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专题 4.5 平面向量的数量积及其应用【八大题型】
【新高考专用】
1、平面向量的数量积及其应用
平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式
呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有时会
与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示
的掌握，能灵活求解.
【知识点1 平面向量数量积的求解方法】
1．平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关
计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【知识点2 数量积的两大应用】
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若 ， 为非零向量，则 (夹角公式)， 等，
可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用 及 ，把向量的模的运算转化为数量积运
算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利
用余弦定理等方法求解.
【知识点3 向量数量积综合应用的方法和思想】
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应
的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来
进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以
向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【知识点4 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设 ，则 ， ，
①，
②，
①②两式相加得：.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
平行四边形模式： .
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的 ．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1) ；
(2) .
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若 与 的夹角为锐角，则 >0；若 >0，则 与 的夹角为锐角或0.
(2)若 与 的夹角为钝角，则 <0；若 <0，则 与 的夹角为钝角或π.
3．向量 在向量 上的投影向量为 .
【题型1 平面向量的数量积】
【例1】（2024·广东·一模）已知 和 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
⃗a ⃗b 150° |⃗a|=2,|⃗b|=√3 (⃗a+2⃗b)⋅⃗b=
A．−9 B．−3 C．3 D．9
【变式1-1】（2024·广东广州·模拟预测）设平面向量 ， ，若 与 不能作为平面向量的一
⃗a=(4,2) ⃗b=(m,1) ⃗a ⃗b
组基底，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．2 B．10 C．−6 D．0
【变式1-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工
业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成
的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为A´B的中点，则⃗PC⋅(⃗PA+⃗PB)的
值为（ ）1 √3
A．1 B．2−√3 C． D．
2 2
【变式1-3】（2024·山东威海·一模）在 中， ， ， 是 所在平面
△ABC ∠BAC=90∘ |⃗AB|⋅|⃗AC|=1 P △ABC
内一点，
⃗AB ⃗AC
，则 的最大值为（ ）
⃗AP= +3 ⃗PB⋅⃗PC
|⃗AB| |⃗AC|
A．5+2√3 B．10+2√3 C．5−2√3 D．10−2√3
【题型2 平面向量的夹角问题】
π
【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知向量 ⃗a,⃗b,⃗c 满足 |⃗a|=|⃗b|,⃗a 与⃗b 的夹角为 ,⃗a+⃗b+⃗c=0，则⃗a与⃗c
3
的夹角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【变式2-1】（2024·四川雅安·一模）已知单位向量 ， 满足 ，则 （ ）
⃗a ⃗b ⃗a⋅⃗b=0 cos⟨⃗a+⃗b,2⃗a+4⃗b⟩=
3√10 2√5 √5 √10
A． B． C． D．
10 5 5 10
【变式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量 ， ， ，则 与
⃗a=(1−x,−x−3) ⃗b=(1+x,2) ⃗a⋅⃗b=−4 ⃗a+2⃗b ⃗b
的夹角为（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
3 4 3 4
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）单位向量 满足 ，则 （ ）
⃗a,⃗b,⃗c ⃗a−2⃗b+2⃗c=0 cos⟨⃗a,⃗b−2⃗c⟩=
√6 √6 √6 √6
A． B． C． D．
8 4 2 6【题型3 平面向量的模长】
【例3】（2024·浙江温州·一模）已知平面向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
⃗a ⃗b |⃗a|=|⃗b|=1 ⟨⃗a,⃗b⟩=60∘ |⃗a+2⃗b|=
A．1 B．√3 C．2 D．√7
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）平面向量 ，若 ，则 （ ）
⃗a=(1,−2),⃗b=(2,m) ⃗a//⃗b |⃗a−⃗b|=
A．√3 B．2 C．√5 D．√6
【变式3-2】（2024·北京海淀·三模）已知⃗e为单位向量，向量⃗a满足⃗a⋅⃗e=2，|⃗a−λ⃗e|=1，则|⃗a|的最大值
为（ ）
A．1 B．2 C．√5 D．4
2π π
【变式3-3】（2024·湖南湘西·模拟预测）已知 ⃗a,⃗b,⃗c均为单位向量，且〈⃗a,⃗b〉= ,〈⃗a+⃗b,⃗c〉= ，
3 3
则 的最小值为（ ）
|⃗a+⃗b+t⃗c|(t∈R)
3 √3 9 3
A． B． C． D．
4 2 4 2
【题型4 平面向量的垂直问题】
【例4】（2024·辽宁·模拟预测）若⃗a，⃗b是夹角为60°的两个单位向量，λ⃗a+⃗b与2⃗a−⃗b垂直，则λ=（ ）
A．0 B．2 C．−1 D．−2
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ．若 ，则 （ ）
⃗a=(1,λ) ⃗b=(2,−1) (⃗a+2⃗b)⊥⃗b λ=
A．1 B．−1 C．12 D．−12
【变式4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，
⃗a=(1,2) ⃗b=(4,x) ⃗c=2⃗a+⃗b ⃗a⊥⃗c
则实数x的值为（ ）
A．7 B．−7 C．2 D．−2
【变式4-3】（2024·甘肃张掖·三模）已知向量 满足 ，且 ，若 ，则
⃗a,⃗b |⃗a|=|⃗b|=1 ⃗a⊥⃗b (λ⃗a+⃗b)⊥(⃗a+μ⃗b)
（ ）
A．λ+μ=0 B．λ+μ=−1
C．λμ=−1 D．λμ=0【题型5 平面向量的投影】
【例5】（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
⃗a,⃗b |⃗a−⃗b|=1 ⃗a ⃗b
（ ）
1 1
A． ⃗b B．⃗b C． ⃗a D．−⃗a
2 2
【变式5-1】（2024·吉林·模拟预测）已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为
⃗a=(1,0),⃗b=(1,2√3) ⃗a+⃗b ⃗a
（ ）
A． B．2 C． D．
(2,2√3) ⃗a 2⃗a
【变式5-2】（2024·湖北·模拟预测）已知向量 ，则向量 在向量 上的投
⃗a=(1,0),⃗b=(0,1),⃗a⋅⃗c=⃗b⋅⃗c=1 ⃗a ⃗c
影向量为（ ）
A．(1 1) B．(√2 √2) C．( 1 1) D．( √2 √2)
, , − , − ,
2 2 2 2 2 2 2 2
【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·二模）已知向量 ， 的夹角为45°，且 ， ，则 在 上的
⃗a ⃗b |⃗a|=4 ⃗a⋅(⃗a−⃗b)=0 ⃗b ⃗a
投影向量为（ ）
A．2⃗a B．⃗a C．√2⃗a D．2√2⃗a
【题型6 坐标法解决向量数量积问题】
【例6】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A ,A ,⋯,A 的边上，点M在边A A 上，
1 2 8 1 2
则 ⃗ ⃗的取值范围是（ ）
A M⋅A N
1 1
A．[−4−2√2,2√2] B．[−4,4+2√2]
C．[−2√2,4+2√2] D．[−2√2,4]【变式6-1】（2024·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三
π
角形中，已知AB=2，P为弧AC上的一点，且∠PBC= ，则⃗BP⋅⃗CP的值为（ ）
6
A．4−√2 B．4+√2
C．4−2√3 D．4+2√3
【变式6-2】（2024·湖南永州·三模）在 中， ， ， ， ，
△ABC ∠ACB=120∘ |⃗AC|=3 |⃗BC|=4 ⃗DC⋅⃗DB=0
则 的最小值为（ ）
|⃗AB+⃗AD|
A．6√3−2 B．2√19−4 C．3√3−1 D．√19−2
【变式6-3】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2⃗AE=3⃗EB，在平面
ABCD中，动点P满足⃗PE⋅⃗PB=0，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）
A．√41+4 B．√41−6 C．2√13+4 D．2√13−6
【题型7 向量在物理中的应用】
【例7】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F ,F ,F 作用于一点，且处于平衡状态.若
1 2 3
√6−√2
|F |=1N,|F |= N,F 与F 的夹角为45°，则F 与F 夹角的余弦值为（ ）
1 2 2 1 2 3 1
√6+√2 √6+√2 √6−√2 √6−√2
A．− B． C．− D．
4 4 4 4
【变式7-1】（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽600m，一艘船从河岸边的某处出发
到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h，水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时，
船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ）
A．0.17h B．0.15h C．0.13h D．0.10h
【变式7-2】（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力 ， ， 作用于一点且处于平衡状态，
⃗F ⃗F ⃗F
1 2 3， 与 的夹角为45°，则 的大小为（ ）
|⃗F |=1N，|⃗F |=√2N ⃗F ⃗F |⃗F |
1 2 1 2 3
A．√3N B．5N C．√5N D．√6N
【变式7-3】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段
位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W =⃗F⋅⃗S（其中W是功，⃗F是力，⃗S是位移）一物
体在力 和 的作用下，由点 移动到点 ，在这个过程中这两个力的合力对
⃗F =(2,4) ⃗F =(−5,3) A(1,0) B(2,4)
1 2
物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C．−5 D．−25
【题型8 向量数量积与解三角形综合】
【例8】（2024·湖北·一模）如图，在△ABC中，∠BAC=120∘,AB=2,AC=1,D是BC边上靠近B点的
三等分点，E是BC边上的动点，则⃗AE⋅⃗CD的取值范围为（ ）
A．[ √7 10] B．[ √7 7] C．[ 4 10] D．[ 4 7]
− , − , − , − ,
7 3 7 3 3 3 3 3
π π
【变式8-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）△ABC中，若AB=6,∠BAC= ,∠ACB= ，则
3 4
⃗BA⋅⃗BC+⃗CA⋅⃗CB=（ ）
A．54 B．27 C．9 D．3√6
3
【变式8-2】（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|=1，|⃗b|=√3，⃗a⋅⃗b=− ，
2
，则 的最大值等于（ ）
⟨⃗a−⃗c,⃗b−⃗c⟩=30° |⃗c|
A．2√7 B．√7 C．2√3 D．3√3
【变式8-3】（2024·江西·三模）已知钝角△ABC的面积为3,AB=4,AC=2，则⃗AB·⃗AC的值是（ ）
A．−6 B．−2√7 C．2√7或−2√7 D．−6或61．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
⃗a,⃗b,⃗c |⃗a|=|⃗b|=1,|⃗c|=√2 ⃗a+⃗b+⃗c=0⃗
cos〈⃗a−⃗c,⃗b−⃗c〉=（ ）
4 2 2 4
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
2．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C
两点，D为BC的中点，若|PO|=√2，则⃗PA⋅⃗PD的最大值为（ ）
1+√2 1+2√2
A． B．
2 2
C．1+√2 D．2+√2
3．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
⃗a，⃗b ⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1) |⃗a|2−|⃗b|2=
A．−2 B．−1 C．0 D．1
4．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
⃗a=(3,1),⃗b=(2,2) cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b⟩=
1 √17 √5 2√5
A． B． C． D．
17 17 5 5
5．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1) (⃗a+λ⃗b)⊥(⃗a+μ⃗b)
A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1
C．λμ=1 D．λμ=−1
6．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
⃗a ⃗b (⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0 ⃗a=−⃗b ⃗a=⃗b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
⃗a,⃗b |⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2 (⃗b−2⃗a)⊥⃗b |⃗b|=
1 √2 √3
A． B． C． D．1
2 2 2
8．（2024·全国·高考真题）设向量 ，则（ ）
⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)
A．“x=−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=1+√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件9．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
⃗a=(0,1),⃗b=(2,x) ⃗b⊥(⃗b−4⃗a) x=
A．−2 B．−1 C．1 D．2
10．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
⃗a ⃗b |⃗a−⃗b|=√3 |⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b| |⃗b|=
11．（2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， → → 若 ⃗ ⃗ ⃗ ，其中 为
ABCD λ,μ
DE=2EC, BE=λBA+μBC
实数，则λ+μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF⋅⃗DG的最小值为 ．
