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专题 5.3 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题之四大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 平行线中含一个拐点问题】....................................................................................................................1
【考点二 平行线中含两个拐点问题】..................................................................................................................11
【考点三 平行线中含多个拐点问题】..................................................................................................................18
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】..........................................................................................................24
【考点一 平行线中含一个拐点问题】
例题：（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，直线 ， ， ，
则 的度数为 度．
【答案】
【分析】过点C作 ，则 ，利用平行线的性质计算即可，熟练掌握平行线的判定和性质
是解题的关键．
【详解】过点C作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：78．
【变式训练】
1．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，直线 ， 交 于点 ， 交 于点 ，若 ，
，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点 作 ，得出 ，进而
根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2023下·七年级课时练习）如图，已知 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】略
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ， ，求
的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过点 作 ，根据平行线的传递性得到 ，根
据平行线的性质得到 ， ，根据已知条件等量代换得到 ，
由等式性质得到 ，于是得到结论，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：过点C作 ，
∵ （辅助线做法）∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ （已知）
∴ （等量代换）
∵ （已知）， （辅助线做法）
∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∵ （已知）
∴ （等量代换）
∵ ， （已求）
∴ （等量代换）
4．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）（1）如图1，已知直线 且 分别交 、
于点A、B， 分别交 、 于点C、D，点P在线段 上，连接 、 ，试确定 之间的
数量关系，并说明理由；
（2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求
的度数．
【答案】（1）∠3=∠1+∠2，理由见解析；（2）
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
（1）如图所示，过点P作 ，则 ，根据平行线的性质可得 ，再
由 可得∠3=∠1+∠2；
（2）过点M作 ，则 ，根据平行线的性质可得 ．
【详解】解：（1）∠3=∠1+∠2，理由如下：
如图所示，过点P作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠3=∠1+∠2；
（2）如图所示，过点M作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ 的度数是 ．
5．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题
(1)如下图， ， ， ．求 度数；
(2)如下图， ，点 在射线 上运动， ， ．
①当点P在A，B两点之间运动时， ， ， 之间的数量关系为__________
②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由．【答案】(1) ；
(2)① ；② 或 ．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
（1）过P作 ，构造同旁内角，利用平行线性质，可得 ；
（2）①过P作 交 于E，推出 ，根据平行线的性质得出 ，
，即可得出答案；
②画出图形（分两种情况：点P在 的延长线上，点P在 的延长线上），根据平行线的性质得出
， ，即可得出答案．
【详解】（1）解：过P作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ．
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：① ：
如图3，过P作 交 于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；故答案为： ；
②当P在 延长线时， ；
理由：如图4，过P作 交 于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
当P在 之间时， ．
理由：如图5，过P作 交 于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．综上所述， ， ， 之间的数量关系为 或 ．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如
图1，若 ，点P在 、 内部，探究 ， ， 的关系．小明只完成了（1）的部分
证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点 作 ．
∵ ，
∴____ ____（ ）
∴ ____（ ）
又∵
∴
∴ ________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作 来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图
2，若 ，点P在 、 外部， ， ， 的关系是否发生变化？若发生变化请写出它
们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．(3)探究：若 ，如图3，图4，请直接写出小于平角的 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1) ； ；平行于同一条直线的两条直线平行； ；两直线平行内错角相等；
(2)
(3) ；
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）首先过点P作 ，根据平行线的性质，可得 ， ，从而证得
；
（2）同（1）的方法可得， ， ，进而即可得出结论；
（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出 ， ， 的关系，即可求解．
【详解】（1）解：过点 作 ．
∵ ，
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行）
∴ （两直线平行内错角相等）
又∵
∴
∴ ．
故答案为： ； ；平行于同一条直线的两条直线平行； ；两直线平行内错角相等； ．
（2）发生变化，应是 ．
证明：如图2，过点 作 ．
∵ ，
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行）
∴
又∵
∴
∴ ．
即
（3）如图3，过点 作 ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵
∴
∴ ．
即如图4，过点 作 ，
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴ ．
即
【考点二 平行线中含两个拐点问题】
例题：如图所示， 、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到
∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，
内错角相等．
【变式训练】
1．如图，直线 l∥l，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
1 2
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB 直线l1，过C点作CD 直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB 直线l1，过C点作CD 直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1 l2，
∴AB CD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．如图， ，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
【答案】
【分析】根据 可得 ， ，又因为 ，所以可得
．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
3．①如图1，AB CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若AB
EF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EF AB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EF AB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CD AB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PF AB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EF AB，
∵AB CD，
∴AB EF CD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF AB，
∵AB CD，
∴AB EF CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CD AB，延长AB到G，
∵AB EF，
∴AB EF CD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵ ，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴ ，故③正确；
④如图4，过点P作PF AB，
∵AB CD，∴AB PF CD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）过P作 ，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作 ，如图，
∴ ，
∵ （已知），∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
5．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1， ，点 为直线 间一点，点
E，F分别是直线 上的点，连接 .(1)【证明推断】求证： ，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线 ，
（已作），
（______），
又 ， （已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若 的平分线与 的平分线交于点 .
①【类比探究】试猜想 与 之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若 ，求 的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线 ，点P，H为直线 间的点，请直接写出 ， ，
， 的数量关系：______.
【答案】(1)两直线平行，内错角相等； ；平行于同一直线的两直线平行；
(2)① ，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）过点P作直线 ，根据平行线的性质即可得到答案；
（2）①分别过点P，Q作 ， ，由平行线的性质和角平分线的定义得
，进而即可求解；②结合平角的定义和
即可得到答案；
（3）过点P、H作 ，可得 ，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点 作直线 ，（已作），
（两直线平行，内错角相等）
又 ， （已知），
，（平行于同一直线的两直线平行），
，
；
（2）解：① .
理由：如图1，分别过点P，Q作 ， .
的平分线与 的平分线交于点 ，
， .
.
同（1）可证得 ，
② ， ，
.
又 ，
（3）过点P、H作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即故答案为：
【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．
【考点三 平行线中含多个拐点问题】
例题：如图，直线 ，则 的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出
EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴
．故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1.如图：
(1)如图1， ， 若 ， 计算并直接写出 的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线 变成折线 ， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线 变成折现 ．请你写出一条关于 、
的数量关系（无需证明直接写出）
【答案】(1)65°
(2)见解析
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；
（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；
（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
（1）
解：过P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2
∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°
即∠A+∠B=65°；
（2）
证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4
∵l1∥l2
∴l1∥l2∥l3∥l4
∵l1∥l3（已知）
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵l3∥l4（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵l2∥l4（已知）
∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°
又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q
∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．
（3）
解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵ ，
∴
∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．猜想说理：
（1）如图， ，分别就图1、图2、图3写出 ， ， 的关系，并任选其中一个
图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若 ，则 度；
（3）在图5中，若 ，请你用含n的代数式表示 的度数．
【答案】（1） ； ；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出 的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出
度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1： ，如图2： ，
如图3： ，
如图1说明理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）如下图：
过F作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
故答案为： ；
（3）如下图： ，
过E作 ，过F作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候， ，当A、C之间加一个折点F时， ；
当A、C之间加二个折点E、F时，则 ；
以此类推，如图5， ，
当 、 之间加三个折点 时，
则 ；
…
当 、 之间加n个折点 时，
则 ，
即 的度数是 ．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角
形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】
例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知
， ， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 于 ，依据 ， ，可得 ，再根据三角形外角性质，
即可得到 ．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，∵ ， ，
，
又 ， ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图
所示，索道支撑架均为互相平行（ ），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，则 ，由平行线的性质可得 ，
，由此进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 ，
，
，
，， ，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．
2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，
从点O照射到抛物线上的光线 、 等反射以后沿着与 平行的方向射出，已知 ，
，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求得 的度数，再根据 ，得到 的度数，最后根据平行线
的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（22·23七年级下·山东聊城·期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的
护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图， 与桌面 垂直，当发光的灯管 恰好与桌面
平行时， ，则 的度数为 ．【答案】 /100度
【分析】过点D作 ，过点E作 ，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点D作 ，过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．
4．（22·23七年级下·浙江金华·期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．
若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】过 顶点做直线 支撑平台，直线 将 分成两个角，根据平行的性质即可求解．【详解】解：过 顶点做直线 支撑平台，
支撑平台 工作篮底部，
、 ，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）图1是一盏可调节台灯，图2为示意
图．固定底座 于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始
终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的 始终保持不变．如图2，调节台灯使光线
，此时 ，且CD的延长线恰好是 的角平分线，则 ．
【答案】80°/80度
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，过点A作 ，过点B作 交 于点H，根
据平行线的判定和性质，求出 的度数，利用角平分线的性质，即可得解.
【详解】解：过点A作 ，过点B作 交 于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的延长线恰好是 的角平分线，
∴ ；
故答案为： .
6．（2023下·江苏·七年级专题练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相
等例如：在图①、图②中，都有 ．设镜子 与 的夹角 ．
(1)如图①，若 ，判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若 ，入射光线 与反射光线 的夹角 ．探索α与β的数量关系，
并说明理由．
(3)如图③，若 ，设镜子 与 的夹角， 入射光线 与镜面 的夹角，已知入射光线 从镜面 开始反射，经过n（n为正整数，且 ）次反射，当
第n次反射光线与入射光线 平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【答案】(1)平行，见解析
(2) ，见解析
(3) 或
【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想
的利用．
（1）在△BEG中， 可得 ，根据入射光线、反射光线与镜面所夹
的角对应相等可得， ，进而可得 ；
（2）在 中， ，可得 ，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的
角对应相等可得， ，在 中， ，可得α与β的
数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当 时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及
内角和，可得 ．②当 时，如果在 边反射后与 平行，则 ，与题意不符；则只
能在 边反射后与 平行，根据三角形外角定义，可得 ，由 ，且由（1）的结论
可得， ．
【详解】（1）解： ，理由如下：
在 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
在 中， ，
∴
；
（3）解： 或 ．
理由如下：①当 时，如下图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
则 ，
则 ，
由 内角和，得
②当 时，如果在 边反射后与 平行，则 ，与题意不符；
则只能在 边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
，
由 ，且由（1）的结论可得，
，
则 ．
综上所述：γ的度数为： 或150°．
