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培优 01 解二元一次方程组类型题（7 大题型）
题型1 列二元一次方程组
从实际问题中抽象出数学模型，识别两个未知数（如设x和y），并找到两个独立的等量关系。每个关系
转化为一个线性方程，确保方程基于题目条件（如行程中的距离和速度、工程中的工作量、分配中的比
例）。关键是要仔细阅读，提取关键数据，并用变量表示未知数，避免遗漏约束条件
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．
已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进
行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确
的是（ ）
A． B． C． D．2．（24-25八年级上·四川成都·期末）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，
得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后
一个四位数大2178．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）每年的5月19日是中国旅游日，今年这天山西各大景区精心筹备，
纷纷推出了免门票、半价等优惠活动．这一天太原市蒙山景区（ 级）每张首道门票（进入景区的第一
张门票）的价格比原价优惠25元，平时购买3张蒙山景区首道门票的价格，在这天可以购买6张蒙山景区
首道门票．若设蒙山景区每张首道门票的原价为x元，5月19日这天的价格为每张y元，则x，y满足的方
程组是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东东莞·模拟预测）在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺
和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺
与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，
根据上述信息，列出二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．
设小长方形的宽为 ，长为 ，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所
示的算筹图表示的是关于 的方程组 ，则图2所示的算筹图表示的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，将正方形 的一角折叠，折痕为 ，点 恰好落在点
处， 比 大 ．设 和 的度数分别为 和 ，可列方程组为 ．
8．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图
中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中 的面积为 ， 的面积为 ，则可列出方程： （填写一个）．
题型2 二元一次方程与方程的解
理解二元一次方程的解是使方程成立的有序数对(x,y)，通常有无数个解．验证解时，直接将值代入方程检
查等式是否成立。对于求整数解或特定解，可通过枚举或利用整除特性（如系数关系）来缩小范围，注
意解的一般形式．
9．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程 是二元一次方程，则a的值是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25七年级下·湖南·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的 方格内填入了一些
表示数的代数式，若图中各行各列以及对角线上的三个数之和都相等，则 （ ）
6
0
A．5 B．4 C．6 D．8
13．（25-26八年级上·全国·单元测试）写出一个以 为解的二元一次方程： ．
14．（24-25七年级下·浙江金华·期末）一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完．如果弹子数为99，盒子数大于9．那么，大盒子有 个、小盒子有
个．
15．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长 的钢管截成 长和 长两种规格的钢管．为了不造成浪
费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）．
16．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）如图， 是线段 的一点， 是线段 的中点．已知图中
所有线段的长度之和是 厘米，线段 的长度与线段 的长度都是整数，则线段 的长度为多少厘米．
17．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程 （k为常数）．
(1)当 ， 时，求k的值；
(2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解．
题型3 二元一次方程组的解
方程组的解是同时满足所有方程的公共解。求解方法包括代入法或加减法，解后需验证是否满足原方程
组。对于特殊情况（如无解或无穷多解），可通过比较系数比值（如a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时无解）来
判断，强调数形结合理解直线交点．
18．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）以 为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
19．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列各组数中，是方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组 的解为 ，那么被“ ”遮住的数是
．21．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组
时，甲看错了方程①中的 ，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为
试计算 的值．
22．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于 的方程组 的解为 且
，则 为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
题型4 用代入法解一元二次方程组
从其中一个方程中解出一个未知数（如用y表示x），代入另一个方程，化为一元一次方程求解。此法适
用于当某个方程易解出一个变量时（如系数为1）。关键步骤是代入后简化计算，避免错误，最后回代求
另一个未知数并检验．
依有理数（分数形式）和无理数（无限不循环）定义分类；利用相反数、倒数、绝对值性质计
算，含参时验证存在性．
23．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）用代入法解方程组 时，将①代入②得
（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）把方程组 中的方程①或方程②改写成用含x的式子表
示y的形式，下列改写正确的是（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得25．（13-14七年级下·天津·期末）用代入法解方程组 使得代入后化简比较容易的变形是
（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
26．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）小明在解方程组 时，解得 则△和 代表的
数分别是（ ）
A．1，5 B．5，1 C． ，3 D．3，
27．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）用代入法解方程组 时，将方程①代入②中，所
得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（24-25七年级下·云南德宏·期末）由二元一次方程 可以得到用 表示 的式子为 ．
29．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采
用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形为 ，即 ③．把方程①代入③，
得 ，解得 ．把 代入方程①，得 ，所以原方程组的解为 ．
请你解决以下问题：
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 ；(2)已知 满足方程组 ，求 的值．
30．（25-26八年级上·全国·课前预习）用代入消元法解下列方程组：
(1)
(2)
题型5 用加减法解一元二次方程组
通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数。先使一个未知数的系数相同或相反（乘以适当常数），
然后加减消元。此法适用于系数有公倍数或易调整时。消元后解一元方程，再求另一个未知数，最后验
证解的正确性．
39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中能消
元的是（ ）
A． B． C． D．
40．（24-25七年级下·河北衡水·期末）数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组 ，
下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ）
A．要消去 ，可以将
B．要消去 ，可以将
C．要消去 ，可以将
D．要消去 ，可以将41．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于 ， 的二元一次方程组 （ 是常
数），若不论 取什么实数，代数式 （ 是常数）的值始终不变，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
42．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果 ，则 ．
43．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）解方程组 既可用 消去未知数 ，也可用
消去未知数 ．
44．（24-25七年级下·吉林白山·期末）解二元一次方程组 时，小华用加减消元法消去未知数 ，
按照他的思路，用 解得 ．
45．（25-26八年级上·全国·课前预习）用加减消元法解下列方程组：
(1)
(2)
46．（24-25七年级下·云南德宏·期末）对于任意实数x，y，定义关于“ ”的一种运算如下：
，例如 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值．
47．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题．
解方程组：
解： ，得 ，即 ．③
，得 ．把 代入③，解得 ．
故这个方程组的解是(1)请利用上述方法解方程组
(2)猜想并写出关于x，y的方程组 的解 ，并加以检验．
题型6 二元一次方程组的特殊解法
针对特殊形式的方程组（如对称式、轮换式），采用换元法、整体代换或构造新变量简化。例如，对于
x+y和x-y的方程组，设u=x+y, v=x-y求解。灵活运用数学技巧，如因式分解或比例性质，提高解题效
率，减少计算量。
31．（2025·湖南长沙·三模）已知 ， 满足方程组 ，则 的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
32．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
33．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如果关于未知数x和y的二元一次方程组
的解满足： ．那么关于未知数 和 的二元一次方程组 的解满足（
）
A． B． C． D．
34．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
则关于m，n二元一次方程组 的解为 ．35．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于 的方程组 的解为 ，则关于
的方程组 的解为 ．
36．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现：
材料：解方程组 ．
将①整体代入②，得 ．解得 ．
把 代入①得 ，所以 ．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
(1)请直接写出方程组 的解为_______．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ．
37．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题．
【类比观察】（1）求下列方程组的解
方程组 的解为：________；
方程组 的解为：________；
【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________；
【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ，的方程组 的解．
38．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】
小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10
枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？
分析与解
设三种花的单价分别为 元、 元、 元．不难列出方程组：
消去 ．得
③
显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是 整体的值，我们可以在上式中“分离”出
，即
在解决此问题时我们可联立③④得到方程组 ，将③整体代入④可得
，即 ，所以 ．像这样将 当作一个整体进行代入求
值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问
题．
【解决问题】
(1)①请直接写出方程组的解
②已知当 时，代数式 ，试求当 时，代数式 的值．
(2)已知关于 的方程组 ，试说明无论 取何值， 的值均不变．
(3)已知 ，则 ___________．题型7 含有字母参数的二元一次方程组
处理带参数的方程组时，先正常求解，用参数表示解。然后根据条件确定参数的值或范围。常见问题如
解为特定值、无解或无穷多解。通过比较系数或判别式来分析参数的影响。注意参数可能使系数为零的
情况。
48．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组 ，甲、乙两人都解
错了，甲看错了方程①中的m，解得 ，乙看错了方程②中的n，解得 ，则原方程组的解为
49．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知关于 的方程组 ，则下列结论中：①当
时，方程组的解是 ；②当 的值互为相反数时， ；③不存在实数 ，使得 ；
④若 ，则 ．其中正确的是（ ）．
A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③
50．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于 、 的方程组 给出下列结论：①
是方程组的解；②无论 取何值， ， 的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是
方程 的解；④在③的条件下， ， 的值都为自然数的解有 对，其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
51．（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）关于x，y的方程组 （n是常数）．
(1)当 时，直接写出第一个方程 的所有非负整数解；(2)当 时，该方程组的解也满足 ，求m；
(3)当 时，如果方程组也有整数解，求整数m．
52．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）解二元一次方程组 时，小红发现 的系数“ ”印刷
不清楚．
(1)小红把“*”当成3，则小红解二元一次方程组 的结果为_____；
(2)数学老师对小红说：“你猜错了，该题的正确答案中x，y是一对相反数．”根据老师说的内容，请你
帮小红求出原题中 的系数“*”．
53．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足 ，就称点 为“友好点”． 例如：点 ，令
，得 ， ，所以 是“友好点”．
(1)请判断点 是否为“友好点”，并说明理由．
(2)以关于x，y的方程组 的解为坐标的点 是“友好点”，求t的值．
培优综合练
54．（24-25七年级下·重庆·期末）对于关于x、y的方程 （ 为常数），若 c，则
称A为递增方程.定义递增方程A的重构变换如下：取 中任意两数之和，记为 ，且 ，
得到新的递增方程 ，并称 为A的1次重构方程；取 中任意两数之和，记为
，且 ，得到新的递增方程 ，并称 为A的2次重构方程……若方程组的解为 ，则记 为A的n次重构系数，则下列说法中正确的有
（ ）
①方程 的1次重构系数 ；
②已知方程 为递增方程，若 ，则 ；
③已知m为整数，方程 为递增方程，若无论n取何值， 均为整数，则
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
55．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）对于关于 的二元一次方程组 （其中
是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡
一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
56．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）综合与探究
已知关于x，y的二元一次方程组 ，
(1)当 时，求这个方程组的解．
(2)若该方程组的解x，y满足等式 ，求k的值．(3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组 时，将 中的b看成了
6，“ ”写成了“ ”，结果得到方程组的解为 ，而方程组正确的解为 ，请你根据这些条件
直接写出 的值．
57．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）阅读以下内容：已知 满足 ①，且满足
，求 的值．
三位同学分别提出了自己的解题思路：
甲同学：先解关于 的方程组 ，解得： （ 用含 的代数式表示），再代入①
中求 的值；
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，②＋③得： ？④，他发现④中等号的左边 和①
中等号的左边 在整体上存在一个倍数关系，利用这个关系求 的值；
丙同学：先联立方程①和③，解方程组 ， ，再代入②中求 的值．
(1)以上三位同学的解题思路中，正确的有 个；
(2)你最欣赏 （填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路，根据你所选的思路解答此题．
② ③,得 ,即 ,
58．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我们把关于 、 的两个二元一次方程 与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组 ，叫做关于 、 共轭二元一次方程组．
例如： 与 互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 ，叫做关于 、 共轭
二元一次方程组； 与 互为共轭二元一次方程，二元一次方程组
，叫做关于 、 的共轭二元一次方程组．
(1)若关于 、 的方程组 ，为共轭方程组，则 ______， ______；
(2)若二元一次方程 中 、 的值满足下列表格：
1 0
0 2
则这个方程的共轭二元一次方程是______；
(3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______．
(4)发现：若方程组 是共轭方程组，且方程组的解是 ，请计算
的值．
59．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们
通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，
从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，令 ， ．原方程组化为 ，解得，把 代入 ， ，得 ，解得 ． 原方程组的解为
．
(1)解方程组 ．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组 的解是 ，关于x、y的方程组 的
解是__________．
60．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知有理数a，b满足 ，且 ， 求k的
值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于a，b的方程组 ，再根据方程 求出k的值．
乙同学：先解方程组 求出a，b的值，再根据方程 求出k的值．
丙同学：将原方程组中的两个方程相加，用含k的式子表示 ，再根据方程 求出k 的值．
根据上述三种不同思路，完成下列任务：
(1)正确的打“√”，错误的打“×”．
甲同学的思路 ；乙同学的思路 ；丙同学的思路 ．
(2)试选择其中一个你认为正确的思路，求出a，b，k的值．
61．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点 ，点 ，当时，我们称点 与点 互为“等和点”．
例如：点 与点 互为“等和点”．
(1)已知点 ，下列各点 ， ， ，其中与点 互为“等和点”的是______．
(2)点 与点 互为“等和点”，连接 ，直线 交 轴于点 ．
若 ，求点 的坐标；
判断点 与点 是否互为“等和点”，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴向下运动，点 从 点出发，
以每秒 个单位长度的速度沿 轴向左运动，连接 ， ，直线 ， 相交于点 若三角形 的
面积为 ，直接写出点 的坐标．
62．（24-25七年级下·四川广元·期末）某校艺术舞台两侧（ ）有两台氛围射灯 和 ，它们发
出的光束分别从 、 方向开始，分别以 秒、 秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达
、 方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图 、图 的几何图形，若 、满足 ，探究下列问题：
(1)填空： ________， ________；
(2)在图 中，若灯 先转动 秒，灯 才开始转动，在灯 发出的光束到达 之前，设灯 转动时间为
秒，求当 为何值时，两灯的光束互相平行？
(3)在图 中，连接 ，测得 ，若两灯同时转动，在灯 发出的光束到达 之前，两灯射出
的光束交于点 ，过 作 交 于点 ，且 ，探究 与 有怎样的数量关系？
63．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）【材料阅读】
二元一次方程 有无数个解，如： ， ， ，…如果我们将方程的解看成一组有序
数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程 的解为坐标的点
落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该
方程的图象．
(1)【问题探究】
（1）请在图2中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解
为________．
(2)（2）已知关于 ， 的二元一次方程组 无解，请在图3中画出符合题意的两条直线：设
方程①图象与 轴， 轴的交点分别是 与 ，方程②图象与 轴， 轴的交点分别是 与 ，计算
的度数．
（说明：三角形的内角和为 可以直接使用）．
(3)【拓展应用】（3）图4中包含关于 ， 的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写出
该方程组的解________．
64．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点 ，点 ，且 ，
．将线段 平移得到线段 ，点A，B的对应点分别为点C，D．
(1)当 ，且点C正好落在原点O时，判断线段 平移的方向和距离；
(2)已知点 ， ，连接 ， ．
①点P在直线 上，连接 ， ，请用代数式表示三角形 的面积；
②以B，C为顶点向下画一个正方形 ．已知点 ， ，且线段 上的所
有点（含端点）都在正方形 的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含 代
数式表示）．
65．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）【材料阅读】二元一次方程 有无数组解，如： ， ， ， ，如果我们将方程的解看成一
组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程 的解为坐
标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线
称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）已知 ，则点_______（填“A或B或C”）在方程 的图象上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程 的图象．观察图象，两条直线的交
点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组 的解是_______；
【拓展延伸】
（3）设方程 的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程 的图象与x，y轴的交点分
别是C、D．
①求点A和点D的坐标
②已知关于x，y的二元一次方程组 无解，当点B在y轴正半轴上，且 时，在线
段 上任取一点E，连接 ．点M为 的角平分线上一点，且满足 ．请作出符合
题意的图形，并直接写出 和 之间的数量关系．
