，
连接 ，由正弦定理可知三角形 的外接圆的直径为
，
由勾股定理可得球半径
球 的表面积为 ，故选D.
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的四个顶点均在某球面上， 为该球的直径，
是边长为4的等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意作出图形如图示.设球心为O，球的半径r.
过 三点的小圆的圆心为 ，则 ⊥平面 ，延长 交球于点 ，则 平面 .所以
.
因为 为 的中点，所以
因为 是边长为4的等边三角形，所以 .且 .由勾股定理得： .
所以 .
所以三棱锥 的体积为 ，解得： .
所以该三棱锥的外接球的表面积为 .
故选：D
变式46．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知 是球 的直径， 是球 球面上的两点，
且 ，若三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球心为 是球心的直径， 是 的中点， ，设 到面 距离为
，则 ，即 ，由正弦定理可得 外接圆直径为
球半径为 ，球表面积为 ，故选D.
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面
ABCD， 是对角线 与 的交点，若 ， ，则三棱锥 的外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，∴ 平面PBD，∴ ，即 ，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在 中，MB=MC=MP= PC，
在 中MO= PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以 是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B．
例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥 中， ， ， ， ，
，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，则 ，所以 ，
又因为 ， ， ，则 ，所以 ，
由 ， ， ，则 ，所以 ，
又由 ， ， ，则 ，所以 ，
可得 为三棱锥 的外接球的直径，
又由 ，
所以此三棱锥的外接球半径为 ，
所以球的表面积为 ．故选：C．
例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥 中，
若该三棱锥的体积为 ，则三棱锥 外球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面AOB，
所以 ，
解得 ，
所以其外接球的体积为 ，
故选：D
变式47．在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四
面体 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 ．
∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示．
D
A O C
B
图 2
∴外接球的半径 ．故 ．选C．
变式48．三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球的半径为
【答案】1
【解析】 是公共的斜边， 的中点是球心 ，球半径为 ．
题型十三：外接球之坐标法模型
例37．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系 中，
则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】取 ，则 是长方体，
其对角线长为 ，
∴四面体 外接球半径为 ．
，
故选：B．
例38．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：
）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该
球表面积的最小值为
【答案】
【解析】如图将正方体补全，依题意可得 、 、 、 为正方体底面边上的中点，
要使球的表面积最小，即为求 的外接球的表面积，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ，则几何体 外接球的球心必在上、下底
面中心的连线上，设球心为 ，球的半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以外接球的表面积 ，即该球表面积的最小值为 .
故答案为：
例39．（2023·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 中，
为等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】
过C作 面 于H，
则三棱锥 的体积为 ，所以 ，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为 为等边三角形，所以 ，
又 面 ， 面 ，所以 ，
又 ，所以 面 ，
面 ，所以 ，
在 中， 所以
以AB，AD为 轴，垂直于AB，AD方向为 轴，建立如图所示空间坐标系，设球心 ， 在面 的投影为 ，
由 得 ，
所以N为 的外接圆圆心，所以N为 斜边的中点，故设
由 得 ，解得 ，
所以 ，
故外接球的表面积为 ，
故答案为：
变式49．（2023·全国·高三专题练习）如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ，
的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体
的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、
，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点 ，设外接球
的球心为 ，半径为 ，则 ，即
，解得 ，所以 ，所以外接球的体积
；故选：B
变式50．（2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥
，底面 是边长为3的正方形， 面 ， ， ， ，若
，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，设
，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
于是 ，
则 ，∴ ，四棱锥 外接球直径为 ，故其表面积为
．故选：B.
变式51．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中 中， ，AD＝2，M是棱
的中点，过点B，M， 的平面 交棱AD于点N，点P为线段 上一动点，则三棱锥 外接球
表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】设三棱锥 外接球球心为 ，半径为R，
则 在过直角 斜边的中点 与平面 垂直的直线上，且满足 .
以D为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设球心 ， ，又 ，
设 ， ，则 ，
由 ，得 ，
则 ，由 ， ，可得 ，
又 ，所以当 时， 取最小值，最小值为 ，
所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 .故答案为： .
变式52．（2023·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱
､ 的中点，G为面对角线 上一个动点，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为
.
【答案】
【解析】以DA，DC， 分别为x轴，y轴，z轴建系.
则 ，设 ，球心 ，
，又 .
联立以上两式，得 ，所以 时， ， 为最小值，
外接球表面积最小值为 .
故答案为： .
变式53．（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体 的棱长为2，点
是线段 上的动点，则三棱锥 的外接球半径的取值范围为 ．【答案】
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
设 为 的中点， 为三棱锥 外接球的球心，
则 为 外接圆的圆心， 平面 ， ，
设 ，
则 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
所以球的半径 .
故答案为： .
题型十四：外接球之空间多面体
例40．（2023·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务
群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累
计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体
得到的，如果被截正方体的的棱长为 ，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．【答案】
【解析】
设正方体的中心为 ， 为棱的中点，连接 ，
则 为矩形 的对角线的交点，
则 ，
同理， 到其余各棱的中点的距离也为 ，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为 ，
故答案为：
例41．（2023·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可
由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿
棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为
.【答案】
【解析】因为棱长为 的正四面体的高为 ，
所以截角四面体上下底面距离为 ，
序曲其外接球的半径为 ，等边三角形 的中心为 ，正六边形 的中心为 ，则 垂直于
平面 与平面 ，则 ,
所以 ，解得 ，
所以该截角四面体的外接球的表面积为 ,
故答案为：
例42．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面
的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个
小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于 ．
【答案】
【解析】设正四棱锥底面的正方形为 ，顶点为 ，棱 的三等分点为点 和点 ，棱 的三等分
点为点 和点 ，连接 与 交于点 ，连接 ， ， ， ， ，则 底面 ，如
图所示，因为正四棱锥的棱长是6，即 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以正四棱锥的外接球的球心为点 ， ，
又因为 ， ， ，
所以 ，则 ,
同理可证 ，则 ,
又因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
同理可证出该几何体其他顶点到点 的距离都相等，
故剩下的几何体的外接球的球心也为点 ，
，
所以在 中， ，
解得 ，
即剩下的几何体的外接球的半径为 ，
故剩下的几何体的外接球的表面积： ，
故答案为： ．
变式54．（2023·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n
边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面
体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接
球的表面积等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设上下底面的中心分别为 ，设该“四角反棱柱”外接球的球心是 ，
显然 是 的中点，设 的中点为 ，连接 ，
过 做 ，垂足为 ，
因为 ， ，
所以 ，
在直角三角形 中， ，
所以有 ，于是有 ，
在直角三角形 中， ，
所以该“四角反棱柱”外接球的表面积等于 ，
故选：B
题型十五：与球有关的最值问题
例43．（2023·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱 中， ，
棱柱的侧棱足够长，点P在棱 上，点 在 上，且 ，则当△ 的面积取最小值时，三
棱锥 的外接球的体积为 .【答案】
【解析】如图所示，取 的中点为 ，连接 ，
因为三棱柱 为直棱柱，所以 平面ABC，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
设 ，在直角 中， ，同理 ，
所以 ，整理得到 ，
又由
，
当且仅当 时等号成立，即 时， 的面积取最小值，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又因为 为直角三角形，故 ，所以 为三棱锥 的外接球的球心，
设外接球的半径为 ，可得外接球的直径为 ，
所以外接球的体积为 .
故答案为： .例44．（2023·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱 中，
，点 在棱 上，且 ，当 的面积取最小值时，三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】由余弦定理得：
设 ，则 ，
由 得： ，解得： ，
因为 ，故
由基本不等式得：当且仅当 ，且 时，即 时取最小值.底面三角形外接圆半径
，
.
故答案为：例45．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体 的棱长为2，点 平面
，点 是线段 的中点，若 ，则当 的面积取得最小值时，三棱锥 外接
球的体积为 .
【答案】
【解析】如图以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，取 的中点 ，连接 ，
， ，
得 ， ， ， ， ，所以 ， ，
，因为 ， ，所以
， ，所以 平面 ，因为 ，点 又在平面 上，所以点 在
直线 上，则 ，当 的面积取得最小值时，线段 的长度即为点 到直
线 的距离，即 时， 面积最小，由 ， ， 为直角三角形，可得
， ， ，过点 作 交平面 于点 ，连接 ， ，可以
得
到直三棱柱 ，向外构建长方体 ，则三棱锥 外接球即可以为长方
体 的外接球，设外接球的半径为 ，所以 ，即
，则外接球体积为 .
故答案为：
变式55．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱 中， ⊥ ，
， ，点P在棱 上，且 ，当 的面积取最小值时，三棱锥 的外接
球的表面积为 ．【答案】
【解析】由勾股定理得： ，
设BP=x， ，则 ， ，
，
由 得： ，解得： ，
因为 ，故
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
将三棱锥 补形为长方体 ，则三棱锥 的外接球即该长方体 的外接球，
其中长方体 的外接球的直径为 ，
故半径为 ，故三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
变式56．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，
底面 为等腰直角三角形且 ，若该三棱锥体积的最大值为 ，则其外接球的表面积为
.
【答案】
【解析】如图所示：设球心为 所在圆面的圆心为 ，则 平面 ．因为 为等腰直角三角形且 ，所以 是 中点；所以当三棱锥体积最大时， 为射线
与球的交点，所以 ；因为 ，设球的半径为 ，所以
，所以 ，解得： ，所以球的表面
积为 .
故答案为： ．
变式57．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD
为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为
．
【答案】
【解析】依题意可知，当侧面 底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．
设球心为O，半径为R，正方形ABCD和 外接圆的圆心分别为 ， ，正方形ABCD外接圆半径为
，则 平面ABCD， 平面SAB．
因为 和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，
所以 ， ，
由勾股定理得 ，
所以球O的表面积 ．
故答案为：变式58．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥 中， 底面 ， ，
， 为 的中点，若三棱锥 的顶点均在球 的球面上， 是球 上一点，
且三棱锥 体积的最大值是 ，则球 的体积为 .
【答案】 /
【解析】正 中， 为 的中点，则 ，而 平面 ， 平面 ，即
，
而 ， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，有 ，又 ，
因此， 与 的斜边 中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥 外接球球心
为 中点，
从而，点O是三棱锥 外接球球心，设球 的半径为 ，有 ，
的外接圆圆心为 的中点，设为 ，连接 ，则 平面 ，如图，
则有 ，即 到平面 的距离为 ，
因此 到平面 距离的最大值为 ，
又 ，即有 ，解得 ， ， ，所以球 的体积为 .
故答案为：
变式59．（2023·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点 ， ， ， 在同一个球的球面上，
，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为 .
【答案】 /
【解析】依题意，三角形 为正三角形，面积为 ，
设四面体 的高为 ，则 ，解得 ，
设球心为O,三角形 的外接圆圆心 ，当四面体 体积最大时， 三点共线，如图，
三角形 所在平面截球得到的圆为三角形 的外接圆，其半径 ，
连接球心 和三角形 的外接圆圆心 ，则 平面 ，设球的半径为 ，
，
，解得 ，
这个球的表面积为 ，
故答案为：
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
例46．（2023·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体 的内切球的球心为 ，则
球 的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方体 的内切球的球心为 ，由对称性可知 为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为 .
故选：B.
例47．（2023·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱 存在内切球，若
，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故 ，
故 的内切圆的半径为 .
因为直三棱柱 存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为 ，
故外接球的的表面积为 .
故选：D.
例48．（2023·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是
，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
【答案】D
【解析】根据球的体积公式， ，解得 .因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为 ，故正方体的体积为 .
故选：D.
变式60．（2023·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积
之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半
径，则内切球的半径 ，正三棱柱的高 ．
设正三角形的外接圆半径为R，易得 ，
所以外接球的半径 ．
所以它的外接球与内切球体积之比为 ．
故选：C
变式61．（2023·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱 中，D是侧棱 上一点，
E是侧棱 上一点，若线段 的最小值是 ﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有
面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱 的底面边长为 高为 ，
对三个侧面进行展开如图，
要使线段 的最小值是 ，则连接 （左下角 ，右上角 ），
此时 在连接线上，故 ①，
因为正三棱柱 内部存在一个半径为 的内切球，
所以 整理得 ，将 代入①可得 ，
所以正三棱柱 的底面外接圆半径为 ，
所以正三棱柱 的外接球半径为 ，
所以该棱柱的外接球表面积为
故选：B
变式62．（2023·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和
内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图： 分别为底面中心， 为 的中点， 为 的中点
设正六棱柱的底面边长为
若正六棱柱有内切球，则 ，即内切球的半径
，即外接球的半径
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
故选：C．
变式63．（2023·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱 各面的距离都相等，球O是直三
棱柱 的内切球，若球O的表面积为 ， 的周长为4，则三棱锥 的体积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直三棱柱 的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为 ，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC， 可将直三棱柱 分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱 的体积为 h＝ ahr＋ bhr＋ chr＋2× r，
即4 ＝ （a＋b＋c）hr＋ ，∴ ＝ ，
∴三棱锥 的体积为 h＝ ×4×4＝ ．
故选：B．
题型十七：内切球之正四面体模型
例49．（2023·高一课时练习）边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为 的正四面体 补成正方体 ，则该正方体的棱长为 ，，
设正四面体 的内切球半径为 ，正四面体 每个面的面积均为 ，
由等体积法可得 ，解得 ，
因此，该正四面体的内切球的体积为 .
故选：D.
例50．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为 ，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设正四面体内切球球心为 ，内切球半径为 ，取 中点 ，作 平面 于 ，则 为
中心，
则 ， .
， ，
，
又 ， ，内切球表面积 .
故选： .
例51．（2023·江苏·高一专题练习）正四面体 的棱长为 ，则它的内切球与外接球的表面积之
比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，正四面体 的内切球与外接球球心重合，记为 ，令正 的中心为 ，连接
，
显然点 在 上，令正四面体 的内切球与外接球半径分别为 ，即 ，
而 ，则 ，
在 中， ，解得 ， ，
所以它的内切球与外接球的表面积之比为 .
故选：D
题型十八：内切球之棱锥模型
例52．（2023·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形 中， ，沿着对角线
将 折起，使得点 不在平面 内，当 时，求该四面体 的内切球和外接球的表
面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点 ，由矩形的性质可知 ，
即 为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径 ；因为 ， ， 平面 ，
可得 平面 ，
平面 ，则 ，
且 ， ， 平面 ，
可得 平面 ，
平面 ，则 ，故该四面体 的四个面都是直角三角形，
设四面体的内切球的半径为 ，
因为内切球与四面体的四个面都相切，故 满足 ，
则 ，解得 ；
因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为 .
故选：C.
例53．（2023·广西·高二校联考期中）已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥 的各棱长均为2，所以四棱锥 是正四棱锥，
则 ，
过P作底面垂线，垂足为H，则 ，所以 ，则 ，
故其内切圆表面积为 ，
故选：B．
例54．（2023·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， ，
，若三棱锥 的内切球 的表面积为 ，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，并延长交底面 于点 ，连接 ，并延长交 于 ，
在三棱锥 中， ， ，
三棱锥 是正四面体， 是 的中心， 平面 ，
三棱锥 的内切球 的表面积为 ，
，解得球 的半径 ，设 ，则 ， ，
，
， ， ，
解得 ， ，
此三棱锥的体积为 .
故选：D.
变式64．（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥 中， 平面
，且 ，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球
为三棱锥 的内切球），则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
又 ，
所以 平面 ，所以 ，
所以 均为直角三角形，
设球 的半径为r，则 ，
而 ， ，
所以 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：A.变式65．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多
面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，
即为 ，
如图，
在正八面体中连接 ， ， ，可得 ， ， 互相垂直平分， 为正八面体的中心， 平面
， 平面 ，则 ， ， .
在 中， ，
则该正八面体的体积 ，
该八面体的表面积设正八面体的内切球半径为 ，
，即 ，解得 ，
.
故选：C.
变式66．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四
面体称为鳖臑.在鳖臑 中， 平面 ， ，且 ，则其内切球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为四面体 四个面都为直角三角形， 平面 ，
所以 ， ，
设四面体 内切球的球心为 ，半径为 ，
则
所以 ，
因为四面体 的表面积为 ，
又因为四面体 的体积 ，
所以 ，
所以内切球表面积 .
故选：C.
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
例55．（2023·全国·高三专题练习）在Rt 中， .以斜边 为旋转轴旋转一周得到一个
几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，
由对称性知其内切球球心 在 上， 到 的距离 相等为球的半径，设其为 ，
因为 是直角，所以 是正方形，即 ，
由 得 ，即 ，解得 ，
球体积为 ．
故选：C．
例56．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为 ，底面直径为 ，其内有一球与该圆锥的侧面和底
面都相切，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆锥的母线长为 ，取圆锥的轴截面如下图所示：
设该圆锥的内切球 的半径为 ，则 ，
所以， ，
因此，球 的体积为 .
故选：C.例57．（2023·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆
锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
【答案】B
【解析】由题设，底面直径 ，故半径为 ，体高为 ，
所以圆锥的体积为 ，A正确；
圆锥的表面积为 ，B错误；
底面周长为 ，侧面展开扇形半径为2，故圆心角为 ，C正确；
由轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，圆锥的内切球最大截面为其内切圆，
所以内切球半径为 ，故球体表面积为 ，D正确.
故选：B
变式67．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径
为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为 ，底面圆的圆心为 ，内切球圆心为 ，
则 ， ，
因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ∽ ，则 ，
设 ， ，故 ，由 得： ，
由 得： ，
故 ，所以 ， ，
解得： ，
所以圆锥的表面积为 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 时取得最小值， ，
此时 ， ，
设圆锥的外接球球心为 ，连接 ，设 ，
则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，故其外接球的表面积为 .
故选：A变式68．（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点 为球心，内切球的半径为 ， 为切点，设
，即
由条件可知， ，
中， ，即 ，解得： ，
所以圆锥内切球的表面积 .
故选：D
变式69．（2023·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台 的上､下底面边长分别
为 分别为 ， 的中点，8个顶点 构成的十面体恰有内
切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为 ，
如图所示， ，
所以 ，
可得 ，
故该内切球的表面积为 .故选：A
变式70．（2023·湖北咸宁·高二统考期末）已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均
相切），且圆台的上、下底面半径 ，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆 是等腰梯形 的内切圆，设圆 与梯形的腰相切于点 ，
与上、下底的分别切于点 ， ，
设球的半径为 ，圆台上下底面的半径为 ， .注意到 与 均为角平分线，因此
，
从而 ，故 .设台体体积为 ，球体体积为 ，
则 .
故选：B题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
例58．（2023·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知球 与一正方体的各条棱相切，
同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【解析】设正方体棱长为 ，
因为球 与正方体的各条棱相切，所以球 的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径 ；
正方体内接于球 ，则球 的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径 ；
所以球 与球 的表面积之比为 .
故选：A.
例59．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O与三棱柱
的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，上底面中心为 ，下底面中心为 ，
连接 ，则球 的球心 在 的中点上，设球 切棱 于 ，切棱 于 ，
则 、 分别为所在棱的中点，
由题意 ，①因为 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，②
联立①②可得 ，
所以球 的半径为 ，
所以球O的表面积为 ，
故选：C.
例60．（2023·全国·高三专题练习）已知球与棱长为 的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知球的直径等于正方体面的对角线长，
所以球的半径 ，设圆柱的高为 ，则底面圆半径 ，
所以
当 时取得最大值，且最大值为 .
故选
变式71．（吉林省吉林市2023届高三第四次数学（理）调研试题）已知正三棱柱 (底面为正
三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱
柱的侧棱长为 .
【答案】2
【解析】如图，作正三棱柱 的中截面正 ，作上下底面三角形内切圆，
与正三棱柱的所有棱都相切的球必过 的外接圆和上下底面内切圆，
取上下底面内切圆心 ､ ，连接 ，取 中点 ， 为 的外心，
以 为球心，以 为半径的球，此球即为与正三棱柱 的球，
于是 ， ，
所以 ， ，
故答案为：2变式72．（福建省三明市2023届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱 的侧棱长
为 ，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 .
【答案】
【解析】由题意三棱柱 是正三棱柱， 分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知
中点为球 的球心，取 中点 （为切点），则 （ 等于 到棱 距离．设球半径为 ，
由正三角形性质知 ，
与底面垂直，则必与底面上直线 垂直，因此 ，解得 ，
球体积为 ．
故答案为： ．
变式73．已知正三棱柱 ，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧
棱长为 .
【答案】
【解析】设底面△ABC外接圆圆心G,如图因为△ABC的外接圆即为球的大圆，且 ，
则GA=GB=GC=4，从而正△ABC边长 ,
设球心 ，由题意知E、D在球面上， ,
F为DE中点，则 ，
在 中， ，
侧棱 ，
故答案为：
变式74．（广东省茂名市五校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一
个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作正三棱柱 的中截面正△ ，作上下底面三角形内切圆，
与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△ 的外接圆和上下底面内切圆，
取上下底面内切圆心 、 ，连接 ，取 中点 ， 为△ 的外心，
以 为球心，以 为半径的球，此球即为与正三棱柱 所有棱都相切的球，
∴ ， ， ，
在直角△OMN中，由 得， ， ，
∴球的半径 ，∴球的体积 .
故选：B.
题型二十一：棱切球之正四面体模型
例61．（2023·全国·高一期中）已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正
四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体 中，棱长为 ，
所以，四面体 是棱长为 的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为 ，
所以，该球的体积为 ，
因为正四面体的体积为 ，
所以，该球与此正四面体的体积之比为 .
故选：A
例62．（2023·陕西西安·高一校联考期中）所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，设 为正三角形 的中心，连接 ，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心 在线段 上，
连接 ，设正四面体的棱长为 ，则 ，
故 ．
设外接球的半径为 ，则 ，
故 ，解得 ，
故内切球的半径为 ，所以 ，
故内切球与外接球的体积之比为 ，
故选：A．
例63．（2023·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中）球与棱长为 的正四面体各条棱都相切，则该
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的
面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
又因为正方体的棱长为 ，所以球的半径 ，
所以球的表面积为： ，
故选：C.
变式75．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球 的表面积为 ，若球 与正四面体 的六条
棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱
均相切， ， 正方体的棱长为 ，则正四面体棱长为 ，高 ，
，
故选:A．
变式76．（2023·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，
则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
【答案】B
【解析】将正四面体 补成一个正方体球 与正四面体的棱都相切．
则球 与正方体的内切球，设正方体边长为 ，故选：B.
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
例64．（河南省名校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题）已知棱长均为 的多面体
由上､下全等的正四棱锥 和 拼接而成，其中四边形 为正方形，如
图所示，记该多面体的外接球半径为 ，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为
，则 ．
【答案】
【解析】在多面体 中， 为正方形 的中心，如图所示：
由题意可知 既是多面体 的外接球的球心，也是棱切球的球心，
过点 作 于点 ，在 中， ，
，所以 ，
所以 ，
所以故答案为：
例65．（河南省多所名校2022-2023学年高三下学期3月月考文科数学试题）在正三棱锥 中，
， ，若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取 的中心E，连接PE，则 平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点， ，连接OD.
因为 平面ABC，所有 .
因为 平面 ， 平面 ， ，所有 平面 .
因为 平面 ，所有
.过O作 ，交PA于点F.
球O的半径为r，则 .
由题意： 为正三角形，因为 ，所以 ， ，
.
因为 ， ，所以 ，所以 .
设 ，所以 ，因为 ，所以 ，解得: ，所以
，故球O的表面积为 ．
故答案为：例66．（安徽省马鞍山市2023届高三下学期第二次教学质量监测理科数学试题）球被平面截下的一部分
叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式
，其中 为球的半径， 为球缺的高.若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，
则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为 .
【答案】
【解析】如图，
取 的中点 ， 的中点 ， 的中心为 ，连接 ， ， ，
一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，
可得 ， ，
所以球 的半径为3， 是正三角形，边长为6，中心为 ，
连接 ， ， ，
，
所以球缺的高为： ，
该球与该正四棱锥的公共部分的体积为：
.
故答案为： .
变式77．（2023·全国·高三专题练习）正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，若球H与正
三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面 的外接圆的圆心为 ，连接 ，延长 交 于 ，
球H与棱 分别切于 ，设球H的半径为 ，
则 ， ，而 底面 ，所以 ，可得 ，
在直角三角形 中， ， ，
在直角三角形 中， ，
所以 ，即有 ，解得 ，
则这个球的表面积为 ．
故选：B
变式78．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，
，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图示，以A为原点， 分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， .
设与三棱锥各棱均相切的球的球心为 ，半径为r，过O作OO ⊥面ABD于O 则 .
1 1，在底面ABD中，即平面xoy内，直线BD方程为： ， ，所以 ，所以
，即 ①.
过O作OE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F，过O作OG⊥AD于G，过O 作OH⊥DB于H.
1 1
由 得： ②.
同理可得： ③， ④.
②③④联立可得 .
把 与①联立，解得： .
所以该球的表面积为 .
故选：D
变式79．（2023·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱
锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图三棱柱 为正三棱锥，且底面边长 ，侧棱
设正三棱锥的棱切球球心为 ，半径为 ，则顶点 在底面的投影为 也为 的中心，取 的中点，
连接 ，过 点作 垂足为 ，则 ，设 ，
在 中 ，
因为 为 的中心，则 ， ，在 中 即 ；
在 中， ，即 ，
在 中， ，则 ；
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
又因为 ，则 ，化简得 ，
由 得 解得 .
故选：C.
变式80．（2023·江苏·高一专题练习）在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥
的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 的中心 ，连接 ，
则 平面 ，且与棱均相切的球的球心 在 上，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，
连接 ，易证 ，
过 作 ，交 于点 ，
设球 的半径为 ，则 ，由题意易求得 ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，从而 ，所以 ，
所以 ，
故球 的表面积为 .
题型二十三：多球相切问题
例67．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架
桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重
器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大
球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，
则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
过点 作 ⊥底面 ，垂足在 上，且 ，
所以 ，故 ，
点 为最大球的球心，连接 并延长，交 于点 ，则 ⊥ ，
设最大球的半径为 ，则 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，则 ，故
设最小球的球心为 ，中间球的球心为 ，则两球均与直线 相切，设切点分别为 ，
连接 ，则 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为 ，
则 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 ，故 ，解得 ，
所以 ，
模型中九个球的表面积和为 .
故选：B
例68．（2023·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入
一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正四面体 ，设点 是底面 的中心，点 是 的中点，连接 .
则由已知可得， 平面 ，球心 在线段 上，球 切平面 的切点在线段 上，分别
设为 .
则易知 ， ，设球 的半径分别为 .
因为 ，根据重心定理可知， .
， ， ， ， .
由 可得， ，
即 ，解得， ，所以 .
由 可得， ，
即 ，解得 ，
所以，球 的体积为 .
故选：A.
例69．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的
内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若 ，则该模型中一个小球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
设 为大球的球心，大球的半径为 ，大正四面体的底面中心为 ，棱长为 ，高为 ，
的中点为 ，连接 ， ， ， ， ， ，
则 ，正四面体的高 .
因为 ，所以 ，所以 ，
设小球的半径为 ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高 ，所以 ，
所以小球的体积为 .
故选：C
变式81．（2023·全国·高三专题练习）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 的正四棱锥 中，
大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的表面积为 ．
【答案】
【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则 ，， ，
如图，在截面PMO中，设N为球 与平面PAB的切点，则N在PM上，
且 ，设球 的半径为R，则 ，
∵ ，∴ ，则 ， ，∴ ，
设球 与球 相切于点Q，则 ，
设球 的半径为r，同理可得 ，∴ ，
故小球 的表面积 .
故答案为：
变式82．（2023·全国·高一专题练习）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空
隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为 ，半
径为 ，空隙处的最大球球心为 ，半径为 ，为 的中心，易知 面 ， 为 中点，球 和球 分别与面 相切于 和 .
易得 ， ， ，
由 ，
可得 ，
又 ， ，
故 ， ， ，
又由 和 相似，可得 ，即 ，解得 ，
即小球的最大半径为 .
所以小球的表面积最大值为 .
故选：A
变式83．（2023·全国·高三专题练习）已知球 是棱长为24的正四面体 的内切球，球 与球 外
切且与正四面体的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设球 的半径为 ，球 半径为 ，由正四面体的性质，取 中点 ，连接 ，
是棱锥的高，且与两球分别切于点 ， 交 于 ，则 与底面垂直， 是底面中心．记正四
面体棱长为 ，则 ， ，
在 中， ，
由
，所以 ，解得 ，
又由 （它们在平面 内都与 垂直）得 ，即 ， ，代入解得 ，
所以球的表面积为 ．
故选：A．
变式84．（2023·全国·高一专题练习）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各
面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，
连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点 ，连接 ，交GF于点N，则N
为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设
为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半
径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4， ， ，
，所以
由 ，即 ，解得：
所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2
则△BEP∽△∴ ，
解得：
∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A.
