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第一次月考难点特训（三）和绝对值的化简有关的压轴题
1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
_________0，ac_________0，abc_________0， ____________0 ．
（2）求代数式 的值．
【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）利用有理数的加法和乘法判断式子的符号，即可得到；
（2）先去绝对值，然后合并即可．
【详解】
由数轴可知： ，
（1） ， ， ，
故答案为＜，＜，＞，＞；
（2） ；
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘除法，有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用
数轴，它们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左
边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
也考查了绝对值．
2．已知 ，数在数轴上的位置如图所示：（1）化简： ；
（2）若 ，化简： ．
【答案】（1）-3；（2）
【解析】
【分析】
（1）先判断a、b、c的符号，进而判断相关积的符号，脱去绝对值计算即可；
（2）根据条件判断出每一个绝对值内的式子的符号，在根据绝对值的性质脱去绝对值计算即可求
解．
【详解】
解： 由图中数轴可得 ，
原式 ；
又
原式
．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，整式的加减等知识，根据数轴提供的信息判断出绝对值内的符号是解
题关键．
3．有理数 、 在数轴上的对应点位置如图所示（1）用“<”连接 、 、 、
（2）化简：
（3）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）在数轴上表示出-a、-b，根据数轴上的数右边的总比左边的大，观察数轴，即可
得结论；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可；
（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可.
试题解析：
（1） ；
（2）根据图示，可得a<-1<00，
∴ =-a+2(a+b-1)- (b-a-1)=-a+2a+2b-2- = ；
（3）∵ ，
∴c<0.
∵ ，
∴ ，
∴c+1>0，c-1<0，a-b+c<0，
∴原式=1-1-（-1）=1.
点睛：本题考查了用数轴比较数的大小：数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的
数为负数，原点右边的数为正数．本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题时
要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的
相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
4．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请
仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a，b，c满足 ，求
的值．解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即 ， ， 时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设 ， ， ，
则： ；
综上所述： 的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知 ， ，且 ，求 的值；
（2）已知a，b是有理数，当 时，求 的值；
（3）已知a，b，c是有理数， ， ．求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2） 或0；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值运算求出a、b的值，再根据 可得两组a、b的值，然后代入求值即可得；
（2）分① ， 、② ， 、③ ， 、④ ， 四种情况，再分别化简
绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得；
（3）先根据已知等式可得 ， ， ，且a，b，c有两个正数一个负数，再
化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得．
【详解】
（1）因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 或 ，
则 或 ，
即 的值为 或 ；
（2）由题意，可分以下四种情况：①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 ；
综上， 的值为 或0；
（3）因为a，b，c是有理数， ， ，
所以 ， ， ，且a，b，c有两个正数一个负数，
设 ， ， ，
则 ．
【点睛】
本题考查了绝对值运算、有理数除法与加减法的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．
5．解答下列问题
（1）若有理数 、 满足 ，且 ，求 的值．
（2）已知有理数 、 、 的在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【答案】（1）6或8．
（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解．
（2）根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决．【详解】
（1）∵ ， ，
∴ 或 ， 或 ，
①当 ， 时， （舍去），
②当 时， ，
③当 时， ，
．
④当 时， ，
．
则②3④满足，则 或8．
（2）由题得： ，
∴
．
【点睛】
考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数形结合
的思想解答．
6．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a＋b____0，a－c____0，b－c____0；
(2)|b－1|＋|a－1|＝____；
(3)化简|a＋b|＋|a－c|－|b|＋|b－c|．
【答案】（1）=、>、<；（2）a-b；（3）a
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上各数的位置得到b<-10，b-c<0，化简|a＋b|=0，|a－c|=a-c，|b|=-b，|b－c|
=c-b，再代入计算.
【详解】
（1）由题意得：b<-10，b-c<0，
故答案为：=、>、<；
（2）∵b<-10，
∴ ， ，
∴|b－1|＋|a－1|＝1-b+a-1=a-b，
故答案为：a-b；
（3）∵b<-10，b-c<0，
∴|a＋b|=0，|a－c|=a-c，|b|=-b，|b－c|=c-b，
∴|a＋b|＋|a－c|－|b|＋|b－c|
=0+a-c+b+c-b
=a.
【点睛】
此题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，有理数的加减法计算法则，正确化
简绝对值是解题的关键.
7．已知有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且
（1）求 和 的值
（2）化简：
【答案】（1） ； ；（2） ．【解析】
【分析】
（1）根据 且a、b位于原点两侧，得到a、b互为相反数，然后进行求解即可；
（2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．
【详解】
（1）∵ 且a、b位于原点两侧
∴a、b互为相反数
∴ ，
（2）如图可得：c＜b＜0＜a且
∴a＞0，a=-b即a+b=0，c-a＜0，c-b＜0，-2b＞0
因此
=
=
=
【点睛】
本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题的关键.
8．已知 ， 两点在数轴上表示的数为 和 ， ， 均为数轴上的点，且 ．
（1）若 ， 的位置如图所示，试化简： ；
（2）如图，若 ， ，求图中以 ， ， ， ， 这5个点为端点的所有线段
（无重复）长度的和；
（3）如图， 为 中点， 为 中点，且 ， ，若点 为数轴上一点，且
，试求点 所对应的数．【答案】（1）b-a；（2）41.6；（3） 或3．
【解析】
【分析】
（1）由图可知a、b的符号，再确定a+b、a-b的符号，然后根据绝对值的性质解答即可；
（2）先列举出所有的线段，求出它们的和，再观察与AB、MN的关系即可解答．
（3）先求得OA和AB的长，再分点P可能在原点的左边和在原点的右边两种情况讨论．
【详解】
（1）由已知得 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
；
（3）∵ ，
∴ ．
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
所以 ，
解得 ，∴ ．
当点 在点 的左边时，点 在原点的左边， ，
故点 所对应的数为 ；
当点 在点 的右边时，点 在原点的右边， ，
故点 所对应的数为3．
综上，点 所对应的数为 或3．
【点睛】
本题考查了数轴上点的特点，绝对值的性质，中点定义．能够在数轴上准确找出线段的和差关系
是解题的关键．
9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6
﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7+21|=______；②|﹣ +0.8|=______；③ =______；
（2）用合理的方法进行简便计算：
（3）用简单的方法计算：| ﹣ |+| ﹣ |+| ﹣ |+…+| ﹣ |．
【答案】（1）①7+21；② ；③ ；（2）9；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值
是0即可得出结论；
（2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可；
（3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可．
【详解】
解：（1）①|7+21|=21+7；
故答案为：21+7；
② ；故答案为： ；
③ =
故答案为： ；
（2）原式=
=9
（3）原式 =
=
=
【点睛】
此题考查了有理数的加减混合运算，此题的难点把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，
要注意多观察各项之间的关系．
10．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的
位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d．
（1）若c与d互为相反数，则a________；
（2）若d2b8，那么点C对应的数是________；
（3）若abcd0，ab0求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）2；（3）20＜ ＜23．
【解析】
【分析】
（1）由c与d互为相反数，CD之间的距离为4，所以CD的中点为原点，点A到原点的距离为
8，位于原点的左侧，即a=-8；
（2）由BD=7，d-2b=8得点B到原点的距离为1，且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距
离2个单位长度，即点C对应的数为2；（3）由a+b＞0得a＞0＞b，且|a|＞|b|，-1.5＜a＜0，再由abcd＜0求得d＞c＞b＞0＞a，再根据数
轴上点的位置得b=a+3，c=a+6，d=a+10，最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得．
【详解】
（1）解：（1）如图所示：
∵c与d互为相反数， ∴CD=4，O为原点，
∴|OA|=8，
∴a=-8；
（2）如图2所示：
∵BD=7，即 ，又 ，
∴b=-1， ∴点B向右移动一个单位长度是原点，
又∵OC=2，点C在原点的右侧，
所以 c=2
（3）∵ 且
∴ 且
又∵
原式
∵
∴ ．
【点睛】
本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意两
点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范
围．11．数轴上从左到右的三个点 所对应的数分别为 ，其中 ， ，如
图所示．
（1）若以 为原点，写出点 所对应的数，并计算 的值．
（2）原点 在 两点之间，求 的值．
（3）若 是原点，且 ，求 的值．
【答案】（1）A对应-2019，C对应1000， =-1019；（2）3019；（3）-3000或-3036
【解析】
【分析】
（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A、C所对应的数；
（2）原点O在A，B两点之间，|a|+|b|=AB，|b-c|=BC，进而求出结果；
（3）若原点O在点B的左边；若原点O在点B的左边；分两种情况讨论可求a+b-c的值．
【详解】
解：（1）∵点B为原点，AB=2019，BC=1000，
∴点A表示的数为a=-2019，点C表示的数是c=1000，
∴a+b+c=-2019+0+1000=-1019；
（2）∵原点在A，B两点之间，
∴|a|+|b|+|b-c|=AB+BC=2019+1000=3019．
答：|a|+|b|+|b-c|的值为3019；
（3）若原点O在点B的左边，则点 A，B，C所对应数分别是a=-2002，b=17，c=1017，
则a+b-c=-2000+17-1017=-3000；
若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a=-2036，b=-17，c=983，
则a+b-c=-2036-17-983=-3036．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，用数轴表示则更容易解
决问题．
12．已知点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是 ，且 ，现将点， 之间的距离记作 ，定义 ．
（1） _________________．
（2）设点 在数轴上表示的数是 ， ，求 的值．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用非负性求出a、b的值，然后代入计算求出答案；
（2）根据题意，先表示出 和 ，然后对x进行分类讨论，即可得到答案.
【详解】
解：（1）根据题意，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点A表示的数是 ，点B表示的数是1；
∴ ；
故答案为：5.
（2）设点 在数轴上表示的数是 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
当 时，有
，
∴此方程无解，不符合题意；
当 时，有
，
∴ ；当 时，有
，
∴此方程无解，不符合题意；
∴ 的值为 .
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的化简。非负性的应用，解题的关键是正确求出a、b
的值，熟练运用分类讨论的思想进行解题.
13．已知 ，求 的最大值和最小值．
【答案】最大值是4，最小值是 ．
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，然后结合绝对值的意义，进行分类讨论，进而求出最大值和最小值.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
．
令 ，求得 ，所以零点值： ．
①当 时， ．
∴ ．
②当 时， ．
．
当 ，原式的最小值是 ．
综上所述， 的最大值是4，最小值是 ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，化简绝对值，以及绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，利用分类讨论的思想进行解题.
14．(1) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图，
化简： ；
(2) 两个非零有理数a，b满足 =2a－3b，求 的值．
【答案】（1） ；（2）-5或10.
【解析】
【分析】
(1)根据题图，计算各个绝对值的值，然后根据绝对值得非负性，化简计算即可；
(2)化简 =2a－3b，然后代入求值即可.
【详解】
解：（1）由题目可知： ， ， ，
∴
（2）∵两个非零有理数a，b满足 =2a－3b，
当 时， =2a－3b 可化为：
∴
∴
当 时， =2a－3b 可化为： .
∴∴
故 的值为：-5或10.
【点睛】
此题考查了数轴，以及绝对值，正确判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
15．已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．
(1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)；
(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|．
【答案】（1）＞；＜；＜（2）
【解析】
【分析】
（1）观察数轴可知， ， ，根据有理数的乘法运算法则和加减法运
算法则即可解答；
（2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值.
【详解】
解：（1）由数轴得： ， ，
∴ ， ，
故答案为＞；＜；＜
（2）∵ ， ，
∴
【点睛】
本题考查数轴、有理数的加减法、乘法以及化简绝对值，熟练掌握各个知识点是解题关键.
16．如果 ，则 的值是__________.【答案】3.
【解析】
【分析】
由 ，得 ，然后对a，b的大小进行分类解得即可.
【详解】
解：由 ，得 .若 ，则 ，原式 ，若 ，
则 ，原式 ，综上得其值为3.
【点睛】
本题考查了含绝对值的代数式求值，关键在于讨论绝对值内部的大小，进而取绝对值求解.
17．已知 ，化简：
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质从内到外取绝对值即可.
【详解】
原式 .
【点睛】
本题考查了取绝对值，即绝对值内为非负数是它本身，是非正数为它的相反数.
18．a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|=|b|
（1）求出a、b、c各数的绝对值；
（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；
（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．
【答案】（1）|a|=a，|b|=﹣b，|c|=﹣c；（2）﹣a＜a＜﹣c；（3）﹣2c．
【解析】
【分析】
（1）根据图示可知c
