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专题 4.4 平面向量基本定理及坐标表示
【新高考专用】
题型一 平面向量基本定理的应用
1
1．（2024·山东潍坊·模拟预测）在△ABC中，⃗AD= ⃗AB，点E为CD的中点，设⃗AC=⃗a，⃗AE=⃗b，则
3
⃗AB=（ ）
A．6⃗b−3⃗a B．6⃗b−2⃗a C．4⃗b−3⃗a D．3⃗b−2⃗a
2．（2024·四川·一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且⃗BD=⃗DA，⃗AE=3⃗EC，点
F为DE中点，则⃗BF=（ ）
1 3 3 1 3 3 3 3
A．− ⃗BA+ ⃗BCB． ⃗BA+ ⃗BC C． ⃗BA+ ⃗BC D． ⃗BA+ ⃗BC
8 8 4 2 8 8 8 4
3．（2024·安徽·模拟预测）已知O为等边△ABC的中心，若⃗OA=3⃗a,⃗AB=2⃗b，则⃗AC= ．（用
⃗a,⃗b表示）
4．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形ABCD中，E为BC中点，AE与BD交于点F，若将⃗AB=⃗a，
⃗AD=⃗b作为平面向量的一个基，则向量⃗AF可表示为 （用⃗a、⃗b表示）.
题型二 利用平面向量基本定理求参数
5．（2024·广东珠海·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足⃗BD=3⃗DC，M是AD的中点，若⃗BM=λ⃗BA+μ⃗BC，则λ+μ=（ ）
5 7 5
A． B．1 C． D．
4 8 8
6．（2024·广东汕头·一模）在平行四边形ABCD中，G为△ABC的重心，满足
⃗AG=x⃗AB+ y⃗AD(x,y∈R)，则x+2y=（ ）
4 5
A． B． C．0 D．−1
3 3
7．（2024·江西·二模）在△ABC中，已知⃗DC=3⃗BD，P为线段AD的中点，若⃗BP=λ⃗BA+μ⃗BC，则
1 1
+ = ．
λ μ
8．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，⃗AB=2⃗DC，点E是线段BC的中点，若⃗AE=λ⃗AB+μ⃗AD，
则λ+μ=
.
题型三 平面向量的坐标运算
1
9．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(3,−2)，B(−5,−1)，且⃗AP= ⃗AB，则点P的坐标为（ ）
2
( 3) ( 3)
A． −1,− B．(−8,1) C． 1, D．(8,−1)
2 2
10．（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量 ，则 （ ）
⃗a=(1,0),⃗b=(0,1) 2⃗a+3⃗b=
A．(2,−3) B．(−2,−3) C．(−2,3) D．(2,3)
11．（2024·上海嘉定·一模）已知 ，则 ．
⃗a=(2,1),⃗b=(−1,2) 2⃗a+3⃗b=
12．（2024·贵州·模拟预测）已知向量 ，且 ，则 .
⃗a=(1,0),⃗b=(1,1),⃗c=(−1,2) ⃗c=λ⃗a+μ⃗b λ+μ=
题型四 由向量共线（平行）求参数
13．（2024·青海西宁·一模）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
⃗a=(m,−1) ⃗b=(1,m−2) ⃗a//⃗b m=
A．−1 B．1 C．−1−√2 D．−1+√2
14．（2024·河南南阳·一模）已知向量 ，若 反向共线，则
⃗a=(1,−2),⃗b=(x,−1),⃗c=(−4,x) 2⃗a+⃗b,⃗a−⃗c
实数x的值为（ ）A．−7 B．3 C．3或−7 D．−3或7
15．（2024·江西南昌·模拟预测）已知 ，若 ，则 的取值为
⃗a=(1,2),⃗b=(−1,3) (k⃗a+⃗b)//(2⃗a−⃗b) k
.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量→ → .若向量 与 共线，则实数
a=(3,4)，b=(m,3) ⃗a−2⃗b ⃗a+⃗b m
的值为 .
题型五 利用向量共线求向量或点的坐标
17．（23-24高三上·广西南宁·期末）已知平面向量 ，且 ，则
⃗a=(1,2)，⃗b=(−2,m) ⃗a∥⃗b 2⃗a+⃗b=
（ ）
A．(−2,−4) B．（0，0）
C．(−1,−2) D．（1，2）
18．（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知 ， ，若 ，则 （ ）
⃗a=(2,1) ⃗b=(x,−2) ⃗a∥⃗b ⃗a+⃗b=
A．(−2,−1) B．(2,1) C．(3,−1) D．(−3,1)
19．（23-24高一下·北京·期中）已知点A(−1,5)，若向量⃗AB和向量⃗a=(2,3)同向，⃗AB=3⃗a，则点B的坐
标为 ．
20．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知A(0,−3),B(3,3),C(x,1)，若⃗AB//⃗BC，则⃗AC=
.
题型六 向量坐标的线性运算解决几何问题
21．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为AD上一点，
BE⊥AC，若⃑BA=λ⃑BE+μ⃑AC，则λ−μ的值为（ ）
1 7 16
A． B． C． D．1
5 25 25
22．（23-24高一下·四川雅安·期末）如下图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，
且OD=2，点P为△BCD内(含边界)的动点，设⃑OP=α⃑OC+β⃑OD(α,β∈R)，则α+β的最大值等于( )
5 3
A．3 B．2 C． D．
2 2
23．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,0)，则以A，B，C为顶点的平行四
边形的第四个顶点D的一个坐标可以是 .
24．（23-24高三上·河北唐山·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜
边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操
作作图，得到如图所示的图形.若⃗FA+x⃗AB= y⃗DA，则x−y= .
题型七 由向量线性运算解决最值和范围问题
25．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE＝2CD．
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE，则λ+μ的取值范
围为 ．
26．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2√5，O是BC的中点，E是正方形内一动点，
且OE=2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°至线段DF，若⃑OF=x⃑BA+ y⃑BC，则x+ y的最小值为 .1
27．（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AB // DC,AD=DC= AB=1，且
2
AB⊥AD，点P是以A为圆心，AD为半径的圆上的一点，若⃗AP=x⃗AC+ y⃗AB，则3x+ y的最小值为
．
28．（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在四边形ABCD中∠BAD=60°,AD=AB，
∠BCD=120°,CB=CD，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且⃗AE=x⃗AB+ y⃗AD，
则xy的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD中，⃗AB=2⃗AE，⃗BF=2⃗BC，则⃗EF=（ ）
1 1 1
A．2⃗AB+ ⃗AD B． ⃗AB+ ⃗AD
2 2 2
1
C． ⃗AB+2⃗AD D．2⃗AB+2⃗AD
2
2．（2024·青海·一模）已知向量⃗a,⃗b不平行，向量3⃗a+4⃗b与k⃗a−2⃗b平行，则k=（ ）
8 8 3 3
A．− B． C．− D．
3 3 2 21
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(k,−1)，则“k=− ”是“ ⃗a∥⃗b”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）若向量⃗AB=(2,5)，⃗AC=(m,m+1)，且A，B，C三点共线，则m=
（ ）
2 2 3 3
A．− B． C．− D．
3 3 2 2
5．（2024·云南·模拟预测）在△ABC中，点D是线段BC上的一点，且满足⃗BC=3⃗BD，点P是线段AD的
中点，若存在实数m和n，使得⃗BP=m⃗AB+n⃗AC，则m+n=（ ）
1 1 1 1
A． B．− C． D．−
3 3 2 2
6．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称
蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利
用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则⃗AB=（ ）
3 5 5 3
A．− ⃗CE+ ⃗DE B．− ⃗CE+ ⃗DE
2 6 6 2
2 5 5 2
C．− ⃗CE+ ⃗DE D．− ⃗CE+ ⃗DE
3 6 6 3
2x+5 y
7．（2024·福建·模拟预测）在△ABC中，点D是边BC上一点，若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则 的最小
xy
值为（ ）
A．7−2√10 B．7+2√10 C．−2√10 D．7
8．（2024·四川成都·二模）已知向量→ ，→ 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点
α P α α
e e
1 2
P ，当 O ⃗ P=x → e + y → e 时，称有序实数对 (x,y) 为点 P 的广义坐标.若点 A ， B 的广义坐标分别为 (x 1 ,y 1 ) ，
1 2，则“ "是“ ”的（ ）
(x ,y ) ⃗OA//⃗OB x y =x y
2 2 1 2 2 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量 .若 ，则 （ ）
⃗a=(1,2),⃗b=(−2,1) (x⃗a−⃗b)//(⃗a−x⃗b) x=
A．−1 B．0 C．1 D．2
1
10．（2024·广东梅州·三模）如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD= AB，E，F分别
2
为DC，AE的中点，若⃗AD=λ⃗AB+μ⃗BF(λ,μ∈R)，则（ ）
7
A．λ= B．μ=2
2
7
C．λ= D．μ=1
4
11．（2024·安徽·三模）已知向量 ，则（ ）
⃗a=(1,2),⃗a−⃗b=(3,1)
A． B．
⃗b=(−2,1) ⃗a∥⃗b
C．⃗a⊥⃗b D．⃗a−⃗b在⃗a上的投影向量为⃗a
三、填空题
12．（2024·四川雅安·一模）已知向量 ， ．若 ，则 ．
⃗a=(4,−2) ⃗b=(2,x) ⃗a//(2⃗a−⃗b) x=
13．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形ABC中，E，F是AC上中线BD的三等分点满足DE=EF=FB，
记⃗DF=x⃗AB+ y⃗CE，则x+ y= .
2
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点（与端点不重
3
x+ y
合），设⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则 的最小值是 .
xy
四、解答题15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形ABCD中，已知A(2,1)、B(−3,2)、C(−1,3)，
其对角线交点为M.求：
(1)向量⃗AC与⃗BC的坐标；
(2)点D与M的坐标.
1 2
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在△ABC中，⃗AM= ⃗AB，⃗CN= ⃗CB．设⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b．
2 3
(1)用⃗a，⃗b表示⃗AN，⃗MN；
4 1
(2)若P为△ABC内部一点，且⃗BP=− ⃗a+ ⃗b．求证：M，P，N三点共线．
9 9
17．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）在空间直角坐标系中，已知A(0,1,2)，B(2,−1,5)，C(−2,2,2)，
D(1,2,m).
(1)若AB⊥CD，求m的值；
(2)若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，求x+ y+m的值.18．（2024高三·全国·专题练习）已知A(−2,4)，B(3,−1)，C(−3,−4)．设⃗AB=⃗a,⃗BC=⃗b,⃗CA=⃗c，且
⃗CM=3⃗c,⃗CN=−2⃗b.
(1)求3⃗a+⃗b−3⃗c；
(2)求满足⃗a=m⃗b+n⃗c的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量⃗MN的坐标．
19．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD
上一点，且⃗AG=2⃗GD，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
(1)试用⃗AB和⃗AC表示⃗AM，⃗BG
(2)若
⃗AE=λ⃗AB
，
A
⃗
F=μA
⃗
C(λ,μ∈R+)
，求
λ+4μ
的最小值.
