重难点突破02立体几何中的动点问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 02 立体几何中的动点问题 解决空间位置关系的动点问题 (1)应用“位置关系定理”转化． (2)建立“坐标系”计算． 一．选择题（共19小题） 1．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列结论中错误的是 A． B． 平面 C．直线 与平面 所成的角为定值 D．异面直线 ， 所成的角为定值 【解答】解：对于 ， 平面 ，又 平面 ， ．故 正 确． 对于 ， 平面 ，又 、 在直线 上运动， 平面 ．故 正确． 对于 ，直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角，故为定值．故 正确．对于 ，当点 在 处， 为 的中点时，异面直线 ， 所成的角是 ，当 在上底面的中心时， 在 的位置，异面直线 ， 所成的角是 显然两个角 不相等，故 不正确． 故选： ． 2．如图已知正方体 ，点 是对角线 上的一点且 ， ，则 A．当 时， 平面 B．当 时， 平面 C．当△ 为直角三角形时， D．当△ 的面积最小时，【解答】解：由题可知，当 时，才有 平面 ， 平面 ，故 ， 均错误； 当△ 为直角三角形时，有 ， 设 ，则 ， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， 设 ， ， ，则由 ， ，得 ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ，解得 ，故 错误； 设 到 的距离为 ，则 ， 当△ 的面积最小时， ，故 正确． 故选： ． 3．在棱长为2的正方体 中， 为底面正方形对角线的交点， 为棱上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是 A． 平面 B． C．当 平面 时， 为 的中点 D． 的取值范围为 【解答】解：如图所示， 对于选项 ：由正方体的性质可知 ， 又 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，故选项 正确， 对于选项 ：在 △ 中， ， ， ， ，故选项 正确， 对于选项 ：若 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ， 又 为 的中点， 为 的中点，故选项 正确，对于选项 ：设 ，则 ， ， ， 在 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ， ， ， 即 ， 又 ， ，故选项 错误， 故选： ． 4．如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 上任意一 点， ， 为 上两个动点，且 长为定值，则点 到平面 的距离A．等于 B．和 的长度有关 C．等于 D．和点 的位置有关 【解答】解：如图， 在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 到 的距离为定值，等于 ， 连接 ，过 作 ，垂足为 ，则 为 到平面 的距离，等于 ， 又 ， 到 的距离为 ． 又 的长为定值，设点 到平面 的距离为 ， ， 又 ， ， ． 故选： ．5．如图，在长方体 中， ，点 为线段 上的 动点，则下列结论错误的是 A．当 时， ， ， 三点共线 B．当 时， 平面 C．当 时， 平面 D．当 时， 【解答】解：由题意，如图建系： 则 ， ，设 ， ， ， ，则 ， 可得 ， ， ， ， ， ， 对于 ：当 时，则点 为对角线 的中点， 根据长方体性质可得 ， ， 三点共线，故 正确； 对于 ：当 时，可得 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取 ，则 ， ， 而 ， ， 平面 ，故 正确； 对于 ：当 时， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， ，故 ，， ， 又 平面 ， 平面 ，故 正确； 对于 ：当 时， ，解得 ， 所以 ， ． 则 因此 不正确，故 错误． 故选： ． 6．如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是 ①存在点 ，使得 ②不存在点 ，使得 平面 ③三棱锥 的体积是定值 ④不存在点 ，使得 与 所成角为A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：对于 、 正方体 中， 为线段 的中点，即为 的中点， ，故 ， 不可能平行，故 错误； 对于 、若 为 的中点，则 ，而 ，故 ， 又 面 ， 平面 ，则 ，故 ， ， ， 平面 ，则 平面 ， 存在 使得 平面 ，故 错误； 对于 、 由正方体的性质知， ，而 平面 ，故 与面 不平行， 在线段 上运动时，到面 的距离不一定相等，故三棱锥 的体积不是定 值，故 错误； 对于 、构建如下图示空间直角坐标系 ，则 ，0， ， ，1， ， ，2， 且 ， ，0， ， ，1， ，设 ， ， 则 ， 令 ， ，则 ， 当 ， 时，则 ， ， ， ； 当 则 ； 当 ， ，则 ， ， ， ． 在上述范围内，故 正确． 正确命题的个数是1个． 故选： ． 7．如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则下列结论正确的是A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得 平面 C．三棱锥 的体积是定值 D．存在点 ，使得 与 所成的角为 【解答】解：对于 ：正方体中 ，而 为线段 的中点，即为 的中点， 所以 ，故 ， 不可能平行，所以 错； 对于 ：若 为 中点，则 ，而 ，故 ， 又 面 ， 面 ，则 ，故 ， ， ， 面 ，则 面 ， 所以存在 使得 平面 ，所以 对； 对于 ：由正方体性质知： ，而 面 ，故 与面 不平行，所以 在线段 上运动时，到面 的距离不一定相等， 故三棱锥 的体积不是定值，所以 错； 对于 ：构建如下图示空间直角坐标系 ， 则 ，0， ， ，1， ， ，2， 且 ， 所以 ， ，设 ， ， 则 ， 令 ， ，则 ， 当 ， ，则 ， ； 当 则 ；当 ， ，则 ， ； 所以 不在上述范围内，所以 错． 故选： ． 8．已知正方体 棱长为2， 为空间中一点．下列论述正确的是 A．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 B．若 ，三棱锥 的体积不是定值 C．若 ，有且仅有一个点 ，使得 平面 D．若 ，则异面直线 和 所成角取值范围是 【解答】解：对于 ，因为 ，所以 为 中点，连接 ， ， ，若 ， 分别是 ， 中点，连接 ， ，则 ， 又 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 所以 （或其补角）即为异面直线 与 所成角， 而 ， ， ， 故 ，故 错误； 对于 ：由 知： 在 （含端点）上移动， 因为 ，即 面积恒定， 又 到面 的距离为 ，也是恒定的，故 的体积是定值，故 错误； 对于 ，若 ， 分别是 ， 中点，由 知： 在 （含端点）上移动， 由 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，由 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 同理可证： ， 由 ， 、 平面 ，故 平面 ， 而平面 平面 ，要使 平面 ，则 必在平面 内， 显然 平面 ，故 错误； 对于 ，由 知： 在 （含端点）上移动， 以 为坐标原点， ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则 ，2， ， ，2， ， ，0， ， 则 ， 设 ， ， ， ， ，则 ， 所以 ，令 ， ， 当 ，即 时， ，此时直线 和 所成角是 ；当 ，即 ， 时，则 ， 当 ，即 时， 取最大值为 ，直线 和 所成角的最小 值为 ，故 正确． 故选： ． 9．如图，在正方体 中，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动 点，下列结论中错误的是 A．对于任意的点 ，均有 B．存在点 ，使得 平面 C．存在点 ，使得 与 所成角是 D．不存在点 ，使得 与平面 的所成角是 【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直 角坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为2，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，因为点 是线段 上的动点，所以设 ， ， ，即 ， ， ， 对于 ，因为 ， ， 因为 ，所以对于任意的点 ，均有 ，故 正确； 对于 ，因为 ，平面 的一个法向量为 ， 因为 平面 ，若 ，即 时， 平面 ， 所以存在点 ，使得 平面 ，故 正确； 对于 ，因为 ， ， 所以 ，解得 ， 所以存在点 ，使得 与 所成角是 ，故 正确； 对于 ，因为 ， ， ，0， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，解得 ，令 ，得 ， 若 与平面 的所成角是 ， 则 ，解得： ， 所以存在点 ，使得 与平面 的所成角是 ，故 错误． 故选： ．10．如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：设正方体边长为1， ． 以 为原点，分别以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 易证 平面 ， ，1， 是平面 的一个法向量．， ， 当 时 取得最大值 ，当 或1时， 取得最小值 ． 故选： ． 11．如图，正四棱柱 中， ，点 和 分别是线段 与 上的动点，则 间最小距离为 A． B．1 C． D． 【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直 角坐标系，如图所示， 则 ，0， ， ，1， ， ，1， ，所以 ， ， ， 设 ，且 与 ， 均垂直， 所以 ，解得 ， 令 ，得 ， ，所以 ， 所以直线 与直线 之间的距离 ， 所以 间最小距离为 ． 故选： ． 12．如图，正方体 的棱长为2，线段 上有两个动点 ， 在 的 左边），且 ．下列说法不正确的是 A．当 运动时，二面角 的最小值为B．当 ， 运动时，三棱锥体积 不变 C．当 ， 运动时，存在点 ， 使得 D．当 ， 运动时，二面角 为定值 【解答】解：对 ：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，2， ， ，2， ， ，0， ， ， ，0， ， 因为 在 上，且 ， ，可设 ， ， ， ， 则 ， ， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，所以 ， 取 ，则 ，平面 的法向量为 ，0， ， 所以 ， ，设二面角 的平面角为 ，则 为锐角，故 ， 因为 ， ，在 ， 上单调递减，所以 ， ，当且仅当 时， 取得最大值 ，即 取 最小值 ，故 说法正确． 对 ：因为 ，点 到平面 的距离为 ， 所以体积为 ，即体积为定值，故 说法正确． 对 ：若 ，则 ， ． ， 四点共面，与 和 是异面直线矛盾，故 说法错误． 对 ：连接 ， ， ，平面 即为平面 ，而平面 即为平面 ， 故当 ， 运动 时，二面角 的大小保持不变，故 说法正确． 故选： ． 13．在棱长为2的正方体 中， 为 上的动点，则 与平面 所 成角的正切值不可能为 A．1 B． C． D．【解答】解：如图， 在 上取点 ，使得 ，连接 ， 由 可知，四边形 为平行四边形，则 ， 因为 平面 ， ，所以 平面 ， 所以 与平面 所成角为 ， ，而 ． 所以 ．显然 ，故 不可能． 故选： ． 14．棱长为1的正方体 中，点 在棱 上运动，点 在侧面 上 运动，满足 平面 ，则线段 的最小值为 A． B．1 C． D． 【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， 设 ， ， ， ， ，0， ， 所以 ， ， 因为 平面 ， 所以 ，故 ， ，故 ， 其中 ， 故 ， 故当 时， 取得最小值 ，此时 满足要求， 所以线段 的最小值为 ． 故选： ． 15．如图，在直三棱柱 中， ， ，已知 与 分 别为 和 的中点， 与 分别为线段 和 上的动点（不包括端点），若，则线段 的长度的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：在直三棱柱 中， 底面 ， 以点 为坐标原点， ， 、 所在直线分别为 、 ， 轴建立如下图所示的空间 直角坐标系， 则 ，设点 ，0， 、 ， ， ， ， 由于 ，则 ，可得 ， ，则 ， ． 故选： ． 16．如图，在棱长为 1 的正方体 中， 是 的中点，点 是侧面上的动点，且． 平面 ，则线段 长度的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ， 则 ， ， 故平面 平面 ， 平面 ，线段 扫过的图形是 ， 由 ，则 ， ， ， ， 是直角， 线段 长度的取值范围是： ， ，即： ， ． 故选： ．17．如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，三 棱柱外接球的球心为 ，点 是侧棱 上的一动点．下列说法正确的个数是 ①直线 与直线 是异面直线 ②若 ，则 与 一定不垂直 ③若 ，则三棱锥 的体积为 ④三棱柱 外接球的表面积的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：对于①，因为点 平面 ，点 ， 所以直线 与直线 是异面直线，故①对； 对于②，因为 ， 底面 ，易证 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 所以当 时， 平面 ，所以 ，故②错； 对于③，如图，设 为 外接圆圆心，半径为 ，因为 ， 所以 为边长为1的等边三角形， 所以由正弦定理有 ，所以 ， 因为 为三棱柱外接球球心，所以 平面 ，且 平面 ， 所以 到平面 的距离即 到直线 的距离， 所以距离 ， ，故③正确； 对于④，如图，在 △ 中， ，即 ， 要使三棱柱 外接球的表面积的最大，则半径 要最大， 即三角形 外接圆半径 要最大，由 可知， 当 最小时 最大，而 ，无最小值， 所以 无最大值，故外接球表面积无最大值，故④错． 故选： ．18．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点， 下列四个结论中，错误的是 A．存在点 ， 平面 B．对任意点 ， C．存在点 ，使得 与 所成的角是 D．不存在点 ，使得 与平面 所成的角是 【解答】解：设正方体的棱长为1， 以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ， 设 ， ， ， ，则 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 选项 ，取平面 的一个法向量为 ， 令 ，解得 ，此时 ， 当 时， ， 平面 ， 平面 ，即选项 正确； 选项 ， ， ， 对任意点 ， ，即选项 正确； 选项 ，由 ，知 ， 与 所成的角是 ，， 化简得 ，解得 或 ， 故存在点 ，使得 与 所成的角是 ，即选项 正确； 选项 ，连接 ， 由底面 是正方形，知 ， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ， ， 平面 ，即 是平面 的一个法向量， 由选项 可知，存在点 ，使得 与 所成的角是 ， 存在点 ，使得 与平面 所成的角是 ，即选项 错误． 故选： ． 19．如图，三棱柱 满足棱长都相等且 平面 ， 是棱 的中点， 是棱 上的动点．设 ，随着 增大，平面 与底面 所成锐二面角的平 面角是 A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大【解答】解：以 为原点，在平面 中过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 设正三棱柱 中所在棱长都是2， 则 ，1， ， ，2， ， ，0， ， ，1， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， 平面 的法向量 ，0， ， 设平面 与底面 所成锐二面角的平面角为 ， ， 随着 增大而先增大后减小， 随着 增大而先减小后增大． 故选： ． 二．填空题（共1小题）20．如图，在直三棱柱 中， ，若 为空间一 动点，且 ，则满足条件的所有点 围成的几何体的体积为 ；若动 点 在侧面 内运动，则线段 长的最小值为 ． 【解答】解：在直三棱柱 中， ， 因为 为空间一动点，且 ， 所以点 的轨迹为以 为球心， 为半径的球， 所以该几何体的体积为 ． 若动点 在侧面 内运动， 则点 的轨迹为球 与侧面 的截面图． 设该截面图的圆心为 ， 如图，取 中点 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 易证 平面 ， 所以 ， 得 ， 当 时 最小，此时 最小．易得 ， 因为 平面 ， 侧面 ， 所以 在棱 上， 所以 ， 则 ， 又 ， 所以当 时， ， 所以 ．