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重难点 4-2 奔驰定理及三角形“四心”向量式
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔
驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有
着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【题型1 三角形“重心”及应用】
满分技巧
常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若 或 ， ，则P一定经过三角形的重心
λ∈[0,+∞)
（4）若 或 ， ，
则P一定经过三角形的重心
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点
满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A【解析】由题意 ，
当 时，由于 表示 边上的中线所在直线的向量，
∴动点 的轨迹一定通过 的重心，如图，故选A．
【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面
内一动点，若 ， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ．又 ，
，即 ．
又 ， 点在射线 上．
故 的轨迹过 的重心．故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，
则点 是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【答案】B
【解析】过点 分别作 ， ， 的垂线 ， ， ，其垂足依次为 ，如图所示，
由于 ，
根据奔驰定理就有： ，
即 ，
因此 ，故点 是 的内心，B选项正确.故选：B【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知 是三角形 所在平面内一定
点，动点 满足 ，则 点轨迹一定通过三角形 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【解析】记 为 的中点，连接 ，作 ，如图，
则 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以点 在三角形的中线 上，则动点P的轨迹一定经过 的重心.故选：D.
【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若 是 的垂心， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，取 的中点 ，连接 ，则 ，如图，
由 ，得 ，于是 ，
，
由 是 的垂心，得 ，则因此 ，即 ，
显然 ， ，
令直线 交 于 ， 交 于 ，
在 中， ，即 ，
则 ，
所以 的值为 .故选：B
【题型2 三角形“内心”及应用】
满分技巧
常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）|⃗AB|⃗PC+|⃗BC|⃗PA+|⃗CA|⃗PB=0⃗（或a⃗PA+b⃗PB+c⃗PC=0⃗）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
( ⃗AB ⃗AC )
（2） ⃗AP=λ + ，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
|⃗AB| |⃗AC|
【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在 中， ，点D，E分别在线段 ， 上，且D
为 中点， ，若 ，则直线 经过 的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为 ，且D为 中点， ，则 ，
又因为 ，则可得四边形 为菱形，
即 为菱形 的对角线，
所以 平分 ，即直线 经过 的内心故选:A
【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为
，若 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B【解析】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线．
，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上．
同理可得 在其它两角的平分线上， 是 的内心．故选：B．
【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，
动点P满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，
由 ，可得 ，即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过 的内心，故选：C.
【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在 中， ， ， ，且 ，若
为 的内心，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 为以 为斜边的直角三角形，
设 的内切圆与边 相切于点 ，内切圆的半径为 ，
由直角三角形的内切圆的性质可得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
所以 .
【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知 ， 是其内心，内角 所对的边分别
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】延长 ，分别交 于 .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形 和三角形 中，由正弦定理得：
，
由于 ，
所以 ， ，
同理可得 ， ，
.
所以 ，
则 .故选：C【题型3 三角形“外心”及应用】
满分技巧
常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
（1）
（2）(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OA+⃗OC)∙⃗AC=0
⃗OB+⃗OC ( ⃗AB ⃗AC )
（3）动点P满足 ⃗OP= +λ + ，λ∈(0,+∞)，
2 |⃗AB|cosB |⃗AC|cosC
则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.
（4）若(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OC+⃗OA)∙⃗CA=0，则O是∆ABC的外心.
【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在 中，动点P满足
，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 的中点为 ，则 ，则 ，
所以 ，所以点P在线段AB的中垂线上，
故点P的轨迹过 的外心，故选：A
【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在 中，设 ，那么动
点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】设线段 的中点为 ，则 、 互为相反向量，
所以， ，
因为 ，即 ，
所以， ，即 ，
即 ，即 ，
所以， 垂直且平分线段 ，
因此动点 的轨迹是 的垂直平分线，必通过 的外心，故选：D.【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足
， ，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【解析】根据题意， ，即 ，
所以 ，则向量 在向量 上的投影为 的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心，故选：B．
【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末） 中， 为 边上的高且 ，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】设 ， ，
以 为原点， 、 方向为 、 轴正方向如图建立空间直角坐标系，
， ， ，
则 ， ， ， ，则 ，
设 ，则 ，
， ，即 ，
即点 的轨迹方程为 ，
而直线 平分线段 ，即点 的轨迹为线段 的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点 的轨迹一定过 的外心，故选：A.
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点 是 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足
，则点 一定是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】设 中点为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，又由 为 中点可得点 在 的垂直平分线上，
所以点 是 的外心，故选：B
【题型4 三角形“垂心”及应用】
满分技巧
常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
（1）⃗OA∙⃗OB=⃗OB∙⃗OC=⃗OC∙⃗OA
2 2 2 2 2 2
（2）|⃗OA| +|⃗BC| =|⃗OB| +|⃗CA| =|⃗OC| +|⃗AB|
P λ∈(0,+∞) P ∆ABC
（3）动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定过 的垂心
（4）奔驰定理推论：S :S :S =tanA:tanB:tanC，tanA∙⃗OA+tanB∙⃗OB+tanC∙⃗OC=0⃗.
∆BOC ∆COA ∆AOB
【例4】（2023·全国·高三专题练习）设 为 的外心，若 ，则点 是 的（
）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【答案】C
【解析】取BC的中点D，如图所示，连接OD，AM，BM，CM．
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
又由于 为 的外心，所以 ，
因此有 ．同理可得 ， ，
所以点 是 的垂心．故选：C．
【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习） 是 所在平面上一点，若
，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，所以， ，
同理可得 ， ，故 是 的垂心.故选：D.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若 为 所在平面内一点，且
则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【解析】 ，得 ，即 ；
，
得 ，即 ；
，
，即 ，所以 为 的垂心.故选：D.
【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体 中，已知 ，若
不是等边三角形，且点 在平面 上的投影 位于 内，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【解析】如图，由题意可知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以点 是 的垂心.故选：D.
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是 的垂心，且 ，则
．
【答案】
【解析】∵H是 的垂心，∴ ， ，
∴ ，同理可得， ，
故 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可求得 ，
∴ ， ，
∴ ，即 .【题型5 奔驰定理及应用】
满分技巧
奔驰定理及其推论
O
1、奔驰定理： 是 内的一点，且 ，则
2、奔驰定理推论： ，则
** 错误的表达式 **
** 错误的表达式 ** ， ， .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向
量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
【例5】（2022·全国·高三专题练习）点 为 内一点，若 ，设
，则实数 和 的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】如图所示，延长 交 于 ，
显然 ，
由面积关系可得 ，所以 ，
而 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又由题可知 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，故选：A
【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将
， ， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和
奔驰车的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 ，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由 得 ，
由 得 ，
根据平面向量基本定理可得 ， ，所以 ， ，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 为 的平分线，
同理可得 是 的平分线，所以 为 的内心，故选：B
【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，
是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则【答案】ABC
【解析】A选项，因为 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，所以 ，
故 三点共线，且 ，
同理，取 中点 ， 中点 ，可得 三点共线， 三点共线，
所以M为 的重心，A正确；
B选项，若M为 的内心，可设内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，即 ，B正确；
C选项，若M为 的垂心， ，则 ，
如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，相交于点 ，
又 ， ，即 ，
，即 ， ，即 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
同理可得 ，即 ，故 ，
，则 ，故 ，
，则 ，
故 ， ，
故 ，
同理可得 ，
故 ，C正确；
D选项，若 ， ，M为 的外心，则 ，
设 的外接圆半径为 ，故 ，
，
故 ， ， ，
所以 ，D错误.
故选：ABC
【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定
理：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得， ，
因为 ， ， 不共线，所以 ，故A正确；
对于B，若 是 的重心， ，
因为 ，所以 ，即 共线，故B错误．
对于C，当 为 的外心时， ，
所以 ，
即 ，故C错误．
对于D，当 为 的内心时， （ 为内切圆半
径），
所以 ，所以 ，故D正确.故选：AD.
【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标
志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘
的关联.它的具体内容是：已知 是 内一点， 的面积分别为 ，且
.以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取 的中点D，连接 ，
由 ，则 ，所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以 为 的重心，故A正确；
对于B，由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C，由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ，
则有 ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；
对于D，如图，延长 交 于点D，延长 交 于点F，延长 交 于点E，
由 为 的垂心， ，
则 ，
又 ，则 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确.故选：ABD．（建议用时：60分钟）
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知 是平面内一点， ， ， 是平面内不共线
的三点，若 ， 一定是 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【解析】由题意知， 中， ，
则 ，即 ，所以 ，即 ，
同理， ， ；所以 是 的垂心.故选：C
2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点 在 所在平面内，满 ，
，则点 依次是 的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【答案】A
【解析】设 中点为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
因为 有公共点 ，
所以， 三点共线，即 在 的中线 ，
同理可得 在 的三条中线上，即为 的重心；
因为 ，
所以，点 为 的外接圆圆心，即为 的外心
综上，点 依次是 的重心，外心.故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）在△ 中， ， ， ，O为△ 的内心，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
则 ，
因为O为△ 的内心，所以 ，
从而 ，解得 ， ，所以 .故选：C.
4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知 中，点 为 所在平面内一点，则“
”是“点 为 重心”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C
【解析】依题意 ，
则 是 重心，即充分性成立；
若 是 重心时， ，
可得
所以 ，必要性成立，故选：C.
5．（2024·全国·高三专题练习）已知 为 所在平面内一点， 是 的中点，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D． 边的中点
【答案】C
【解析】由动点 满足 ，且 ，所以 三点共线，
又因为 为 的中点，所以 为 的边 的中线，
所以点 的轨迹一定过 的重心.故选：C.
6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知 中，点 为边 中点，点 为 所在平面内
一点，则“ ”为“点 为 重心”（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】充分性：
等价于： ，等价于： ，等价于：
所以 为 的靠近 的三等分点，所以点 为 重心；
必要性：若点 为 重心，由重心性质知 ，故 故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满
足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】B
【解析】设 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，两端同时点乘 ，
所以
，
所以 ，
所以点 在 的垂直平分线上，即 经过 的外心.故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）若 在 所在的平面内，且满足以下条件
，则 是 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【解析】 ， 分别表示在边 和 上的单位向量，可设为 和 ，
则 ，则当 时，即 ，点 在 的角平分线上；
， 分别表示在边 和 上的单位向量，可设为 和 ，
则 ，则当 时，即 ，
点 在 的角平分线上；
， 分别表示在边 和 上的单位向量，可设为 和 ，
则 ，则当 时，即 ，
点 在 的角平分线上，故 是 的内心.故选：C.
9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中， ， ，H为 的垂心，
，O为 的外心，且 ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】设 的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
如图，延长BH交AC于D，延长AH交BC于E，所以 ，所以 ，即 ．
又O为 的外心，所以 ，即 ，
又在 中， ，
故 ，
所以 ，与 ，
相减得 ，
所以由正弦定理得 ，
即 ，解得 ．故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【解析】在 中，令线段 的中点为 ，由正弦定理 ，
得 ，由 ，
得
即 ，而 ，
则 ，于是得 与 同向共线，而它们有公共起点，
即动点 的轨迹是射线 除点A外),又重心在线段 上，
动点 的轨迹一定经过 的重心．故选：A.
11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次
指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距
离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 是三角形 的重心，所以 ，
，A错误.
根据欧拉线的知识可知 ，B选项正确.
，所以C选项正确.
，所以D选项正确.故选：A
12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》
中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距
离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式
一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
， ， ，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.故选：D.
13．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是 的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图， 是 边中点，则 共线且 ，
，
所以 ，D正确，
由于选项ABC均不能保证 系数相等，故不正确．故选：
D．14．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的
面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是
的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长 交 于点P，
是 的垂心， ，
．
同理可得 ， ．
又 ， ．
又 ， ．
不妨设 ，其中 ．
， ，解得 ．
当 时，此时 ，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故 ，则 ，故C为锐角，
∴ ，解得 ，故选：B．
15．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在 所在的平面内，则以下
说法正确的有（ ）
A．若 ，则点O是 的重心
B．若 ，则点O是 的内心
C．若 ，则点O是 的外心
D．若 ，则点O是 的垂心
【答案】BCD【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得 ，
则 ，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且 ，
平分 ， ，
，即 ，
，
三点共线，即 在 的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为 的内心，故A错误；
对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得 ，如图，
则 ，且 ，
因为 ，即 ，又 知， 平分 ，
同理，可得 平分 ，故O为 的内心，故B正确；
对C，取 的中点分别为 ，如图，
， ，
即 ，所以O是 的外心，故C正确；对D，由 ，可得 ，
即 ，
所以 ，即点O是 的垂心，故D正确.故选：BCD
16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知 为 所在的平面内一
点，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为 的垂心， ，则
B．若 为锐角 的外心， 且 ，则
C．若 ，则点 的轨迹经过 的重心
D．若 ，则点 的轨迹经过 的内心
【答案】ABC
【解析】对于A选项，因为 ， ，又因为 为 的垂心，
所以 ，所以 ，故正确；
对于B选项，因为 且 ，
所以 ，整理得： ，即 ，
设 为 中点，则 ，所以 三点共线，
又因为 ，所以 垂直平分 ，故 ，正确；
对于C选项，由正弦定理 得 ，
所以 ，
设 中点为 ，则 ，所以 ，
所以 三点共线，即点 在边 的中线上，故点 的轨迹经过 的重心，正确；对于D选项，因为
，
设 中点为 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 在 中垂线上，故点 的轨迹经过 的外心，错误.故选：ABC
17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在 所在的平面上存在一点 ，
，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的重心
D．若 ， ，则点 的轨迹一定过 的外心
【答案】ABD
【解析】若 ，根据向量共线的推论知： 共线，即 在直线 上，
中 ，则 的中点为三角形外心，故 有可能为外心，A错；
中 或 ，则 或 为三角形垂心，故 有可能为垂心，B错；
若 为 的重心，必有 ，此时 ，C对；
若 ， ，结合 ，
则 点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），
为锐角三角形，其外心在 内，则 必过外心；
为直角三角形，其外心为斜边中点，则 必过外心；
为钝角三角形且 ，其外心在 外，即边 的另一侧，
如下图示， 点在平行四边形 内（含边界），此时，当外心在 内（含边界），则 必过外心；
当外心在 外（如下图 为 的中垂线），则 不过外心；
所以， ， ， 的轨迹不一定过 的外心，D错.故选：ABD
18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在 所在平面内有三点 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．满足 ，则点 是 的外心
B．满足 ，则点 是 的重心
C．满足 ，则点 是 的垂心
D．满足 ，且 ，则 为等边三角形
【答案】ABCD
【解析】对于 ，因为 ，所以点 到 的三个顶点的距离相等，
所以 为 的外心，故 正确；
对于B，如图所示， 为 的中点，由 得： ，
所以 ，所以 是 的重心，故B正确；
对于C，由 得： ，即 ，所以 ；
同理可得： ，所以点 是 的垂心，故C正确；
对于D，由 得：角 的平分线垂直于 ，所以 ；
由 得： ，所以 ，
所以 为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．
19．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若 是 的垂心，且 ，则 的值为．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以 ，故垂心 在中线上，即高线与中线重合，故 ，
又 ，所以 ，
又因为 ， ，得 ，
所以 ，即 ，
得到 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ,得到 ．
20．（2023·全国·高三专题练习）在 中，给出如下命题:
① 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定过
的重心．
② 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一
定过 的内心．
③ 是 所在平面内一定点，且 ，则 ．
④若 ，且 ，则 是等边三角形．
其中正确的命题有 个．
【答案】3
【解析】对于①，令点 为BC的中点，由于 ， ，
根据极化恒等式就有 ， ，于是 ， ，
因此动点 的轨迹是射线AD，过 的重心，故①正确．对于②，取一点 使得 ，并连接AD，如图所示，
由于 ，因此 ，
于是 ，从而 的内心在射线AD上．
由于 ， ，
于是就有 ， ，
即 ， ，因此动点 的轨迹是射线AD，过 的内心，故②正确．
对于③，由 ，可得设 的中点为 ， ,
所以 ，故③错误．
对于④，根据 ，结合②，可得 的平分线与BC垂直，
于是就有 ．由于 ，
又 ，得到 ，因此 是等边三角形，故④正确．
综上所述，正确的命题有3个．
