培优01解二元一次方程组类型题（7大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练_第2套

培优 01 解二元一次方程组类型题（7 大题型） 题型1 列二元一次方程组 从实际问题中抽象出数学模型，识别两个未知数（如设x和y），并找到两个独立的等量关系。每个关系 转化为一个线性方程，确保方程基于题目条件（如行程中的距离和速度、工程中的工作量、分配中的比 例）。关键是要仔细阅读，提取关键数据，并用变量表示未知数，避免遗漏约束条件 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章． 已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进 行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确 的是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 根据“一共有60名工人参与制作”可得 ，根据“每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1 个手办要搭配3个徽章进行套装售卖”可得 ． 【详解】解：设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章， 由题意得： ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数， 得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后 一个四位数大2178．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出在较大的两位 数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数为 ，在较大的两位数的左边写上较小的两位数， 得到另一个四位数为 ． 根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，② 比 大2178，根据等量关系列出方程 组． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：C． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）每年的5月19日是中国旅游日，今年这天山西各大景区精心筹备， 纷纷推出了免门票、半价等优惠活动．这一天太原市蒙山景区（ 级）每张首道门票（进入景区的第一张门票）的价格比原价优惠25元，平时购买3张蒙山景区首道门票的价格，在这天可以购买6张蒙山景区 首道门票．若设蒙山景区每张首道门票的原价为x元，5月19日这天的价格为每张y元，则x，y满足的方 程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设蒙山景区每张首道门票的原价为x元，5月19日这天的价格为 每张y元，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设蒙山景区每张首道门票的原价为x元，5月19日这天的价格为每张y元， 依题意， 满足的方程组是 ． 故选：D． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺 和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺 与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱， 根据上述信息，列出二元一次方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的 关键．根据4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售 卖，总价为40文钱，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：A． 5．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为 ，长为 ，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件， 找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为 ，长为 ， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于 3． ∴ ． 故选：B． 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所 示的算筹图表示的是关于 的方程组 ，则图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次 方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的 表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组： ， 故选C． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，将正方形 的一角折叠，折痕为 ，点 恰好落在点 处， 比 大 ．设 和 的度数分别为 和 ，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由几何图形抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角 都是直角．根据将正方形 的一角折叠，折痕为 ， 比 大 可列出方程组． 【详解】解：根据题意可得 ． 故答案为： ． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图 中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若 设图中 的面积为 ， 的面积为 ，则可列出方程： （填写一个）．【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积，据此即可列方程． 【详解】解：正方形的面积为 ， 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积， ∴ ， 故答案： ． 题型2 二元一次方程与方程的解 理解二元一次方程的解是使方程成立的有序数对(x,y)，通常有无数个解．验证解时，直接将值代入方程检 查等式是否成立。对于求整数解或特定解，可通过枚举或利用整除特性（如系数关系）来缩小范围，注 意解的一般形式． 9．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方 程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、 中包含3个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、 ，未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、 是分式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、 符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意；故选：D． 10．（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程 是二元一次方程，则a的值是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二 元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程 是二元一次方程， ∴ ， 解得： ， 故选C． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方 程验证二元一次方程的解． 题目要求从选项中找出满足二元一次方程 的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看 结果是否等于5即可． 【详解】解：A． ， ∴ 是方程的解，故此选项符合题意； B． ， ∴ 不是方程的解，故此选项不符合题意； C． ，∴ 不是方程的解，故此选项不符合题意； D． ， ∴ 不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A ． 12．（24-25七年级下·湖南·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的 方格内填入了一些 表示数的代数式，若图中各行各列以及对角线上的三个数之和都相等，则 （ ） 6 0 A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程．根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴ ． 故选：C 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）写出一个以 为解的二元一次方程： ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念，正确理解概念是解题的关键．根据二元一次方程的解的概 念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程，叫做二元一次方程；能使二元一次 方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，直接进行求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的解为 ， ∴只要写出解为这个的二元一次方程即可，如： ； 等等； 故答案为： （答案不唯一）． 14．（24-25七年级下·浙江金华·期末）一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒 子装5个，恰好装完．如果弹子数为99，盒子数大于9．那么，大盒子有 个、小盒子有 个． 【答案】 2或7 15或3 【分析】设大盒子有x个，小盒子有y个，根据题意，得 ，求整数解即可． 本题考查了不等式的解法，二元一次方程的整数解，熟练掌握解不等式，求整数解是解题的关键． 【详解】解：设大盒子有x个，小盒子有y个，根据题意，得 ， 故 ， 故 ， 解得 ， 由x是正整数， 故 ， 又 ， 此时 时，y不是正整数，舍去； 当 时， ，符合题意； 当 时，y不是正整数，舍去； 当 时，y不是正整数，舍去； 当 时，y不是正整数，舍去； 当 时，y不是正整数，舍去； 当 时， ，符合题意； 取得正整数解得两组数的和都大于9， 故大盒子2个或7个，小盒子15个或3个． 故答案为：2或7；15或3．15．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长 的钢管截成 长和 长两种规格的钢管．为了不造成浪 费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 【答案】 （或 或 ，写出一种即可 ） 【分析】设截成 长的钢管 根， 长的钢管 根，根据钢管总长为 列出方程，再结合 、 为正 整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并 求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成 长的钢管 根， 长的钢管 根． ∵ 钢管总长 ， ∴ ，即 ． 又∵ 、 为正整数， 当 时， ，总根数为 ； 当 时， ，总根数为 ； 当 时， ，总根数为 ． 故答案为： （或 或 ，写出一种即可 ）． 16．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）如图， 是线段 的一点， 是线段 的中点．已知图中 所有线段的长度之和是 厘米，线段 的长度与线段 的长度都是整数，则线段 的长度为多少厘米． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程，解题关键是正确理解题意并列出相应方程． 设 ， ，由题意得出二元一次方程后，根据线段 的长度与线段 的长度都是整数得 出 、 的值即可得解． 【详解】解： 是线段 的中点， ， 设 ， ， 则依题意得： ， 即 ， 得 ，线段 的长度与线段 的长度都是整数， 则 最大为 ，此时 为小数，不符合题意； 时， ，符合题意； 时， 为小数，不符合题意． ． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程 （k为常数）． (1)当 ， 时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论 取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是 解题的关键． （1）把 、 的值代入即可求出 的值； （2）先把方程整理为 ，再根据题意得出 ，即可求出 的值，继而求出 的值， 从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当 ， 时， ， 解得： ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 不论 取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ，二元一次方程 的固定的解是 ． 题型3 二元一次方程组的解 方程组的解是同时满足所有方程的公共解。求解方法包括代入法或加减法，解后需验证是否满足原方程 组。对于特殊情况（如无解或无穷多解），可通过比较系数比值（如a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时无解）来 判断，强调数形结合理解直线交点． 18．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）以 为解的方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当 时， 则 ， ， ， 故 是方程组 的解． 故选：D． 19．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列各组数中，是方程 的解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数 的值． 把各项中 与 的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.将 代入 得， ，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将 代入 得， ，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将 代入 得， ，该选项是方程的解，符合题意； D. 将 代入 得， ，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 20．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组 的解为 ，那么被“ ”遮住的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把 代入方程 中即可求出 的值，继而求出被“ ”遮住的数． 【详解】解：把 代入方程 中，得 ， 把 ， 代入方程 中，得 ， 故答案为： ． 21．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组 时，甲看错了方程①中的 ，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 试计算 的值． 【答案】9【分析】根据甲看错方程①的 ，但方程②的 不受影响，所以用甲的解代入方程②可求 ；乙看错方程 ②的 ，但方程①的 不受影响，用乙的解代入方程①可求 ，最后计算 ．本题主要考查二元一次方 程组的解的概念，熟练掌握方程组的解能使方程左右两边相等，利用错解求正确的未知参数是解题的关键． 【详解】解：把 代入方程②，得 ， 解得 ． 把 代入方程①，得 ，解得 ． 所以 ． 22．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于 的方程组 的解为 且 ，则 为（ ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解得出 ，再求出代数 式的值即可． 【详解】解：∵方程组 的解是 ， ∴ 的解为 ， 将两式相加，得 ， 即 ， 所以 故选：A．题型4 用代入法解一元二次方程组 从其中一个方程中解出一个未知数（如用y表示x），代入另一个方程，化为一元一次方程求解。此法适 用于当某个方程易解出一个变量时（如系数为1）。关键步骤是代入后简化计算，避免错误，最后回代求 另一个未知数并检验． 依有理数（分数形式）和无理数（无限不循环）定义分类；利用相反数、倒数、绝对值性质计 算，含参时验证存在性． 23．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）用代入法解方程组 时，将①代入②得 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法解方程组，根据代入消元法，把②中的 换成 即可． 【详解】解：①代入②得， ， 即 ． 故选：C． 24．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）把方程组 中的方程①或方程②改写成用含x的式子表 示y的形式，下列改写正确的是（ ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程①： ， ∴ ，故A错误，B正确； 方程②： ， ，故C，D错误．故选：B． 25．（13-14七年级下·天津·期末）用代入法解方程组 使得代入后化简比较容易的变形是 （ ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为 ，故对②进行变形比较容易． 本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法． 【详解】解：观察可知，②中的系数为 ，由②得 代入后化简比较容易，故D正确． 故选：D． 26．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）小明在解方程组 时，解得 则△和 代表的 数分别是（ ） A．1，5 B．5，1 C． ，3 D．3， 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的概念，熟练掌握方程组的解能使方程左右两边相等是解题的 关键．已知方程组的解 ，将其代入含 的方程可先求出 （即 ）的值，再把 、 的值代入 求 出 的值． 【详解】解：把 代入 ，得 ， 则 ， ， ， 解得 ，即 ， 把 ， 代入 ，得 ， 故选：B． 27．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）用代入法解方程组 时，将方程①代入②中，所 得的方程正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：将方程①代入②得： ， 整理得： ， 故选：D． 28．（24-25七年级下·云南德宏·期末）由二元一次方程 可以得到用 表示 的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入消元法中的用一个未知数表示另一个未知数，移项后再变号即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采 用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形为 ，即 ③．把方程①代入③， 得 ，解得 ．把 代入方程①，得 ，所以原方程组的解为 ． 请你解决以下问题： (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 ； (2)已知 满足方程组 ，求 的值．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握整体思想． （1）根据题干提供的信息，解二元一次方程组即可； （2）将 变形为 ，整体代入 求解即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形为 ， 即 ③ 将方程①代入③，得 ， 解得 ， 把 代入方程①，解得： ， 所以原方程组的解为 ； （2）将原方程组化为 由①，得 ③ 将③代入②，得 ， 解得： ． 30．（25-26八年级上·全国·课前预习）用代入消元法解下列方程组： (1)(2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法即可解答； （2）直接运用代入消元法即可解答． 【详解】（1）解： ， 将①代入②得： ， 解得： ， 将 代入①得： ； 所以该方程组的解为 ． （2）解： ， 将②代入①得： ， 解得： ， 将 代入②得： ； 所以该方程组的解为 ．题型5 用加减法解一元二次方程组 通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数。先使一个未知数的系数相同或相反（乘以适当常数）， 然后加减消元。此法适用于系数有公倍数或易调整时。消元后解一元方程，再求另一个未知数，最后验 证解的正确性． 39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中能消 元的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法逐项计算判 断即可． 【详解】解： ， A、 ，得 ，故此选项符合题意； B、 ，得 ，故此选项不符合题意； C、 ，得 ，故此选项不符合题意； D、 ，得 ，故此选项不符合题意； 故选：A． 40．（24-25七年级下·河北衡水·期末）数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组 ， 下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ） A．要消去 ，可以将 B．要消去 ，可以将 C．要消去 ，可以将D．要消去 ，可以将 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，需通过对方程进行适当变形，消去一个未知数． 【详解】解：选项A：消去 ，将 ， 得 ， 得 ．相减 后， 的系数为 ，无法消去 ，故A错误． 选项B：消去 ，将 ， 得 ， 得 ．相减后，x的系数 ，消去 ，得到 ，故B正确． 选项C：消去 ，将 ， 得 ， 得 ．相加后， 的系数 为 ，无法消去 ，故C错误． 选项D：消去 ，将 ， 得 ， 得 ． 相减后， 的系数为 ，无法消去 ，故D错误． 故选：B． 41．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于 ， 的二元一次方程组 （ 是常 数），若不论 取什么实数，代数式 （ 是常数）的值始终不变，则 的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中的两个方程变形后，消掉a即可得 ，再结 合不论 取什么实数，代数式 （ 是常数）的值始终不变，进行分析，可得出结论． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组 ， 可得 ，即 ， ∴ 则 ∵不论 取什么实数，代数式 （ 是常数）的值始终不变， ∴ ， ∴ ， 故k的值为 ， 故选：B． 42．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如果 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方及绝对值的非负性，加减消元法解二元一次方程组；根据平方与绝对值的非负性 得到二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 得， ∴ ， 故答案为： ． 43．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）解方程组 既可用 消去未知数 ，也可用 消去未知数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可，掌握加减消元法解二元一次 方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组 既可用 消去未知数 ，也可用 消去未知数 ，故答案为： ， ． 44．（24-25七年级下·吉林白山·期末）解二元一次方程组 时，小华用加减消元法消去未知数 ， 按照他的思路，用 解得 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减法解方程组是解本题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： ， 得： ， 解得： 故答案为：1 45．（25-26八年级上·全国·课前预习）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， 由 得： ，解得： ， 把 代入①得： ， ∴ ； （2）解： 由 得： ， 解得： ， 把 代入①得： ， ∴ ． 46．（24-25七年级下·云南德宏·期末）对于任意实数x，y，定义关于“ ”的一种运算如下： ，例如 ． (1)求 的值； (2)若 ，且 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组、实数的新定义的运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列式，计算即可得； （2）根据新运算的定义可得一个关于x，y的二元一次方程组，将两个方程相减即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ①， ②，，得 ， ． 47．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题． 解方程组： 解： ，得 ，即 ．③ ，得 ．把 代入③，解得 ． 故这个方程组的解是 (1)请利用上述方法解方程组 (2)猜想并写出关于x，y的方程组 的解 ，并加以检验． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】（1）模仿所给示例，先通过两个方程相减得到 的关系式，再用其中一个方程与该关系式进 行运算消元，进而求解； （2）由（1）可推导 、 满足的简单关系，猜想解后，将其代入方程组检验即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法，包括通过加减消元法推导方程间关系、求解方程组以及解的检验， 熟练掌握加减消元法的运用和对规律的归纳猜想是解题的关键． 【详解】（1）解： ，得 ，即 ．③ ，得 ，解得 ．把 代入③， 解得 ． 故这个方程组的解是 ；（2）解：由（1）同理可得 ． 猜想方程组的解为 ， 检验：将解代入方程组， 第一个方程：左边 右边， 第二个方程：左边 右边， 所以 是方程组的解． 题型6 二元一次方程组的特殊解法 针对特殊形式的方程组（如对称式、轮换式），采用换元法、整体代换或构造新变量简化。例如，对于 x+y和x-y的方程组，设u=x+y, v=x-y求解。灵活运用数学技巧，如因式分解或比例性质，提高解题效 率，减少计算量。 31．（2025·湖南长沙·三模）已知 ， 满足方程组 ，则 的值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出 的值． 将两式相加先求出 的值，再求 ． 【详解】解： ， 由 得 ， ， 故选：B． 32．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组 ，则 的值为（ ）A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出 ， ，然后利用因式分解转化为 求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 33．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ．那么关于未知数 和 的二元一次方程组 的解满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键． 将方程 整理得 ，根据题意可得 即可求解．【详解】解：将 两边同时除以2， 得 ， 整理得， ， ∵关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ， ∴关于未知数 和 的二元一次方程组 的解满足 ， 即 ， 故选：D． 34．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ， 则关于m，n二元一次方程组 的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设 ， ，将 原方程组变形为 ，对比 的解为 ，可得 ，进而即可求解．【详解】解：设 ， ， 则 变形为 ， 等式两边同乘 ，得： ， 关于x，y的二元一次方程组 的解为 ， ， ， ， 解得 ， 故答案为： ． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于 的方程组 的解为 ，则关于 的方程组 的解为 ．【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组 变形为 ，进而根据 二元一次方程组的解的定义可得 ， ，解方程即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解 题的关键． 【详解】解：方程组 可变形为 ， ∵关于 的方程组 的解为 ， ∴ ， ， 解得 ， ， ∴方程组 的解为 ， 故答案为： ． 36．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组 ． 将①整体代入②，得 ．解得 ． 把 代入①得 ，所以 ． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，(1)请直接写出方程组 的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得 ， 解得： ， 将 代入①得： ， 解得： ， ∴方程组的解为： 故答案为： ， （2）解： 由①得： ，将③代入 得： ， 解得： ， 将 代入③得： ， 解得 ， ∴方程组的解： . 37．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组 的解为：________； 方程组 的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组 的解． 【答案】（1） ； ；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元 法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1） ，得： ， 把 代入①得 ， 解得： ， ∴方程组的解为 ； ， 得： ， 把 代入①得 ， 解得： ， ∴方程组的解为 ； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于 ， 的方程组 的解为 ， ∴关于 ， 的方程组 的解满足： ， 解得： ； 38．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10 枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为 元、 元、 元．不难列出方程组： 消去 ．得③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是 整体的值，我们可以在上式中“分离”出 ，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组 ，将③整体代入④可得 ，即 ，所以 ．像这样将 当作一个整体进行代入求 值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问 题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当 时，代数式 ，试求当 时，代数式 的值． (2)已知关于 的方程组 ，试说明无论 取何值， 的值均不变． (3)已知 ，则 ___________． 【答案】(1)① ；② (2)详见解析 (3)27 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）①根据整体代入法即可求解； ②根据已知条件，将 代入代数式，可得 ，再将 代入代数式，可得 ，再根 据 即可求解； （2）根据加减消元法，即可求解；（3）通过对已知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出与 相关的式子，进而求解． 【详解】（1）解：①将 整体代入 ，可得 ，解得 ， 将 代入 ，可得 ， ∴方程组的解为 ； ②将 代入代数式，可得 ， ∴ ， 将 代入代数式，可得 ， ∵ ， ∴ ； （2）解： ， 可，得 ， ∴无论 取何值， 的值均不变． （3）解：设： ⑨， ⑩， 给 ，得 ， 给 ，得 ， ， ， ， ．题型7 含有字母参数的二元一次方程组 处理带参数的方程组时，先正常求解，用参数表示解。然后根据条件确定参数的值或范围。常见问题如 解为特定值、无解或无穷多解。通过比较系数或判别式来分析参数的影响。注意参数可能使系数为零的 情况。 48．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组 ，甲、乙两人都解 错了，甲看错了方程①中的m，解得 ，乙看错了方程②中的n，解得 ，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将 代入②得， ，求得 ；将 代入①得， ，求得 ，构造新方程组是 ，再解方程组 即可． 【详解】解：由题意知：将 代入②得， ， ， 将 代入①得， ， 方程组是 ， 得， ， ，将 代入 得， ， ， 原方程组的解是 ． 故答案为： 49．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知关于 的方程组 ，则下列结论中：①当 时，方程组的解是 ；②当 的值互为相反数时， ；③不存在实数 ，使得 ； ④若 ，则 ．其中正确的是（ ）． A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③ 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，幂的乘方，方程组的解即为能使方程组中 两方程都成立的未知数的值．本题属于基础题型，难度不大． 把 代入方程组求出解，即可判断①；由题意得 ，变形后代入方程组求出 的值，即可判断②； 若 ，代入方程组，变形得关于 的方程，即可判断③；解方程组得 ，从而得到 ， 根据题中等式得 ，进而可求出 的值，即可判断④． 【详解】解：①把 代入方程组得： 解得： ，故①正确； ②当 ， 的值互为相反数时，即： 代入方程组得： 解得： ，故②错误； ③若 ，则有 可得： ，则 ， ∴当 时， 故③错误； ④∵ 得 把 代入①得 ∴ ∵ ∴ ∴ 得 ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①④ 故选：A． 50．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于 、 的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论 取何值， ， 的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④在③的条件下， ， 的值都为自然数的解有 对，其中正确的有（ ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，解题关键是读懂题意，会反向思考． ①将 代入检验即可做出判断；②将x和y分别用a表示出来，然后求出 来判断；③将 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④由 得到x、y都为自然数的解有4对，进一 步可得答案． 【详解】解：若 是 的解， 则 ， 得： ，相互矛盾，故①错误，不符合题意； 解方程 ， 得： ， 解得： ， 将 代入①得： ， ∴ ，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确； 当 时，方程组为 ，解得： ， ∵ ，故③正确，符合题意； 由③得： ， ∴x、y都为自然数的解有 ， ， ， ．故④正确． 则正确的选项有②③④． 故选：D． 51．（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）关于x，y的方程组 （n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程 的所有非负整数解； (2)当 时，该方程组的解也满足 ，求m； (3)当 时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1) ， (2) (3) 或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定 的值是解题关键． （1）①根据 ， 为非负数即可求得方程 的所有非负整数解； （2）先解方程组 ，然后将 ， 的值代入方程 中即可获得答案； （3）将 代入原方程组，利用加减消元法得到 ，再根据方程组有整数解，且 为整数，分 情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵ ， 为非负整数，∴方程 的所有非负整数解为 ， ； （2）∵根据题意可得 ， 解得 ， 将 代入 中， 解得 ； （3）当 时，原方程组可化为 ， 由 ，可得 ， 整理可得 ， ∵方程组有整数解，且 为整数， ∴ 或 ， 当 时，解得 ，此时方程组的解为 ； 当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）； 当 时，解得 ，此时方程组的解为 ； 当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）． 综上所述，整数 的值为 或0．52．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）解二元一次方程组 时，小红发现 的系数“ ”印刷 不清楚． (1)小红把“*”当成3，则小红解二元一次方程组 的结果为_____； (2)数学老师对小红说：“你猜错了，该题的正确答案中x，y是一对相反数．”根据老师说的内容，请你 帮小红求出原题中 的系数“*”． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】（1）把“*”当成 后，得到新方程组，通过将两个方程相加消去 ，求出 的值，再代入其中一 个方程求出 的值 ． （2）根据 ， 是相反数，即 ，结合 组成新方程组，用加减消元法求出 、 ，再代入 含“ ”的方程求出“ ” ． 本题主要考查二元一次方程组的解法（加减消元法）及方程解的应用，熟练掌握加减消元法解方程组，以 及利用方程解的概念求未知参数是解题的关键． 【详解】（1）解：对于方程组 得： ，即 ， 解得 ， 把 代入①得： ， 解得 ， 故答案为： ； （2）解：由题意，得 ，得 ， ． 把 代入①，得 ，解得 ． 所以原方程组的解是 ， 所以 ， 所以 ． 53．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足 ，就称点 为“友好点”． 例如：点 ，令 ，得 ， ，所以 是“友好点”． (1)请判断点 是否为“友好点”，并说明理由． (2)以关于x，y的方程组 的解为坐标的点 是“友好点”，求t的值． 【答案】(1) 不是“友好点”，见解析 (2) 的值为10 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）根据“友好点”的定义分别判断即可； （2）直接利用“友好点”的定义得出 的值进而得出答案． 【详解】（1）解：点 ，令 ， 得 ， ， ∴ 不是“友好点”；（2）解：方程组 的解为 ， ∵点 是“友好点”， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ 的值为10． 培优综合练 54．（24-25七年级下·重庆·期末）对于关于x、y的方程 （ 为常数），若 c，则 称A为递增方程.定义递增方程A的重构变换如下：取 中任意两数之和，记为 ，且 ， 得到新的递增方程 ，并称 为A的1次重构方程；取 中任意两数之和，记为 ，且 ，得到新的递增方程 ，并称 为A的2次重构方程……若方程组 的解为 ，则记 为A的n次重构系数，则下列说法中正确的有 （ ）①方程 的1次重构系数 ； ②已知方程 为递增方程，若 ，则 ； ③已知m为整数，方程 为递增方程，若无论n取何值， 均为整数，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，新定义，二元一次方程组的应用，难度较大，正确掌握相关性质内容是解 题的关键．先理解n次重构方程以及方程组 的解为 ，则记 为A的n次重 构系数，再结合每个选项的条件进行详细分析，找到规律，总结，再整理化简式子，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 则 依题意，1次重构后方程为 ， 故 把 整理得 把 代入 解得 解得 ， 把 代入 ，得 ∴方程组的解为∴ ， 故①正确； ∵方程 为递增方程 ∴ ， 解得 则 1次重构后方程为 ， 则 则 得 整理得 ， 则 依题意，2次重构后方程为 ， 则 则 得 整理得 ， 则 依题意，3次重构后方程为 ， 则 则 得整理得 ， 依次类推得 n次重构后得 即 则 ∵ ∴ 则 且 ∴ 且 解得 ∵ 为正整数 则 故②是符合题意的； ③已知m为整数，方程 为递增方程， ∴ ∴ 解得 ∵m为整数， ∴ 则 ∵无论n取何值， 均为整数∴ 为整数 把 代入 ，得 不是整数，故舍去； 把 代入 ，得 不是整数，故舍去； 把 代入 ，得 是整数， 把 代入 ，得 是整数， 故无论n取何值， 均为整数，则 是错误的， 故选：B． 55．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）对于关于 的二元一次方程组 （其中 是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡 一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ① ② ③ ． (2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值； (3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值． 【答案】(1)②③/③② (2) 或(3) 或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （ ）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （ ）先求出原方程组的解，再代入 ，即可求解； 【详解】（1）解：① ， 解得 ， 此时 ， 不是“郡一”方程组； ② ， 解得 ， 此时 ， 是“郡一”方程组； ③ ， 解得 ， 此时 ， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③；（2） ， ① ，得 ③， ②-③，得 ， 解得 ， 把 代入①，得 ， 所以方程组的解是 ， 关于 的方程组 是“郡一”方程组， ， 即 ， 解得 或 ； （3）若对于任意的无理数 ，关于 ， 的方程组 都是“郡一”方程组， 则 ， 联立得： ， 解得 或 ， 把 代入 中， 得 ，， 为任意无理数， ， 解得： ， ； 把 代入 中， 得 ， ， 为任意无理数， ， 解得： ， ； 综上所述， 的值为 或 ． 56．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组 ， (1)当 时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式 ，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组 时，将 中的b看成了6，“ ”写成了“ ”，结果得到方程组的解为 ，而方程组正确的解为 ，请你根据这些条件 直接写出 的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当 时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合 ，求k的值即可． （3）根据 ，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当 时，方程组变形为 ， 整理，得 ， 得 ， 解得 ， 把 代入 得 ， 解得 ， 故方程组的解为 ． （2）解：方程为 ，整理，得 ， 得 ， 解得 ， 把 代入 得 ， 故方程组的解为 ． 由 得 ， 解得 ． （3）解：根据题意，得 ， 故方程组变形为 ， 整理，得 ， 根据题意，方程组 的解为 ，方程组 的解为 ， 故 ； 解得 ， 此时方程组变形为 ，解得 ， 故 ． 57．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）阅读以下内容：已知 满足 ①，且满足 ，求 的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于 的方程组 ，解得： （ 用含 的代数式表示），再代入① 中求 的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，②＋③得： ？④，他发现④中等号的左边 和① 中等号的左边 在整体上存在一个倍数关系，利用这个关系求 的值； 丙同学：先联立方程①和③，解方程组 ， ，再代入②中求 的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有 个； (2)你最欣赏 （填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路，根据你所选的思路解答此题． 【答案】(1) (2)最欣赏乙的思路. 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方 程的方法是解题的关键. （ ）根据以上三位同学的解题思路，解答即可； （ ）根据题意，选择乙同学的思路解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：甲同学：通过解方程组得到 ， 的表达式，再代入方程①，可建立关于 的方程，解 方程可得出 的值，正确； 乙同学：② ③，整理后，再结合 的整体关系，直接求出 的值，正确； 丙同学：联立①和③得方程组，解方程组得出 ， ，再代入方程 ,即可求出 的值，正确，∴三位同学的思路都正确，共 个. 故答案为： ； （2）最欣赏乙的思路. 故答案为：乙； ， ② ③,得 ,即 , 把 代入方程①，得 , 解得： ． 58．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我们把关于 、 的两个二元一次方程 与 叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组 ，叫做关于 、 共轭二元一次方程组． 例如： 与 互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 ，叫做关于 、 共轭 二元一次方程组； 与 互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 ，叫做关于 、 的共轭二元一次方程组． (1)若关于 、 的方程组 ，为共轭方程组，则 ______， ______； (2)若二元一次方程 中 、 的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______；(3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______． (4)发现：若方程组 是共轭方程组，且方程组的解是 ，请计算 的值． 【答案】(1) ；1 (2) (3) (4)2025 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用加减消元法计算． （1）根据题意，由定义可得 ，求出a，b的值即可； （2）根据题意，将 代入得到 ，从而可得二元一次方程为 ，再根据共轭二元一 次方程的定义即可求解； （3）根据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）根据题意，方程组是共轭方程组，从而 ，解方程组即可得到 ，进而可得 ，然后代 入计算即可解答． 【详解】（1）解：由定义可得 ， ， 故答案为： ；1． （2）解：将 代入 ， 得 ， 解得 ， 二元一次方程为 ， 这个方程的共轭二元一次方程是 ．故答案为： ． （3）解： ， 得， ， 得， ， 解得 ， 将 代入 得， ， 方程组得解为 ， 故答案为： ． （4）解：由定义可得 ， ， 方程组 是共轭方程组， 得， ， ， ， ， ， 方程组的解是 ， ， ． 59．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们 通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组 ，令 ， ．原方程组化为 ，解得 ，把 代入 ， ，得 ，解得 ． 原方程组的解为 ． (1)解方程组 ． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组 的解是 ，关于x、y的方程组 的 解是__________． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得 ，令 ， ，原方程组化为，解得 ，把 代入 ， ，得 ，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得 ，令 ， ，原方程组化为 ， 解得 ，把 代入 ， ，得 ，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得 ，令 ， ，原方程组化为 ，根据题意得 ，把 代入 ， ，得 ，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 移项整理得， ， 令 ， ， 原方程组化为 ， 解得 ， 把 代入 ， ， 得 ，解得 ，原方程组的解为 ； （2）解方程组 ， 移项整理得， ， 令 ， ，原方程组化为 ， 解得 ， 把 代入 ， ， 得 ，解得 ， 原方程组的解为 ； （3）将关于x、y的方程组 ， 移项为 ， 整理得 ， 令 ， ，原方程组化为 ， 根据题意得 ，把 代入 ， ， 得 ，解得 或 ， 原方程组的解为 或 ． 60．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知有理数a，b满足 ，且 ， 求k的 值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组 ，再根据方程 求出k的值． 乙同学：先解方程组 求出a，b的值，再根据方程 求出k的值． 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，用含k的式子表示 ，再根据方程 求出k 的值． 根据上述三种不同思路，完成下列任务： (1)正确的打“√”，错误的打“×”． 甲同学的思路 ；乙同学的思路 ；丙同学的思路 ． (2)试选择其中一个你认为正确的思路，求出a，b，k的值． 【答案】(1)√；√；√ (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． （1）根据二元一次方程组的性质和解法即可判断； （2）根据甲，乙，丙三位同学的思路求解即可得． 【详解】（1）解：甲同学的思路正确，乙同学的思路正确，丙同学的思路正确； 故答案为：√；√；√； （2）解：甲同学： ，① ② ，得 ， 解得： ， 将 代入②得： ， 解得： ， ， ，即 ， 解得： ， ， ； 乙同学： ， ① ②，得 ， 解得： ， 将 代入①得： ， ， ， 解得： ； 丙同学： ， ① ②，得 ，即 ， ， ， 解得 ； ∴原方程组为 ，① ② ，得 ，解得 ； 把 代入 中， 得 ， 解得 ． 61．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点 ，点 ，当 时，我们称点 与点 互为“等和点”． 例如：点 与点 互为“等和点”． (1)已知点 ，下列各点 ， ， ，其中与点 互为“等和点”的是______． (2)点 与点 互为“等和点”，连接 ，直线 交 轴于点 ． 若 ，求点 的坐标； 判断点 与点 是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴向下运动，点 从 点出发， 以每秒 个单位长度的速度沿 轴向左运动，连接 ， ，直线 ， 相交于点 若三角形 的 面积为 ，直接写出点 的坐标． 【答案】(1) (2) 点点 与点 互为“等和点”，理由见解析 (3)点 或点 【分析】（1）分别计算出各个点的横纵坐标的和，即可得到与点 互为“等和点”的点； （2） 根据“等和点”的定义可得 ，与所给的 联立求解，即可得到点 的坐标； 根 据题意可得点 在第二象限．连接 ，作 轴， 轴，根据 的面积的不同表示方法可得 的值，即可求得点 的坐标，那么可得点 与点 是否互为“等和点”； （3）根据题意得到点 在第一象限或第三象限，点 的横、纵坐标相等，画出相应的图形，作 轴 于点 ， 轴于点 ，设点 的坐标为 ，根据 的面积为 可得 的值，即可求得点 的 坐标，进而根据点 和点 关于点 对称，可得点 的坐标． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 与点 互为“等和点”的是 ， 故答案为： ； （2）解： 点 与点 互为“等和点”， ， ， ，解得： ， 点 ； 点 与点 互为“等和点”． ，． ， ． 在第二象限． 连接 ，作 轴， 轴， 则 ， ， ， ． 三角形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积， ． ， ． ． ， 点 与点 互为“等和点”； （3）解：如图， 和 的面积为 ，作 轴于点 ， 轴于点 ， 由题意得：点 的坐标为 ，， ， 解得： ， 点 的坐标为 ， ， ， 的中点 坐标为： ， 由题意得：点 和点 关于点 对称， 点 的横坐标为： ， 点 的纵坐标为： ， 综上：点 或点 。 【点睛】本题综合考查新定义的应用．理解并应用“等和点”的定义是解决本题的关键；难点是根据三角 形 的面积和 面积的不同表示方法解决相关问题． 62．（24-25七年级下·四川广元·期末）某校艺术舞台两侧（ ）有两台氛围射灯 和 ，它们发 出的光束分别从 、 方向开始，分别以 秒、 秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达 、 方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图 、图 的几何图形，若 、 满足 ，探究下列问题：(1)填空： ________， ________； (2)在图 中，若灯 先转动 秒，灯 才开始转动，在灯 发出的光束到达 之前，设灯 转动时间为 秒，求当 为何值时，两灯的光束互相平行？ (3)在图 中，连接 ，测得 ，若两灯同时转动，在灯 发出的光束到达 之前，两灯射出 的光束交于点 ，过 作ACP交GH 于点P，且ACP＝120，探究BAC与BCP有怎样的数量关系？ 【答案】(1)4，2； (2)15秒或55秒； (3)BAC 2BCP． 1 a b a b 【分析】 根据绝对值的非负性和平方的非负性，可得关于 、 的方程组，解方程组即可求出 、 的 值； 2 由 1 可知A灯每秒转 4 ，B灯每秒转 2 ，从而可知A灯从 AF 转到 AE 需要 45 秒，B灯从 BG 转到 BH 需要90秒，又因为B灯先旋转了15秒，还剩下75秒，所以A灯从AF 转到AE又从AE往回旋转了30 秒，所以要分A灯还未到达AE时和当A灯旋转到AE后又返回时两种情况讨论； 3 过点 C 作 CD  EF ，设两灯旋转的时间是 x 秒，则 EAC 1804x ， GBC 2x ，根据平行线的性 质可知ACB1802x，根据ACP120，可得：BCP2x60，又因为BAE60，可得 BAC 4x120，从而可得BAC 2BCP． ab6 2a82 0 【详解】（1）解： ， ab60  整理得：2a80 ， a4  解得：b2， 故答案为：4，2；1 （2）解：由 可知A灯每秒转 4 ，B灯每秒转 2 ， A灯从AF 转到AE需要180445秒， B灯从BG转到BH 需要180290秒， B灯先旋转了15秒，还剩下901575秒， t75， B灯从BG转到BH 时，A灯从AF 转到AE后又从AE回转了754530秒， 如下图所示，A灯还未到达AE时，  AM  BN ， GBN GMA， EF GH  ， GMAFAM ， GBN FAM ， t15 当A灯旋转 t 秒时，B灯旋转了 秒， GBN 2t15 FAM 4t 此时 ， ， 4t2t15 ， 解得：t 15； 如下图所示，当A灯旋转到AE后又返回时， GBN 2t15 EAM 4t45 此时 ， ， NBH 1802t152t150 ， GH EF   ， HBN BNE，  AM  BN ， BNEMAE，MAEHBN ， 2t1504t45 则有 ， 解得：t55； 综上所述，当t 15秒或55秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：设两灯旋转的时间是x秒， 则EAC 1804x，GBC 2x， C CD  EF 如下图所示，过点 作 ， GH EF   ， GH  EF  CD， GBC BCD，EAC ACD， ACBBCDACDEACGBC 1804x2x1802x，  ACP＝120， ACPACBBCP1802xBCP120， BCP2x60，  BAE60， BAC BAEEAC 601804x4x120， BAC 2BCP． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、绝对值的定义、平方的定义、二元一次方程组的解法，解决本题 的关键是根据平行线的性质探究角之间的关系． 63．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）【材料阅读】 x1 x0 x1    二元一次方程xy1有无数个解，如：y2，y1，y0，…如果我们将方程的解看成一组有序xy1 数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程 的解为坐标的点 落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该 方程的图象． (1)【问题探究】 2xy4  （1）请在图2中画出二元一次方程组xy1中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解 为________． x2y4①  (2)（2）已知关于 x ，y的二元一次方程组 kx3y3②无解，请在图3中画出符合题意的两条直线：设 方程①图象与x轴， y 轴的交点分别是A与B，方程②图象与x轴， y 轴的交点分别是C与D，计算 ABODCO的度数． （说明：三角形的内角和为180可以直接使用）． (3)【拓展应用】  2xy4  （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组mx2my3的两个二元一次方程的图象，请直接写出 该方程组的解________． x1  【答案】(1)y2 (2)90 x3  (3)y2 【分析】本题综合考查了二元一次方程组的图象解法、直线平行条件及几何角度计算，解题的关键是掌握 二元一次方程组的图象解法．（1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； x2y4①  （2）根据关于 x ，y的二元一次方程 kx3y3②无解得到两条直线平行，然后得到直线kx3y3经过 (0,1) 点 ，然后画出图象，根据平行线的性质求解即可； x3  （3）首先得到直线mx2m y3经过点(2,3)，然后得到直线AB即为直线2xy4，得到y2是 2xy4 方程 的一个解，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 2xy4 xy1 (1,2) 由图象可知，直线 与直线 交于点 ， x1  y2同时是方程2xy4和方程xy1的解， x1 2xy4   y2是方程组xy1的解， x1  故答案为：y2． x2y4①  （2） 方程组 kx3y3②无解，   2xy4 kx3y3 直线 与直线 没有交点，  2xy4 kx3y3 直线 与直线 平行， kx3y3 x0 y1 在方程 中，当 时， ，  kx3y3 (0,1) 直线 经过点 ，如图所示，直线AB和直线CD即为所求： AB∥CD  ABOCDO， 在Rt△DCO中，COD90  DCOCDO180COD1809090 ABODCO90 （3）如图所示 mx2m y3 x2 2m2m y3 y=3 在方程 中，当 时，则 ，即此时 ， x2  y3是方程mx2m y3的解，即直线mx2m y3经过点(2,3)；  mx2m y3 AB EF 直线 为直线 或直线 中的一条， x7  把y2代入方程2xy4中，左边272164，方程左右两边不相等， x7  y2不是方程2xy4的解，即直线2xy4不经过点(7,2)  AB 2xy4 直线 即为直线  mx2m y3 EF 直线 为直线 ， 2xy4 x3 23 y4 y2 在方程 中，当 时，则 ，解得 ，x3  y2是方程2xy4的一个解， mx2m y3 2xy4  直线 与直线 的交点横坐标为3，  mx2m y3 2xy4 (3,2) 直线 与直线 的交点坐标为 ， 2xy4 x3   二元一次方程组mx2my3的解为y2， x3  故答案为：y2． A2,2t Bb,2b3t 0t3 64．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点 ，点 ，且 ， b2．将线段AB平移得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当t0，且点C正好落在原点O时，判断线段AB平移的方向和距离； 1 3  (2)已知点 Cb5,a ， D 2 b 2 ,6 ，连接BC，BD． ①点P在直线AC上，连接PD，PB，请用代数式表示三角形PDB的面积； Mx,xm Nx2,xm2 BCEF MN ②以B，C为顶点向下画一个正方形 ．已知点 ， ，且线段 上的所 有点（含端点）都在正方形BCEF的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含t代 数式表示）． 【答案】(1)线段AB向右平移2个单位长度5 15 (2)①S  t 0t3 ；②当 时m最大，m的最大值为 PDB 2 2 x2 3t 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移； A2,0 O0,0 AB （1）根据题意可得 平移后对应点为 ，即可得到线段 平移的方向和距离； （2）①根据平移可得A平移到C与B平移到D的左右距离和上下距离相等，据此列方程，即可解得 b3  a3t，得到A2,2t ，B3,3t ，C2,3t ，D3,6 ，则AC∥BD∥y轴，BC∥x轴， 1 BC 325，BD63t3t，根据平行线间距离相等可得S PDB S CDB S CDB  2 BDBC，代 入计算即可； Mx,xm Nx2,xm2 ②由 向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到 ，结合图形可得 Nx2,xm2 BC m1tx 2 x3 当 在 上时m最大，得到 ，再根据 求解即可． A2,0 t0 【详解】（1）解：当 时， ， A2,0 AB CD ∵将线段 平移得到线段 ，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C正好落在原点O，即 平 O0,0 移后对应点为 ， ∴线段AB向右平移2个单位长度； A2,2t Bb,2b3t Cb5,a AB CD （2）解：①∵将线段 平移得到线段 ，点 ，点 的对应点分别为点 ， 1 3  D b ,6 2 2 ， ∴A平移到C与B平移到D的左右距离和上下距离相等；  1 3 b52 b b  2 2 ∴a2t 62b3t ， b3  解得a3t， A2,2t B3,3t C2,3t D3,6 ∴ ， ， ， ， AC∥BD∥y BC∥x BC 325 BD63t3t ∴ 轴， 轴， ， ， ∵0t3，b2， ∴各点位置，大致如图： 1 1 5 15 ∴S S S  BDBC  53t t ， PDB CDB CDB 2 2 2 2 5 15 ∴S  t 0t3 ； PDB 2 2 Mx,xm Nx2,xm2 ②∵ ， ， Mx,xm Nx2,xm2 ∴ 向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到 ， ∵线段MN上的所有点（含端点）都在正方形BCEF的边上或内部． ∴2 x3， Nx2,xm2 BC 由图可以发现，当 在 上时m最大（纵坐标大）， ∴3txm2， 解得m1tx， ∴当x2时，m1tx3t最大，m的最大值为3t． 65．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）【材料阅读】 5 x   2 二元一次方程 有无数组解，如： x1，  x0 ， x1， 3 ，如果我们将方程的解看成    y xy1 y2 y1 y0  2 xy1 一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程 的解为 坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直 线称为该方程的图象． 【问题探究】 1  A1,1、B3,4、C ,2 （1）已知 2 ，则点_______（填“A或B或C”）在方程2xy1的图象上． 2xy1 （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程 的图象．观察图象，两条直线的交  xy1  点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组2xy1的解是_______； 【拓展延伸】 1 （3）设方程 xmy2的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程 的图象与x，y轴的交点分 2 nx y3 别是C、D． ①求点A和点D的坐标 1  xmy2 2 ②已知关于x，y的二元一次方程组  nxy3 无解，当点B在y轴正半轴上，且 OAB30 时，在线 1 DCM  ACM 段 AB 上任取一点E，连接OE．点M为AEO的角平分线上一点，且满足 2 ．请作出符合 题意的图形，并直接写出CME和COE之间的数量关系．x2 【答案】（1）C；（2）图见解析； 2,3 ；  y3；（3）① A4,0，D0,3 ；②图见解析，当点M 在点CD上方时∠EOC 2∠CME10，当点M在点CD下方时EOC 2CME90 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解的定义，坐标与图形，平行线的性质与判定， 角平分线的定义，画函数图象，正确理解二元一次方程的解与坐标系中直线的关系是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，看方程的左右两边是否相等即可得到结论； （2）利用描点法画出函数图象，再根据函数图象找到交点坐标，进而得到方程组的解即可； 1 （3）①在 2 xmy2中，当 y0 时， x4 ，在 nx y3 中，当 x0 时，y=3，据此可得答案；② 1 根据题意可得直线 xmy2和直线 没有交点，即这两条直线互相平行；再分点M在点 上 2 nx y3 CD 方和点M在点CD下方，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可 ． x1  【详解】解；（1）把y1代入方程2xy1中，方程左边1211，方程左右两边不相等，则 x1  y1不是方程2xy1的解； x3 x3   把 y4 代入方程2xy1中，方程左边32410，方程左右两边不相等，则 y4 不是方程 2xy1的解；  1  1 x x  2 1  2 把 y2 代入方程 2xy1 中，方程左边 2 221，方程左右两边相等，则 y2 是方程 2xy12xy1的解； 2xy1 ∴只有点C在方程 的图象上； （2）如图所示函数图象即为所求； 2,3 由函数图象可知，两条直线的交点坐标为 ，  xy1 x2   ∴二元一次方程组2xy1的解是y3； 1 （3）①在 xmy2中，当 时， ， 2 y0 x4 nx y3 x0 y=3 在 中，当 时， ， A4,0，D0,3 ∴ ； 1  xmy2 2 ②∵关于x，y的二元一次方程组  nxy3 无解， 1 ∴直线 xmy2和直线 没有交点，即这两条直线互相平行； 2 nx y3 如图3-1所示，当点M在点CD上方时，过点O作OH∥AB，∵OH∥AB，CD∥AB， ∴OH∥AB∥CD，ACDOAB30 ∴∠EOH ∠AEO，∠COH ∠OCD， ∴∠EOC ∠EOH ∠COH ∠AEO∠OCD∠AEO30， 同理可得∠CME ∠AEM ∠DCM ， ∵点M为AEO的角平分线上一点， 1 ∴ ∠AEM  ∠AEO， 2 1 DCM  ACM 又∵ ， 2 1 ∴ ∠DCM  ∠ACD10， 3 1 ∴ ∠CME  ∠AEO10， 2 ∴2CME AEO20， ∴∠EOC 2∠CME10； 如图3-2所示，当点M在点CD下方时，过点M作MT∥AB， ∵MT∥AB，CD∥AB， ∴MT∥AB∥CD，1 ∴ ∠EMT ∠AEM  ∠AEO， ， 2 ∠CMT ∠DCM 1 DCM  ACM ∵ ， 2 ∴DCM ∠ACD30， 1 ∠CME∠EMT∠CMT  ∠AEO30 ∴ ， 2 ∴2CMEAEO60， 同上可得EOC AEO30， ∴EOC AEO302CME90； 综上所述，当点M在点CD上方时∠EOC 2∠CME10，当点M在点CD下方时EOC 2CME90．