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培优 02 一次函数的图象和性质（9 大题型）
题型1 正比例函数的确定
从解析式（y=kx形式）、表格（y/x值恒定）、图象（过原点的直线）三个维度进行判断，抓
住其本质特征．
1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若k为常数，下列一定是正比例函数的是（
）A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在函数 中，当 时，
是 的正比例函数．
3．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知函数 是正比例函数，则常数m
的值是 ．
4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ，则当
时， ．
5．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）已知 与 成正比，且 时， ，则
y与x的关系式是 ．
6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知y与 成正比例，当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当 时，求y的值．
题型2 一次函数相关概念
理解一般式y=kx+b（k≠0）的含义，能根据概念判断函数类型，并注意待定系数法中k≠0
的隐含条件．
7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（
）
A． B．
C． D．8．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，① ；② ；
③ ；④ ，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）若函数 是关于x的一次函数，则m的
值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（24-25八年级下·福建福州·期中）点 在一次函数 的图象上，则 的值为
（ ）
A．9 B．1 C． D．
11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点
在直线 上，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
12．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比
例函数的有 ．（请填写序）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
13．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的
点称为“加倍点”，那么直线 上的“加倍点”坐标是 ．
14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在一次函数 的图象上，则
的值是 ．
15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数 ．
(1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？
(2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？题型3 正比例函数的图象和性质
性质由k决定：①k>0：直线过一、三象限，yy随xx增大而增大；②k<0：直线过二、
四象限，y随x增大而减小．
16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在直线 上，且
，则（ ）
A． B． C． D．无法比较
17．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数 的图象，下列叙述错误的是
（ ）
A．点 在这个图象上 B．函数值 随自变量 的增大而减小
C．当 增加1时， 增加2 D．图象经过一、三象限
18．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数 ，且y的值随x的增大而减
小，如果 ，那么 和 在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果点 在正比例函数 的图象上，那么y
随着x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
20．（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数
和 的图象如图所示，则 的大小关系是 ．（用“ ”连接）
21．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知正比例函数 的图象与x轴所成的锐
角为 ，则k的值为 ．
22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若正比例函数 的图象经过点 ，
则m的值是 ．
23．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、
乙、丙、丁四个用电器的电流 和它们两端的电压 ，在如图的坐标系中依次画出相应
的图象．根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是 ．
24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)写出 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值；(3)若 的取值范围为 ，求 的最小值．
题型4 一次函数的图象和性质
“k定方向，b定截距”：①k决定增减性（同正比例函数）；②b决定与y轴交点
(0,b) ．图象必过 (0,b)和 (−b/k,0)点．k相同b不同的直线平行．
25．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数 与 ，满足
，且已知 没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数 的图象经过点 ，则一次函
数 的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）正比例函数 和一次函数 的大
致图象是（ ）A． B． C． D．
28．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在点 中，一次函数
的图象不可能经过的点是（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数 的图象经过一、二、四象
限，则直线 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系
所对应的图象为（ ）A． B．
C． D．
31．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）关于一次函数 ，下列结论错误
的是（ ）
A．函数图象经过第二、三、四象限 B．函数图象过点
C．当 时， D．函数图象是一条直线
32．（25-26八年级上·全国·期末）若规定 ，则对于函数 的说法正确
的是（ ）
A． 的值随着 值的增大而增大 B．点 在函数 的图象上
C．函数 的图象不经过第一象限 D．函数 的图象是一条线段33．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）对于试题“直线 与直线 的交点
在第三象限，求k的取值范围”，甲答： ；乙答： ．则下列说法正确的是
（ ）
A．甲的答案正确且完整
B．乙的答案正确且完整
C．甲乙答案合在一起才正确
D．甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值
34．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果 ， 是一次函数 图
象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有 ，且 ，则函数图像经过第
象限．
题型5 一次函数的图象的交点问题
求两直线交点：联立解析式解方程组，解即为交点坐标。判断直线与坐标轴交点：令x=0
求y轴交点，令y=0求x轴交点．理解交点即对应方程的解．
35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数 的图像和 轴的交点坐标为
（ ）
A． B． C． D．36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知直线 与直线 的交点的
横坐标为 ，根据图象，下列结论中错误的是（ ）
A． B．方程 的解是
C． D．不等式 的解集是
37．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，一次函数 的图象与x轴相交于点
A，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
38．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）函数 的图象与 轴的交点坐标是
，将该函数图象向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ．
39．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数 ．
_____
x 0
__
_____
y 0
__(1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象直接写出当 时，x的取值范围．
40．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别
相交于点A和点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点C在y轴上且位于点B上方， 的面积为6，求点C的坐标．
41．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，
并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________；
(2)观察图象，当 时， 的取值范围是______________；(3)将直线 沿 轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式．
题型6 一次函数与几何的综合问题
核心是“坐标化”：①用点坐标表示线段长（水平线段=|横坐标差|，垂直线段=|纵坐标
差|）；②用距离公式求长度；③用中点公式求中点坐标。常结合面积（割补法）和特殊三
角形（勾股定理逆定理）考查．
42．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交
于点B，以点A为圆心， 为半径画弧．交x轴正半轴于点C．则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于
， 两点，射线 于点 ，若点 是射线 上一动点，点 是 轴上的一动点，若以
， ， 为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为
44．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线 与x轴、y轴交于
A，B两点，在y轴上有一点 ，动点M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
当移动到 与 全等时，移动的时间t是（ ）A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
45．（2025·江苏扬州·三模）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ， 是
上的一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，则点 坐标为
（ ）
A． B． C． D．
46．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：直线 与 轴、 轴分别相交于
点 和点 ，点 在线段 上．将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处．
(1)求出 、 两点的坐标；
(2)求出 的长；
(3)点 是坐标轴上一点，若 是直角三角形，求点 坐标．47．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标分别是
，作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ．
(1)请按要求作点 ，并直接写出点 的坐标；
(2)顺次连接 三点，得到 ，求出 的面积；
(3)在 轴上找一点 ，使得 的值最小，请在图中标出点 ，并求出点 的坐标．
题型7 一次函数的平移问题
牢记“左加右减（只对x），上加下减（只对y）” ．例如，直线y=kx+b向上平移m个
单位得y=kx+b+m。所有平移可转化为先左右后上下。平移后kk不变，仅b变．
48．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一次函数 的图象向上平移5个单位长度，
所得直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
49．（24-25八年级下·陕西安康·期末）将直线 向下平移 个单位长度，所得
的图象恰好过点 ，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．450．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数 的图象向右平移
2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则 的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
51．（25-26八年级上·全国·课前预习）函数 与 的图象在同一直角坐标系中，
位置关系是（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定
52．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图
像向左平移 个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
53．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知直线 ： 平移之后的直线为 ：
，则下面平移方式正确的是（ ）
A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位
C．向右平移 单位 D．向左平移 单位
54．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知，直线 与直线 平行，那
么 ．
55．（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点 是函数 的图象
上的一点，将函数 的图象向左平移4个单位长度，平移后，点 的对应点为点 ，若
点 ， 关于 轴对称，则点 的坐标为 ．
题型8 一次函数的规律探究问题
观察点坐标 (n,y n )与序号n的关系：①先求前几个点的坐标；②分析横、纵坐标与n的数
量关系（如n,2n+1）；③用归纳法写出第nn个点的坐标，并验证。常与图象上的点、面
积等结合．56．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y
轴相交于点A，B．以点A为圆心、 长为半径画弧交x轴于点 ，再过点 作x轴的垂线交
直线于点 ，以点A为圆心， 长为半径画弧交x轴于点 ．按此做法进行下去，则点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
57．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）正方形 …按如图所示
的方式放置，点 和点 分别在直线 和x轴上，已知点
，则 的坐标是 ．
58．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a： ，直线b：
和点 ，过点P作y轴的平行线交直线a于点 ，过点 作x轴的平行线交直线b于点 ，
过点 作y轴的平行线交直线a于点 ，过点 作x轴的平行线交直线b于点 ……按此作法
进行下去，则点 的横坐标为 ．59．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线 ，分别过 轴上的点
，作垂直于 轴的直线交 于点 ，将 ，四边形
、四边形 的面积依次记为 ，则 ．
60．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，过点 作
x轴的平行线交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，再过点
作x轴的平行线交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，…，
依此类推，得到直线 上的点 、 ， ，…，与直线 上的点 ， ， ，…，
则 的长为 ．61．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，点 的坐标为 ，过点 作x轴的垂
线交直线 于点 ，以原点O为圆心， 的长为半径画弧交x轴正半轴于点 ；再过
点 作x轴的垂线交直线l于点 ，以原点O为圆心，以 的长为半径画弧交x轴正半轴于
点 ；…，按此作法进行下去，则 的横坐标是 ．
62．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线 的解析式
为 ，在直线 上取 ，过点 作 轴，垂足为 ，将 沿射线 方向平移，
每次平移 个单位长度，第一次平移得 ，第二次得 ，则第 次平移后，点
的坐标为 ．63．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线 的函数表达式为 ，在直线
上顺次取点 ，构成形如“ ”的一个个的图形
构成的阴影部分面积分别表示为 ，则 ．
64．（22-23九年级下·山东泰安·阶段练习）如图， ， ， ， 是等边
三角形，直线 经过它们的顶点 ， ， ， ， ，点 ， ， ， 在 轴上，
则点 的横坐标是 ．
题型9 待定系数法求一次函数解析式
核心四步法：①设：设出含待定系数k,b的一般式y=kx+b；②代：将图象上已知的两
点坐标 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )分别代入所设解析式；③解：解关于k,b的二元一次方程组；④
写：将求出的k,b值代回所设解析式；关键：若题中已隐含b=0b=0（如正比例函数），则直接设y=kx更简捷．
65．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象
过点 和 ．
(1)求一次函数的关系式；
(2)直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，求 的面积．
66．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数 恒过定点 ．
(1)若一次函数 还经过点 ，求 的表达式．
(2)现有另一个一次函数 ，若点 和点 分别在一次函数 和 的图象上，
求证： ．
67．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为 ，点 的坐标为
．
(1)求过A， 两点直线的函数表达式；
(2)过点 作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积．
68．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知 ，且 与 成正比例； 与
成正比例，当 时， ，当 时， ．(1)求出 与 之间的函数关系式；
(2)计算 时， 的值．
69．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数 的图像经过点 ．
(1)求这个函数的表达式，并判断点 是否在此函数图像上；
(2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
(3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____．
70．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线 经过点 ，
，并与 轴交于点 ，与直线 相交于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)求不等式 的解集；
(3)直线 与 轴交于点 ，在直线 上是否存在点 ，使得 ，若存在，
直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由．
71．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，且经过定点 ，直线 与 交于点 ．(1)填空： ______， ______， ______；
(2)求 的面积；
(3)若动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，设点 的运
动时间为 秒，是否存在 的值，使 和 的面积比为 ？若存在，直接写出 的值；
若不存在，请说明理由．
十、培优
72．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为 ，点 ，
轴交直线l于点 ；点 为y轴上位于 上方的一点，且 ， 轴
交直线l于点 ；点 为y轴上位于 上方的一点，且 ， 轴交直线l
于点 ，按此规律，线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
73．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系 中， ，
点 在直线 上．有以下结论：①当点 的坐标为 时， 取得最小值；
②当点 的坐标为 时， 取得最大值；
③当点 的坐标为 时， 取得最大值；
④当点 的坐标为 时， 取得最小值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
74．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义新运算： ，则下列关于函
数 的说法错误的是( )
A．图象位于第一、三、四象限 B．图象经过点
C．y随x的增大而减小 D．当 时，函数值满足
75．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将函数 的图象位于x轴下方的
部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数 的图象，与直线 的图象交点
的横坐标x均满足 ，则b的取值范围为 ．76．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点 且与 平
行的直线，交x轴于点B，现在有点 在线段 上运动，点 在x轴上，N为
线段 的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ．
77．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数且 ）经过
两点，其中 ，下列五个结论：① ；②方程 的解在 和2之
间；③ ；④ ；⑤不等式 的解集为 时， ，其中正确的结
论有 （只需填写序号）．
78．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，
每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．平移1次后，可能到达的点的坐标是
，这些点在函数 的图象上；平移2次后，可能到达的点的坐标是 、
、 ，这些点在函数 的图象上；平移3次后，可能到达的点的坐标是
，这些点在函数 的图象上．79．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知点 到直线 的距离公式为
，例如：点 到直线 的距离为 ，请根据该公式解决
以下问题：①若点 和点 到直线 的距离相等，则k的值为 ；
② 在直线 上，则 的最小值是 ．
80．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务．
探索函数图象与性质之间的关系：图象与性质是函数研究的主要内容，从函
数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基
本思路和方法．例如，在研究正比例函数 的图象与性质时，可以用函数
的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下：
任务：
(1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；
③_____________；④_____________．
(2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数 的图象．请你帮他写出该函数图象的两
条几何特征，及相应函数的数量特征．
图象的几何特 函数的数量特
图象
征 征81．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线 交y轴于点A，交x轴于点
B，点 在第三象限，点M在线段 上，点M的横坐标为m，过点M作 轴交折线
于N．
(1)求点A，B的坐标：
(2)设点M，N的纵坐标分别为 ， ，当 时， 为定值，求t的值；
(3)在（2）的条件下，分别过点M，N作 垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当
时，求长方形 周长的最大值．
82．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图1，在矩形 中， ．动
点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线 方向运动，到点A处停止，过
点P作 交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段 的长度为 ，请回答下列
问题：(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围；
1
(2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并根据图象写出函数 的一条性质；
(3)若 与x的函数图象与直线 有两个交点，则n的取值范围是 ．
83．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线 与直线
相交于点 ，点 是线 上的动点，且横坐标为 ．
(1)若 时，求点 的坐标．
(2)当点 与点 重合时，求直线 的解析式．
(3)当点 与点 不重合时，过点 作 轴和直线 的垂线，分别交直线 于点 、 ，过点
作 轴交直线 于点 ，连结 ．
________．
以 和 为边作 ，若 时，直接写出 的值．
84．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，
直线 交x轴于点A，交y轴于点C，B点在x轴上且A、B关于y轴对称， 的
面积为48， ．(1)如图1，求直线 的解析式．
(2)如图2，点D在线段 上（不与点A、C重合），连接 ，设点D的横坐标为t，
的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D做 轴，垂足为E，点K为 的中点，连接 ，
延长 交x轴于N，F为 上一点，连接 ，若 ， ，求点D的坐
标．
85．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 的图
像分别与 轴、 轴交于 、 两点，直线 的图像分别与 轴、 轴交于 、 两点，
且 点坐标为 ； 和 是第一象限中的两个点，连接 ．
(1)求直线 的函数解析式；(2)求 、 与 轴所围成的三角形的面积；
(3)直线 分别与直线 、 交于点 和点 ，当 时，求 的值；
(4)将线段 向左平移 个单位，若与直线 、 同时有公共点，直接写出 的取值范围．
