跟踪训练02平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第五章平面向量与复数

跟踪训练 02 平面向量的基本定理及坐标 表示 一．选择题（共15小题） 1． 是平行四边形 外一点，用 、 、 表示 ，正确的表示为 A． B． C． D． 【解答】解：作出图形，设 ，则 为 、 的中点，如图所示： ， 同理可得 ， ， ． 故选： ． 2．已知向量 ， ，若 ，则 A．0或2 B．2 C．0或 D． 【解答】解：向量 ， ，则因为 ， 所以 ，得 或 ． 故选： ． 3．在 中，已知 是 边上的中点， 是 的中点，若 ，则实 数 A． B． C． D．1 【解答】解：因为 是 边上的中点， 是 的中点， 所以 ， 所以 ， ， 又因为 ， 所以 ，则 ． 故选： ． 4．在 中， ， ， ， 是 的外接圆上的一点，若 ，则 的最大值是 A．1 B． C． D． 【解答】解；由余弦定理得： ， ， 所以 ，所以 ， 以 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得 ， ， ，设 的坐标为 ， 所以 ， ， ， 又 ， 所以 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立． 故选： ． 5．已知 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的取值 范围为 A． B． C． D． 【解答】解： 夹角为钝角， ，且 ，由 得： ，解得： ； 当 共线时， ，解得： 或 ， 当 时， ，此时 ， ； 综上所述：实数 的取值范围为 ． 故选： ． 6．在 中， 为 中点，连接 ，若 ，则 的值为 A． B． C． D．1 【解答】解：因为 为 边的中点，所以 ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 又 ，因此有 ，则 ． 故选： ． 7．在 中， 为线段 上一点，且 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：由 ，可得 ， 则 ．故选： ． 8．在边长为2的正三角形 中， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：边长为2的正三角形 中， ， ， 所以 ， ， 所 以 故选： ． 9．在平行四边形 中， ， ， ， ，则 与 的夹角为 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 所以 ， ，因为 ， ， ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ，即 与 的夹角为 ． 故选： ． 10．在 中， 为 的中点， 为 边上的点，且 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示： 因为 为 的中点，所以 ． 又因为， ， 所以 ． 所以， ． 故选： ． 11．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，则 ，则 的最小值 A．1 B．3 C．5 D．8 【解答】解：由题意可知， ， 又 是线段 上的动点，则可设 ，且 ， 所以 则 ，所以 ，则 ，且 ， 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立， 所以 的最小值为8．故选： ． 12．两个单位向量 与 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【解答】解：由题意可得 ， ，且 ， 所以 ． 设 与 的夹角为 ，0°≤ ≤180°， θ θ 则 ， 所以 ＝150°． 故选：θD． 13．给定两个向量 ， ，若 ，则 的值是 A．23 B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， 所以 ， ， 若 ，则 ， 故 ． 故选： ． 14．如图，在 中， ， 为 的中点，设 ， ，则A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 为 的中点， ， ， ． 故选： ． 15．在 中，点 是边 的中点，则有 A． B． C． D． 【解答】解： 点 是边 的中点， ， 错误， 正确． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．下列命题正确的是 A． B．单位向量 ， ，满足 C．对于向量 ， ，有 恒成立D．向量 ， 不能作为所在平面内的一组基底 【解答】解： ， 错误； 根据单位向量的定义可知， 显然正确； 因为 ， 为 ， 的夹角）， 因为 ， 显然正确； 因为 ，即 ， 不共线，可以作为一组基底． 故选： ． 17．下列两个向量，能作为基底向量的是 A． B． C． D． 【解答】解： ， 零向量与任一向量共线， 与 共线，不能作为基底， ， ， 与 不共线，能作为基底， ， ， 与 共线，不能作为基底， ， ， 与 不共线，能作为基底． 故选： ． 18．如图，在平行四边形 中，已知 ， 分别是靠近 ， 的四等分点，则下列结 论正确的是 A． B．C． D． 【解答】解：对于选项 ， ，即选项 错误； 对于选项 ，由 ， 分别是靠近 ， 的四等分点，则 ，即选项 正确； 对于选项 ， ，即选项 错误； 对于选项 ， ，即选项 正确， 故选： ． 19．已知向量 ， ，则下列说法正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C． 的最小值为6 D．若 与 的夹角为锐角，则 【解答】解： 向量 ， ， 若 ，则 ，求得 或 ，故 错误； 若 ，则向量 ， ，由 ，可得 ，故 正确； ， ，当且仅当 时，取等号， 故 的最小值为6；故 正确； 若 与 的夹角为锐角， ，且 与 不共线，即 ，且 ，求得 且 ，故 错误， 故选： ． 20．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，若 ，则 A． B． C． 存在最大值 D． 的最大值为 【解答】解：对于选项 ， ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的 半圆上， ， ，故 正确； 对于选项 ， ， ， 故 正确； 对于选项 ，以点 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则 ， ， ， ， 点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上， 点 的轨迹方程为 ，且在 轴的下半部分， 设 ， ， ， 则 ， ， ， ， ． ， ， 又 ， ， ， 当 时， 取得最大值9，故 正确； 对于选项 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 当 时， 取得最大值 ，故 错误． 故选： ．三．填空题（共5小题） 21．已知点 是 的重心，过点 作直线与 ， 两边分别交于 、 两点，且 ， ， ，则 的最小值是 ． 【解答】解：延长 交 于点 ， 则点 为 的中点，且 ， 故 ， 又因为 ， 所以 ， 因为 ， ， 三点共线， 所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值是 ． 故答案为： ． 22．已知向量 ，则 与 夹角的大小为 ． 【解答】解：由于 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 故 ， 即 ，整理得 ， 故 ， ， 故 ． 故答案为： ． 23．在平行四边形 中，若 ，则 4 ． 【解答】解：在平行四边形 中， ， ， ， ， ，则 ． 故答案为：4． 24．已知 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为 ． 【解答】解： ， ， 解得 ． 故答案为： ． 25．已知向量 ，若 ，则 与 的夹角为 ． 【解答】解：由题意得 ， 由 ，得 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 由 可知 ． 故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．已知向量 ， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求实数 的值； （3）若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， ． （2） ，两边同平方得 ， 则化简得 ， ， ， ． （3） 与 的夹角是钝角， ，且 与 不反向共线， 即 ，由（1）可知 ， 则 ，且 ， 故实数 的取值范围为 ， ， ． 27．如图，在 中， 为重心， ，延长 交 于点 ，设 ， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值．【解答】解：（1）在 中，连接 并延长交 于 ， 因为 是 重心，则 是 的中点， 所以 ， 由 知， ， 即 ， 因此 ， 因为 不共线，且 ， 所以由平面向量基本定理得： ， 所以 ； （2）由题意知， ， 所以 ， 由（1）知， ，且 ， 因此存在 ，使得 ， 即 ， 则由平面向量基本定理得： ，解得 ，所以 的值是 ． 28．已知向量 ， ， ． （1）若 ，试判断 ， 能否构成平面的一组基底？并请说明理由． （2）若 ，且 ，求 与 的夹角大小． 【解答】解：（1）当 时， ， ， 因为 ，所以向量 ， 不共线，所以 ， 能构成平面的一组基底； （2）因为 ， ，所以 ， 又 ，且 ，所以 ，所以 ， 此时 ， ，则 ， 又因为 ，所以 ，即向量 与 的夹角为 ．