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培优 01 平行线的有关类型题（5 大题型）
题型1 定义与命题的判定
区分定义（描述本质特征）与命题（判断真假的陈述句）。命题必须能判断真假，且由题设和结论组
成。识别时看是否具有"如果…那么…"结构，定义则是对数学名词的本质规定。
1．下列句子中，属于命题的是（ ）
A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短
C．利用三角板画出 的角 D．直角都相等吗？
【答案】B
【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是
解题的关键．
【详解】解： 、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意；
、垂线段最短是命题，该选项符合题意；
、利用三角板画出 的角不是命题，该选项不合题意；、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意；
故选： ．
2．下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
【答案】D
【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质
特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题
的关键．
【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误；
B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误；
C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误；
D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确．
故选：D．
3．下列语句是命题的是（ ）
A．作 B．若 ，则
C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
【答案】B
【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须
具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确．
根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性．
【详解】A. 作 ，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句；
B. 若 ，则 ，是命题，因为它是一个具有判断性的语句；
C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句；
D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句．
故选：B．
4．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两个锐角的和一定大于
B．两直线平行，内错角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离【答案】D
【分析】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A．两个锐角的和一定大于 ，属于命题，不合题意；
B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意；
C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意；
D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意；
故选D．
5．下列选项中不是命题的是（ ）
A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果 ，那么
【答案】B
【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某
一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命
题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意；
C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
D．如果 ，那么 ，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
故选：B．
6．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号）
①三角形的内角和等于 ；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对
顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
【答案】 / ①②⑤⑥
【分析】此题考②查⑥了定⑥义②及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进
行判断即可解决．
【详解】解：①三角形的内角和等于 ，是命题，不是定义；
②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题；
③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题；
④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题；
⑤对顶角不相等；不是定义，是命题；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题；
属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥；
故答案为：②⑥；①②⑤⑥．
7．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命
题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？
【答案】乙的说法正确
【分析】本题考查命题的定义，判断命题的真假． 根据命题的定义判断即可．
【详解】解：乙的说法正确．判断某一语句是不是命题要抓住两条：①命题是一个完整的句子，通常是陈
述句，疑问句和祈使句都不是命题；②命题要对某件事情作出肯定或否定的判断．
“内错角相等”满足上述两个条件，是假命题．
因此乙的说法正确．
题型2 真命题与假命题的判定
通过逻辑推理或举反例判断。真命题需证明其普遍成立；假命题只需找到一个反例即可推翻。注意几何
命题需考虑所有情况，避免以偏概全。
8．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形
C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
【答案】B
【分析】根据所学的数学知识，理解判定解答即可．
本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键．
【详解】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意；
B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意；
C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意；
D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意；
故选：B．
9．已知下列命题，其中真命题的个数（ ）
（1）27的立方根是 ；（2）有理数与数轴上的点一一对应；
（3）平方根是它本身的数有 和0；
（4）同位角相等；
（5）等腰三角形两腰上的高相等；
（6）若 ，则 ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，
根据定义，定理判断正确的命题即可解答.
【详解】解：27的立方根是3，故（1）中的命题是假命题；
有理数与数轴上的点不是一一对应，故（2）中的命题是假命题；
平方根是它本身的数只有0，故（3）中的命题是假命题；
如果两直线不平行时，同位角就不相等，故（4）中的命题是假命题；
等腰三角形两腰上的高相等，故（5）中的命题是真命题；
若 ，则 ，故（6）中的命题是假命题；
所以真命题有1个.
故选：D．
10．如图，已知题设：直线 ， ，以及三个结论：① ；② ；③ ，
则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角
和定理等逐个判定即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ， （两直线平行，同位角相等），
故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
无法说明 ，
故③错误；
综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②，
故选：C．
11．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的叙述，“同角的余角相等”的条件是：两个角是同一个角的余角，结论是：这
两个角相等，由此即可得出答案，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
12．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【分析】本题主要考查了命题的改写，熟知命题的结构是正确解答此题的关键．
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面，即可
得答案．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
13．将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ．
【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题
的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可．
【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
14．已知命题“如果 ，那么 ．”
(1)写出此命题的题设和结论；
(2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
【答案】(1)题设为 ，结论为 ，
(2)假命题，举例见解析
【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键；
（1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论；
（2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解；
【详解】（1）解：此命题的题设为 ，结论为 ， ．
（2）解：此命题是假命题，
当a为负数，b为正数时， ，但是 ， ，
例如：当 ， 时， ，但是 ， ．
15．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；
如果是假命题，举出反例．
(1)若 ，则 ；
(2)对于任意实数 ，一定有 ；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
【答案】(1)假命题，见解析；
(2)假命题，见解析；
(3)真命题，证明见解析；
(4)假命题，见解析．
【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出
发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条
件，不具备命题的结论的例子）即可
根据真命题和假命题的定义判断并说明即可．
【详解】（1）解：是假命题，反例：
当 时，
， ，
∴结论不成立；
（2）解：是假命题，反例：
当 时，
，
∴结论不成立；
（3）解：是真命题，证明：
设两个连续的正奇数为 ， （ 为正整数），
则
∵ 为正整数，
∴ 是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）解：是假命题，反例：
当四边形为等腰梯形时结论不成立．
16．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．
(1)直角都相等；
(2)如果 ，那么 ， ．
【答案】(1)真命题
(2)假命题，反例见解析
【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键．
（1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案；
（2）当 时，满足 ，当不满足 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵直角是90度的角，∴直角都相等，原命题是真命题；
（2）解；如果 ，那么 ，这是一个假命题，
例如当 时，满足 ，但不满足 ，故原命题是假命题．
17．用举反例的方法说明下列命题是假命题：
(1)如果 ，则 ；
(2)相等的两个角一定是对顶角；
(3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键：
（1）根据不等式的性质，举出 即可；
（2）举出 ，但 与 不是对顶角，即可；
（3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可．
【详解】（1）解：当 时， ，说明“如果 ，则 ”是假命题；
（2）解：如图， ，但 与 不是对顶角；
说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题；
（3）解：如图， 与 是同旁内角，但 与 不互补．
说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题．
题型3 平行公理及其应用
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。应用时用于证明两条直线平行或解决与平
行线相关的存在性和唯一性问题。18．下列各图中，不能画出 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据平行线的判定
定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得A、B正确；
根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得D正确；
C不能画出 ，
故选：C．
19．a，b，c是三条直线，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．以上全不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行公理，
根据平行公理及推论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ .
故选：B．
20．“如果 ，那么 ，”这一推理的依据是（ ）
A．垂直定义B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．等量代换
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，根据“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ （同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
故选：D．
21．如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于
这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角
互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方
法解答即可．
【详解】解：如图
，
，
（同旁内角互补，两直线平行）；
，
（同位角相等，两直线平行）；
， ，
（平面内垂直于同一直线的两条直线平行）．
故①③④正确．
故选：C．
22．若直线 ， ，则 的依据是 ．【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行公理推论即可求解，掌握平行公理推论是解题的关键．
【详解】解：若直线 ， ，则 的依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行，
故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
23．如图， 中， ， 是 的中线，已知 ， 为过点 的一条直线，且
，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的
性质．
综合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可得 的度数，根据平行线的性质即可得 的度数．
【详解】解：∵ 中， ， 是 的中线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型4 平行线的判定掌握三种判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。关键是找准角的位置关系，并证明对应
角满足上述条件之一。
24．如图，点E在 的延长线上，则下列条件中，不能判定 的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定定理．解题的关键是熟练掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
对应的平行线判定方法，并准确识别角的位置关系．
分析各选项中角的位置关系，根据平行线判定定理判断是否能推出 ；选项A中 与 是内错
角，内错角相等可判定 ；选项B中 与 是内错角，但对应 ，无法判定 ；选
项C中 与 是同位角，同位角相等可判定 ；选项D中 与 是同旁内角，同旁
内角互补可判定 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故选项A能判定 ；
∵ ，
∴ ，但选项B不能判定 ；
∵ ，
∴ ，故选项C能判定；
∵ ，即 ，
∴ ，故选项D能判定．
故选：B．
25．下列各图形中， ，能确定 的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位
角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由 能判定 ，不能判定 ，故A不符合题意；
B、由 ，结合内错角相等，两直线平行判定 ，故B符合题意；
C、由 ，不能判定 ，故C不符合题意；
D、由 不能判定 ，故D不符合题意；
故选：B．
26．如图，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．进行判定即可作答．
【详解】解：A． ，满足内错角相等，能判断直线 ；
B． ，不能判断直线 ；
C． ，满足同位角相等，能判断直线 ；
D． ，满足同旁内角互补，能判断直线 ．
故选：B．
27．如图，点 在 的延长线上，下列条件能判断 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、由 可判断 ，本选项符合题意；
B、由 可判断 ，不能判断 ，本选项不符合题意；
C、由 可判断 ，不能判断 ，本选项不符合题意；
D、由 可判断 ，不能判断 ，本选项不符合题意．
故选：A
28．如图，不能作为判断 的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．利用平行线的判定定理，逐
一判断即可．
【详解】解：A、正确， ，
（同位角相等，两直线平行）；
B、正确， ，
（内错角相等，两直线平行）；
C、正确， ，
（同旁内角互补，两直线平行）；
D、错误，由 ，不能得到 ．
故选：D．29．如图，如果 ，那么 ，根据 ．（只需写出一种情况）
【答案】 2（答案不唯一） 1（答案不唯一） 内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定方法解答即可．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】解：如果 ，那么 ，根据内错角相等，两直线平行，
故答案为：2，1，内错角相等，两直线平行．（答案不唯一）
30．请完成平行线的判定定理1的证明：
已知：如图， 和 是直线a，b被直线c截出的内错角，且 ．求证： ．
证明： （已知），
________（________），
________ ________（等量代换），
（________）．
【答案】3；对顶角相等；2；3；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据对顶角相等，得到 ，等量代换得到 ，根据同位角
相等，两直线平行，即可得证．
【详解】解：证明： （已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：3；对顶角相等；2；3；同位角相等，两直线平行．
31．请完成平行线的判定定理2的证明：已知：如图， 和 是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且 与 互补．求证： ．
证明： 与 互补（已知），
________ （互补的定义），
________ （等式的性质）．
________ （________），
________ （等式的性质），
（等量代换），
（________）．
【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可．
【详解】证明： 与 互补（已知），
（互补的定义），
（等式的性质）．
（平角的定义），
（等式的性质），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
32．如图，已知：在 中， ， ，点E、F分别为边 、 上的点，且
．求证： ．
证明： ，（______），
．
又 ，
______ ______．
，
______．
（______）．
【答案】垂直的定义； ；B； ；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
由余角的性质推出 ，得到 ．判定 ．
【详解】证明： ，
（垂直的定义），
，
又 ，
，
，
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行．
题型5 平行线的性质与判定的综合
明确判定（由角的关系推平行）与性质（由平行推角的关系）的区别。综合题中常需交替使用，需理清
推理链条，注意每一步的依据。
33．下列说法中：
①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】此题考查了命题的真假，邻补角的定义，角平分线性质，平行线的性质，垂直定义等知识，
①根据邻补角的定义及角平分线性质判断；②考虑平行线条件下的同位角关系；③明确垂直定义中的前提
条件；④依据平行公理的条件限制．
【详解】解：①互为邻补角的两个角的和为 ，其角平分线将每个角分为一半，即各为原角的一半，
∴两角平分线形成的夹角为两半角之和，即 ，故互相垂直，①正确；
②两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同位角才相等，若两直线不平行，同位角不等，②错误；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，需在同一平面内成立，题目未限定平面，故表述不严谨，③
错误；
④平行公理要求“过直线外一点”才有且只有一条平行线．题目中“过一点”未排除点在直线上，此时无
平行线，④错误．
综上，真命题仅①，个数为1．
故选：A．
34．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，
在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的
光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若 ， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的
关键．先根据题意得出 ，故可得出 ，再由 得出 的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，∵ ， ，
，
∵ ， ，
，
．
故选：A．
35．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且 ， 若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
先利用平行线的性质可得 ，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：
36．如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（ ）
A．因为 ，所以 （内错角相等，两直线平行）B．因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补）
C．因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）
D．因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行）
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”以及平行线的性
质，即“两直线平行，同旁内角互补”，“两直线平行，内错角相等”，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，因为 ，所以 （内错角相等，两直线平行），故A错误；
B选项，因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），故B错误；
C选项，因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等），故C错误；
D选项，因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行），故D正确．
故选：D ．
37．下列命题是真命题的有（ ）
①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；
③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点， ， ， ，那么点P到
直线l的距离是 ；④ 与 的两边分别平行； 比 的3倍少 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了命题“真”“假”判定，根据垂线公理判断①；根据平行线的判定和性质判断②；根
据点到直线的距离的定义判断③；根据平行线的性质判断，当 与 的两边分别平行时，有两种可能
或 求出 即可判断④．
【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，故①是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，正确，故②是真命题；
③点 为直线 外一点，点 、 、 为直线 上的三点， ， ， ，那么点 到
直线 的距离不超过 ，原说法错误，故③是假命题；
④ 与 的两边分别平行， 比 的3倍少 ，则有 或 ，即
或 ，解得 或 ，所以 或 ，故④是假命题；
∴是真命题的只有②，共1个．
故选：A．
38．如图，在 中， 相交于点 ．当 时，则
的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质
和平行线的性质，求出 的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得 ，
，再由平行线的性质得 ，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得
的度数，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
39．如图， ，在 上取一点 ，过点 作 交 于点 ，试说明 与 的位置关系，
并说明理由．【答案】 ，理由见解析
【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．
【详解】解： ，理由如下：
， ，
（平行公理）．
40．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面 ，前支架 与后支架
分别与 交于点G和点D， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求扶手 与靠背 的夹角 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据题意得到 ，再由同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据 ，可得 ，从而得到 ，再结合角平分线的定义可得
，然后根据 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵扶手 与底座 都平行于地面 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
41．懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象
出的几何图形，其中 ，点 在同一直线上，点 在同一条直线上，且
．求证： ．
证明：如图（2），延长 交 于点P．
∵ （已知），
（两直线平行，内错角相等）．
又 ______（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（______）．
又∵______（已知），
（两直线平行，同旁内角互补）．
∴______（同角的补角相等）．
【答案】∠GHD；两直线平行，同旁内角互补； ；∠EFN=∠G
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性
质，补齐各步骤的结论和推理依据即可．
【详解】证明：如图（2），延长 交 于点 ，（已知），
（两直线平行，内错角相等），
又 （已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又 （已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（同角的补角相等）．
故答案为： ；两直线平行，同旁内角互补； ； ．
42．如图，在四边形 中，已知 ， ，求 的度数．能否求得 的度数？
【答案】 ，不能
【分析】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解： （已知），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
．
根据题目的已知条件，无法求出 的度数．
43．如图，点A，B，D在同一条直线上， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得 ，再利用 证明 ，即可求证．
【详解】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
．
44．如图，在 和 中， 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ．
(1) 和 全等吗？请说明你的理由；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判
定与性质是解题的关键．
（1）先由平行线得到 ，再由 证明即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】（1）解： 和 全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
45．如图，在四边形 中， ， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，当 时， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定（ ）与性质以及垂直平分线的性质，熟练
掌握这些知识（全等三角形的判定条件；垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等）是
解题的关键．
（1）要证明 ，根据 ，从而得到一组角相等，再结合 是 中点及对顶角相等，
利用“ ”（角边角）判定全等．
（2）先由（1）中的全等三角形得出相关线段相等，再根据垂直条件得出 是 的垂直平分线，进而得
到 ，最后结合已知线段长度计算 ．
【详解】（1）证明： ，
（两直线平行，内错角相等），
为 的中点，，
又 （对顶角相等），
；
（2）解：由（1）知 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
是 的垂直平分线，
．
46．请填空，完成下面的证明．
如图，已知 于点D， 于点F， ，证明：
证明： ， 已知 ，
______ ，
同位角相等，两直线平行 ，
______ ，
已知 ，
______ ，
______ ，______
【答案】垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线
平行，同位角相等
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此
题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线
平行，同旁内角互补，反之亦然．
根据同位角相等，两直线平行得出 ，根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据
平行线的判定得出 ，根据平行线的性质得出 即可．
【详解】证明： ， 已知 ，
垂直的定义 ，
同位角相等，两直线平行 ，
两直线平行，同旁内角互补 ，
（已知），
同角的补角相等 ，
内错角相等，两直线平行 ，
两直线平行，同位角相等
故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直
线平行，同位角相等．
47．如图，已知 分别为 上一点（ ），EF平分
．则下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．
其中正确的是 ．（填序号）【答案】①③⑤
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判断，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平
行线的性质和判定；
①先根据同旁内角互补，可得 ，再根据平行的传递性即可得到答案；
②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案；
③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案；
④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案；
⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案；
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即
故②错误；
③∵ ，
∴ ，
∵ ，∴
∴
∵ 平分 ，
∴
即
故③正确；
④如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
题目中未说明
即 不一定等于
故④错误；
⑤过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
，
即 ，
故⑤正确；48．如图，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， 于点E， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定和性
质是解题的关键．
（1）根据 证得 ，又 ，利用等量代换可得 ，然后根据
内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义得 ，再根据 ，证得
，进而求得 的度数即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 。
（2）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 。
49．如图，已知 ，试说明： ．完善下面的解答过程，并填写理由或数
学式：
解：∵ （已知）
∴ （ ）
∴ （ ）
∵ （已知）
∴ （ ）（ ）
∴ （ ）
∴ （ ）即
∵ （已知）
∴ （ ）
即
∴ （ ）．
【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ；等量代换；同位角相等，两直线平
行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，结合已知证明过程，逐步推
导论证即可．
【详解】解：∵ （已知）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ （已知）
∴ （等量代换）∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）即
∵ （已知）
∴ （等量代换）
即
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ；等量代换；同位角相等，两直线
平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
50．已知：如图，点 在 上，点 在 上， ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题重点考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质和判定（如同位角相等、内错角相等、
同旁内角互补）来推导直线平行或角相等是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行求证．
（2）根据平行线找到对应角相等，然后根据平行关系角证出对应相等．
【详解】（1）
因为 ， ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
51．如图， ， ， ， ，
(1)问直线 与 有怎样的位置关系？并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) 度数为
【分析】本题考查了平行线的判定和性质定理，关键在于熟练运用平行线的判定定理和性质定理．
（1）由题意推出∠ABF=180°-130°=50°，结合 ，推出 ，得到
，根据“内错角相等，两直线平行”即可推出 ；
（2）根据（1）推出的结论，推出 ，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到
∠ECD=110°，根据角的和差关系从而求得 的度数．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， ，
∴∠ABF=180°-130°=50°，
又∵∠CBF=20°，∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=70°，
∵∠DCB=70°，
∴∠DCB=∠ABC，
；
（2）解： ， ，
，
∴∠ECD=180°-∠CEF=180°-70°=110°，
∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=110°-70°=40°，
∴∠ACB度数为 ．
52．看图填空：已知如图， 于 ， 于 ， ，求证： 平分 ．
证明：∵ 于 ， 于 （已知），
∴ （___________________）．
∴ （等量代换）
∴ （__________________）
∴ （_________________），
_________（两直线平行，同位角相等）
又∵ （已知）
∴__________ = _________（__________________）
∴ 平分 （____________________）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ； ； ；等量代换；
角平分线的定义
【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
先根据 于 ， 于 ，得出 ，结合同位角相等，两直线平行得，则 ， ，又因为 ，得 ，所以 平分 ，即可作
答．
【详解】解：∵ 于 ， 于 （已知）
∴ （垂直的定义），
∴ （等量代换）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ 平分 （角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ； ； ；等量代
换；角平分线的定义
53．如图，四边形 中， 为 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．若
， ， ．
（1）试说明 ；
（2） 与 的位置关系如何？为什么？
（3） 与 相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过
程．
解：（1） ，（已知）
．（_____）
（2）AD与BC的位置关系是： ，理由如下：
，（已知）
_____．（__________________）
，（已知）_____．（_________________）
，（已知）
，
即 _____ _____，
_____．（等量代换）
．（_____________）
（3）_____________．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行（2） ；两直线平行，同位角相等； ；等量代换； ；
； ；内错角相等，两直线平行（3） ，见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质；
（1）根据平行线的判定进行解答即可；
（2）根据平行线的判定与性质进行解答即可；
（3）根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：（1） ，（已知）
．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2） 与 的位置关系是： ，理由如下：
，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（等量代换）
，（已知）
．
即 ，
，（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
故答案为： ；两直线平行，同位角相等； ；等量代换； ； ； ；内错角相等，两
直线平行；
（3）相等，理由如下：
，
．
，．
，
．
54．补全下面的证明过程及推理依据，
已知：如图点E在直线 上，点B在直线 上， ， ．
求证： ．
证明： （已知）， （ ）
（ ）
（ ）
（ ）
又 （已知）
（ ）
（ ）
【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，
两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
根据平行线的性质与判定即可解答．
【详解】证明： （已知）， （对顶角相等）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
又 （已知）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互
补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．55．已知，如图， ， ， ．求证： ．
请补全下面的证明：
证明： （已知）
∴ （_________）
_________（两直线平行，内错角相等）
（已知）
_________（等量代换）
∴ （_________）
（两直线平行，同位角相等）
，
，
．（_________）
【答案】同位角相等，两直线平行； ； ；同旁内角互补，两直线平行；垂直
定义
【分析】考查的知识点是平行线的判定与性质以及垂直的定义；解题的关键是熟练运用平行线的判定定理
和性质定理，结合垂直的定义进行推理证明．
【详解】证明： （已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
，
，
．（垂直定义）培优综合练
56．如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于 ，交 于
，下面说法：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作 于点 ，由角平分线的性质，结合三角形的面积公式，可判断 ，由角平分线的定
义，结合等角的余角相等，可得 ，由平行线的判定和性质，可得 ，等量代
换，可判断 ，由同角的余角相等，结合角平分线的定义，可判断 ，由等腰三角形的判定方法，可判
断 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
作 于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 正确，∵在 中， 是高，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 正确，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 正确，
根据已知条件不能推出 ，即不能推出 ，
∴④不正确，
∴正确的是 ．
故选：A ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，角平分线的性质，平行线的判定和性质，
等腰三角形的判定．
57．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出
土的文物为证． 年5月 日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．
【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题．
如图①，已知 ，
（1）若 ，则 __________°．
（2）若 ，则 __________．（用含 、 的代数式表示）
【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线 、 ，若 ，点 为 、 外一点
（不同于图①），连接 、 ．请补全图形，并探究 与 、 之间的数量关系．
【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是 ”．
（要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
【答案】（1） （2） 【拓展与探究】 或 或
或
【迁移与应用】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据题意，作 ，利用平行线的性质，求出 和 的度数，即可得到结果；
（2）根据题意，仿照（1）的解答，即可得到结果；
【拓展与探究】根据题意，画出图形，利用平行线的性质，得到 或
或 或 ；
【迁移与应用】利用上一题的结论，证得即可．
【详解】解：（1）如图①，过 点，作 ，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：20；
（2）如图①， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
【拓展与探究】如下图，过 点，作 ，
，，
，
，
，
；
如下图，过 点，作 ，
，
，
，
，
，
；
如图， ，
，
；
如下图，
，
；
如下图，延长 交 于 ，，
，
；
综上所述， 或 或 或
；
【迁移与应用】已知：如图④，四边形 ，
求证： ，
证明：分别过 、 两点，作 ，
由【拓展与探究】知： ， ，
即 ，
，
，
，
，
即 ．
58．如图， ，直线l与 ， 分别交于点E，F直角三角形 的顶点M，N分别在直线 ，
上， ．(1)∠AMP+∠PNC=______．
(2)如图2， ， 的角平分线 交直线 于点 ．
①若 ，求证： ；
②过点N作 交 于点Q，连接 ，补全图形．若 ，比较线段 ， 的长度，并说
明理由．
【答案】(1)
(2)①详见解析；② ，详见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，垂线段最短．
（1）利用平行线的性质求解；
（2）①证明 ，∠PNC=∠CFE可得结论．
②利用垂线段最短判断即可．
【详解】（1）解：如图1中， ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）①证明：如图2中， 平分 ，
∴∠OMN=∠OMB，
，
∴∠MON=∠OMB=∠OMN，
，
∴∠CFE=∠PNC，
，∴∠BMN=∠MNC，
， ，
，
，
；
②解：图形如图所示，
结论： ，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
．
59．如图 ，直线 与直线 、 分别交于点 、 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图 ， 与 的角平分线交于点 ，延长 交 于点 ，点 是 上一点，且，求证： ；
(3)如图 ，在（2）的条件下，连接 ， ，K是GH上一点，连接PK，作 平分 ，
若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义及垂直的定义，熟练掌握相关性质及判定定理
是解题关键．
（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线 与直线 平行；
（2）先根据两条直线平行的性质得出 ， ，再根据 与 的
角平分线交于点 ，可得 ，进而根据垂直的定义及平行线判定定理即可证明 ；
（3）根据直角三角形的性质求出 ，根据角的和差及邻补角定义求出 ，根据角平分
线定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）知， ，
∴ ， ，
∵ 与 的角平分线交于点P，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
60．如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜
筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直， ， 代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右
壁可视作分别相互平行的直线． 是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直， 是离
开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如： ，
．设 ， ．
(1)如图1，当 时，
①求证： ；
②若光线 与直管壁平行，则 的度数为______；
(2)如图2，当光线经过 处镜面反射后照射到直管右壁 处时，若在 处放置一块平面镜，使光线经平
面镜上的点 处反射到平面镜 上的点 处，并调整平面镜 的位置，使 ．则此时 与 满
足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）①根据平行线的性质得出 ，进而得出 ，则，即可求证 ；②根据光线 与直管壁平行， 是与入射镜筒壁平行，得出
，即可解答；
（2）根据题意推出 ，过点C作 ，则 ，推出
，易得 ，则 ，根据直角三角
形两锐角互补即可解答．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
②∵光线 与直管壁平行， 是与入射镜筒壁平行，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ 是与入射镜筒壁平行， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ．
61．已知 ， 平分 ， 平分 ， 的延长线交 于点F，过点F作 ，
交 的延长线于点G．
(1)如图1，求证： ；
(2)点M在线段 上，点N在线段 上，且 ，连接 ．若有 成立．
①如图2，当 时，求 的度数．
②当 时，请直接写出 ________ （用含有k的代数式表示）【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性
质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）过点E作 ，利用平行线的性质得出 ，再由角平分线的性质得出 ，
然后可得 ，进而即可得证；
（2）①当 时， ， ，设 ，用含 的代数式表示出
，再由平行线得出 ，进而即可得证；
②当 时， ， ，重复①的过程，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点E作 ，
．
∵ ，
∴ ， ，
，
平分 平分 ，
，
，
，即 ，
，
，
，
∴ ；
（2）解：① ，理由如下：
设 ，如图，当 时， ， ，
∵ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ．
②当 时， ， ，
设 ，则 ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∵
，
∴ ．
故答案为： ．
62．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤 ，
上安装了 两盏激光探照灯如图所示．光线 按顺时针方向以每秒 的速度从 旋转至 便
立即回转；光线 按顺时针方向以每秒 的速度从 旋转至 便立即回转．(1)若两灯同时旋转， 灯发出的光线 顺时针旋转到 ，然后回转到 时，两灯同时停止旋转．
① 当两灯旋转 秒时，判断光线 所在直线与光线 所在直线的位置关系，并说明理由；
② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时 灯的
旋转时间；若不能，请说明理由．
(2)如果 灯先旋转 秒， 灯才开始旋转．在 灯发出的光束第一次到达 之前，请直接写出 灯旋转
多少秒时，光线 所在直线与光线 所在直线平行．
【答案】(1)① ，理由见解析；②能， 秒或 秒
(2) 秒或 秒或 秒或 秒
【分析】（ ）①设 与 相交于点 ，过点 作 ，可得 ，利用平行线的性
质可得 ，即可求解；②设 灯的旋转时间为 秒，分 回转时
和 回到 时两种情况解答即可求解；
（ ）设 灯旋转 秒，光线 所在直线与光线 所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出
方程解答即可；
本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：① ，理由如下：
如图，设 与 相交于点 ，过点 作 ，∵ ，
∴ ，
两灯旋转 秒时， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②能．设 灯的旋转时间为 秒，
如图，当 回转时， ，设 与 相交于点 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得， ， ，
∵ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
当 回到 时，如图，
，
∴ ，此时 ；
综上，除①中情况之外，当 灯的旋转 秒或 秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直；
（2）解：设 灯旋转 秒，光线 所在直线与光线 所在直线平行，
如图，当 到达 前与 平行，设 与 相交于点 ，
由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ；
如图，当 到达 后回转时与 平行，设 与 相交于点 ，
则 ， ，
同理上可得， ，
即 ，
解得 ；
如图，当 回转到 后再次往 旋转与 平行，设 与 相交于点 ，
则 ， ，
同理可得， ，
即 ，
解得 ；
如图，当 再次到达 后回转与 平行，设 与 相交于点 ，则 ， ，
同理可得， ，
即 ，
解得 ；
综上， 灯旋转 秒或 秒或 秒或 秒时，光线 所在直线与光线 所在直线平行．
63．如图，将两个直角三角尺作如下摆放， ，直线 过点 ，
在直线 上， 平分 ．
(1)求 的度数．
(2)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(3)将 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，同时 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，记旋转
时间为 ，当 旋转一周时，整个运动停止．当 与 的任意一边平行时，求出所有满足条件的
的值．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3) 的值为10或20或25
【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是
解题关键．
（1）根据角平分线及邻补角计算即可；
（2）过点G作 ，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
（3）根据题意，分三种情况分析：当 时，当 时，当 时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点G作 ，如图所示：
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，当 时，延长 交 于点H，延长 交 于点O，交 于点G，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ， ；
∵将 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，同时 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，记旋转
时间为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得： ；
如图所示，当 时，延长 交 于点G，
∵将 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，同时 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，记旋转
时间为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
如图所示，当 时，延长 交 于点G，
∵将 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，同时 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，记旋转
时间为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上可得： 的值为10或20或25．
64．综合与实践：如图， ，点 为平面内任意一点，连接 ，某数学兴趣小组对 ，， 之间的数量关系进行了探究学习．
【探究一】当点 在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果： ．
证明：过点 作 ，
．
， ，
，
．
．
．
【探究二】当点 在如图2所示位置时，猜想 ， ， 之间的数量关系，并给出证明．
【探究三】当点 在如图3所示位置时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系，不要求给出证
明．
【探究四】若 ，请在图4中找到一个符合条件的点 ，并补全图形，不要求给出证明．
【思维拓展】当点 在如图5所示位置时，请直接写出 ， ， ， 之间的数量关系，不要求
给出证明．【答案】探究二： ，见解析；探究三： ；探究四：图形见解析；思维
拓展：
【分析】本题考查平行线的判定与性质；
探究二：过点 作 ，参考探究一的过程求解即可；
探究三：过点 作 ，参考探究一的过程求解即可；
探究四：根据探究三的结果反方向画图即可；
探究三：过点 、 分别作作 的平行线，根据探究的结果求解即可．
【详解】解：探究二： ，证明如下：
过点 作 ，
．
， ，
，
．
．
探究三: ，证明如下：
过点 作 ，
．
， ，
，
．
．
探究四: 若 ，如图点 符合条件，思维拓展: ，证明如下：
过点 作 ，点 作 ，如图，
． ，
∵ ，
，
．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
