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专题 4.5 《导数》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2020·全国高二课时练习）已知f(x)＝sinx－cosx，则 ＝（ ）
A．0 B．
C． D．1
【答案】C
【解析】
根据求导公式直接求导即可.
【详解】
∵ ＝cosx＋sinx，
∴ ＝cos ＋sin ＝ .
故选：C
2．（2021·全国高三其他模拟（文））函数 在 处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
求出 在 处导数值即可.
【详解】
， ， ，积切线斜率为0.
故选：C.
3．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））曲线 在 处的切线方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据导数的几何意义求出直线的斜率，再求出切点坐标，最后运用直线的点斜式方程就可以求出切线方程.
【详解】
依题意， ，则 ，而当 时， ，
故所求切线方程为 ，即 .
故选：D.
4．（2021·江苏高三其他模拟）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
判断函数的奇偶性，通过求导判断函数的单调性，利用排除法即可得解．
【详解】
因为 ，所以 是奇函数，
从而 的图像关于原点对称.故排除B和C.
因为 ，所以 是增函数，故排除D.
故选： ．
5．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、
航天等众多领域，并取得了显著经济效益，假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）
与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为初始时该放射性同位素的含量，已知
时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间
为（ ）．
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
【答案】B
【解析】
求导 ，根据 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，求得 ，得到 ，再由 求解.
【详解】
由 得 ，
因为 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，
即 ，解得 ，
则 ，当该放射性同位素含量为9贝克时，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 ，
故选：B．
6．（2020·全国高二课时练习）函数 在 上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
先求解出 ，然后根据 在 上恒成立求解出 的取值范围.
【详解】
∵ ，
又函数在 上是减函数，
∴ 在 上恒成立，∴ ，当 时， 显然成立，当 时， 且 ，
∴ .
当 时， ，满足题意．
故选：D.
7．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数 的所有零点之和为0，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
先根据分段函数的形式确定出 时 的零点为 ，再根据 时函数解析式的特点和导数
的符号确定出 图象的“局部对称性”以及单调性，结合 所有零点的和为0可得
，从而得到参数 的取值范围.
【详解】
当 时，易得 的零点为 ，
当 时， ，
∵当 时， ，∴ 的图象在 上关于直线 对称.
又 ，
当 时， ，故 单调递增，当 时， ，故 单调递减，且 ， .
因为 的所有零点之和为0，故 在 内有2个不同的零点，
且 ，解得 .
故实数a的取值范围为 ．
故选：A．
8．（2020·云南丽江市·高二期末（文））已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，函数
满足：当 时， ，且 ．则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由已知条件构造函数 ，则 ， 在R上为奇函
数，且单调递增，而由 ，可得 ，然后分 和 对 化简，
再利用 的单调性可解得不等式
【详解】
当 时， ，∴ ，令 ， 为 上的偶函数，则 ， 在R上
为奇函数，且单调递增，且 ，则
①当 时， ，即 ， ，即 ，∴
；
②当 时， ， ， ，
即 ，∴ ．
综上，不等式 的解集为 ．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知定义在 上的函数 满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
把题中条件 变形为 ，根据条件构造函数
，利用函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为 ， ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故选项A正确；
由 得 ，所以选项D正确；选项B，C无法推出.
故选： .
10．（2021·辽宁高三其他模拟）已知 和 是函数 的两个极值
点，且函数 有且仅有两个不同零点，则 值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】BD
【解析】
依题意解得 ，然后求得 的极值. 要使函数 有两个零点，则 的极大值为0或
的极小值为0，进而可得结果.
【详解】
，依题意 ， 是 的两个根，
所以 ，解得 .故 .
易求得函数 的极大值为 和极小值为 .
要使函数 有两个零点，则 极大值 或 极小值 .
所以 或 ．
故选：BD.
11．（2021·济南市·山东师范大学附中高二期中）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 在 单调递增，则实数
B．当 时， 是 的极值点
C．当 时， 的零点 满足
D．当 时， 恒成立
【答案】AC
【解析】
对于 ，依题意转化可得 在 上恒成立，令 ，求函数 的最小值即可；对
于 ，将 代入，判断函数的单调性，进而得出极值情况；对于 ，将 代入，利用零点存在性
定理判断即可；对于 ，将 代入，由 即可判断．【详解】
对于 ，若 在 单调递增，则 在 上恒成立，即 在 上恒
成立，
令 ，则 ，易知函数 在 单调递增，故 （1） ，
，即 ，选项 正确；
对于 ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 （1） ，
在 上单调递增，无极值点，选项 错误；
对于 ，当 时， ， ,
在 上单调递减，在 上单调递增，故 （0） ，
， 在 上递增，则 仅有一个零点 ，
又 ，
由零点存在性定理可知， ，选项 正确；
对于 ，当 时， ，当 时， ，选项 错误．
故选： ．
12．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）函数 ， ，下列说法正确的是（
）A．当 时， 在 处的切线方程为
B．当 时， 存在唯一极小值点 且
C．存在 ， 在 上有且只有一个零点
D．对任意 ， 在 上均存在零点
【答案】ABC
【解析】
直接法，逐一验证选项，选项 ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项 通过导数求出
函数极值并判断极值范围，选项 、 ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线 的交点
问题．
【详解】
解：直接法，逐一验证．
选项 ，当 时， ， ，所以 ，故切点为 ，
，所以切线斜率 ，
故直线方程为： ，即切线方程为： 选项 符合题意；
选项 ，当 时， ， ， ， 恒成
立，所以 单调递增，
又 ， 故 存在唯一极值点，不妨设 ，
则 ，即 ，且 ， ， ， ，
所以极小值 ，选项 符合题意；对于 ， ，令 ，即 ，当 ， 且
显然没有零点，故 ， 且 ，
所以 则令 ， ，令 ，解得 ， ，
，
所以 单调递增， ， 单调递减，有极大值
，
单调递减， ， 单调递增，有极小值
故选项 ，任意 均有零点，不符合，选项 ，存在 ，有且只有唯一零点，此时 ，
故选： ．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·浙江高二期末）曲线 上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．
【答案】
【解析】
求出导数，可得导函数的值域即为倾斜角的正切值取值范围，即可得出倾斜角范围.
【详解】
由 可得 ，设点P处切线的倾斜角为 ，则可得 ，
，则可得 .
故答案为： .
14．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））若函数 在上有两个零点，则实数 的取
值范围为___________.
【答案】
【解析】
采用分离参数法，可得 ，再令 ，对函数 求导，利用函数单调性，可
知 在 上单调递减，在 上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数 的图象，利
用数形结合，即可求出结果.
【详解】
令 ，
则 ，
令 ，
则由 知，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， .， ，
，
作出函数 的图像，如下图所示：
所以函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数 对 均有 ，若
恒成立，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
根据题意得 ，进而根据已知条件解方程得 ，进而将问题转化为
恒成立，再构造函数，求函数最值即可.【详解】
∵函数 对 均有 ①，
∴将 换为x，得 ②，
∴由①②，解得 .
∴ 恒成立， 恒成立，
∴只需 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴m的取值范围为 .
故答案为：
16．（2021·辽宁大连市·高三二模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的
“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如
果函数 ，数列 为牛顿数列，设 ，且 ， .则 ________；数列 的前 项和为 ，则 _______.
【答案】
【解析】
根据题意，求得 表达式，进而可得 ， 表达式，可求得 ，所以
，根据等比数列定义及通项、求和公式，即可得答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的极值．
【答案】（1）单调增区间为： 和 ，单调减区间为： ；（2）极大值40，极小值
8．
【解析】
（1）对 求导，令导函数大于0，得单增区间；令导函数小于0，得单减区间，
（2）由（1）中 的即可得单调区间.
【详解】
（1）∵ ，∴ ．令 ，则 或2，
2
0 0
单调递增 40 单调递减 8 单调递增
故 的单调增区间为： 和 ，单调减区间为： ．
（2）由（1）得：当 时， 有极大值40，当 时， 有极小值8．
18．（2021·江苏高二月考）设函数
（1）若 在点 处的切线为 ，求a，b的值；
（2）求 的单调区间.
【答案】（1） ， ；（2）当 时， 在 单调递减；当 时， 的递增区间为 ，单减区间为 .
【解析】
（1）根据导数的几何意义求出a，再把切点坐标代入切线方程求出b；
（2）求出导函数 ，对a分类讨论，利用导函数的正负与原函数的单调性的
关系即可求出单调区间.
【详解】
（1） 的定义域为 ， ，
因为 在点 处的切线为 ，
所以 ，所以 ；所以
把点 代入 得： .
即a，b的值为： ， .
（2）由（1）知： .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 单调递减；
②当 时，令 ，解得： ，
列表得：
x
- 0 +↗ ↘
所以， 时， 的递增区间为 ，单减区间为 .
综上所述：当 时， 在 单调递减；
当 时， 的递增区间为 ，单减区间为 .
19．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知函数 .
（1）当 时，判断 的单调性；
（2）若 有两个极值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）当 时，利用导数证明函数的导数恒大于0，即可得到答案；
（2）利用参变分离将问题转化为方程 有两个不相等的实根，讨论 和 ，即可得到
答案；
【详解】
（1）当 时， 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，
当 ，当 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
为 的极小值点，且 ，在 单调递增.
（2）问题转化为方程 有两个不相等的实根，
当 ，即 时， 不成立；
当 且 时， ，
令 ，则 与 的图象有两个交点，
，
或 ； ，
在 单调递减，在 单调递增，
又当 ， ，
且 在 的最小值为 ，
当 时，直线 与 的图象有两个交点，
实数 的取值范围 .
20．（2021·河南郑州市·高二期末（理））已知函数 ， ，其中 ．
（1）若曲线 在 处的切线斜率为 ，求 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）求导，根据 ，代入求得参数a；
（2）将不等式 转化为 ，设 ，从
而问题变成函数值大小比较即为 ．通过导数求得函数单调区间，进而转化为自变量大小比
较，因含参数，后面利用分离参数，对新函数，利用导数研究其最值情况即可得到参数取值范围.
【详解】
解：（1）依题可得 ，且 ，
．
．
（2）由题设知 ，即 ，
整理得 ，
设 ，则上式即为 ．
，令 得 ．
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
又当 时， ，
只需 ，即 ，设 ，则 ．
令 得 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
．
．
21．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若方程 有两个不同的解，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2） ；（3）证明见解析．
【解析】
（1）求出函数 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数 的增区间和减区间；
（2）利用（1）中的结论，数形结合可得出实数 的取值范围；
（3）构造函数 ， ，利用导数证得 ，由此可证得所证不等式成立.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ．
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）由（1）可知 ，
当 时， ，当 时， ，
由 可得 ，则直线 与函数 的图象有两个交点，
如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 ；
（3）证明：欲证 ，只需证 ．
令 ， ．
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ， ．
所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，则 在 上单调递减，所以 ，
故当 时， ．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝1+lnx+ ln2x﹣x.
（1）若g（x）＝f′（x），求g（x）的极大值.
（2）当x≥a（a∈R）时，f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值.
（3）当x∈（0，1）时，证明：xex+3sinx＞4x+x2.
【答案】（1） ；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】
（1）首先求出 ，然后求导判断单调区间即可求出极大值；
（2）借助第一问的结论可以求出 的范围，进而求得最小值；
（3）放缩后构造函数，求出其最值，即可得证.
【详解】
（1） ，，
因为当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，且 ，
故 的极大值为 ；
（2）由（1）知：当 时， 恒成立，即 恒成立，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， 恒成立，
所以 ，故实数a的最小值为1；
（3）由（2）知： 时， 恒成立，
令 ，所以 恒成立，
所以 ，故 ，
当 时，要证 ，只需证 ，
即证 ，令 ，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，所以 ，即 ，
因此 在 上单调递增， ，所以 ，
即 ，故 在 上单调递增， ，
所以 ，即原不等式成立.
