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专题 5.4 一元一次方程含参问题（2 大知识点 5 类题型）（知识梳理
与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解,也叫做方程的根。本专题
就一元一次方程含参问题解的几种情况进行探讨学习。
【知识点1】一元一次方程的整数解
首先按照一元一次方程的解法求出方程的解，再根据解为整数，讨论其中的参数需要满足
的条件，从而求出最终的值
【知识点2】一元一次方程有唯一解、无解、无数解
（1）当一元一次方程化为最简 的形式时，当 时，方程就有唯一解，即：
；
（2）当一元一次方程化为最简 的形式时，当 时，这时无论 取何值，左
边都不会等于右边，此时方程就无解；
（3）当一元一次方程化为最简 的形式时，当 时，这时无论 取何值，左边=
右边=0，这时方程就有无数个解。
考点与题型目录
【考点一】一元一次方程含参问题（整数解问题）
【题型1】一元一次方程含参问题（整数解问题）........................................2
【考点二】一元一次方程含参问题（解的个数问题）
【题型2】一元一次方程含参问题（有解）..............................................3
【题型3】一元一次方程含参问题（无解）..............................................5
【题型4】一元一次方程含参问题（无数解）............................................6
【考点三】一元一次方程含参问题（解与参数无关问题）
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学科网（北京）股份有限公司【题型5】解与参数无关问题..........................................................9
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】一元一次方程含参问题（整数解问题）
【题型1】一元一次方程含参问题（整数解问题）
【例1】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于 的方程 有整
数解，且 是整数，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出 ，根据
x为整数，得出 或 ，再求出a的值即可．
解：
去括号得： ，
整理得： ，
解得 ，
当 或 时， 是整数，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定运算 ，例如 ．
若满足等式 的 是正整数，则正整数 的值为（ ）
A．1或4 B．2 C．2或4 D．4
【答案】A
【分析】本题考查有理数的计算及解一元一次方程，由题意列式并整理可得 ，然后根据 为正
整数， 为正整数，先确定 的值，再代入计算求得 的值即可．
解：由题意可得： ，
2
学科网（北京）股份有限公司整理得： ，
为正整数， 为正整数，
或3，
则 或 ，
即 的正整数值为1或4．
故选：A
【变式2】（23-24七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程 有非负整数解，则整数a
的所有可能的取值的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一
般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
将系数化为1，得 ，
∵方程有非负整数解，
∴ 取 ， ， ， ，
∴ 或 ， ， 时，方程的解都是非负整数，
则 ，
故答案为： ．
【考点二】一元一次方程含参问题（解的个数问题）
【题型2】一元一次方程含参问题（有解）
【例2】（21-22七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程 ，当k为何值时，方程有解？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ．
【分析】先解含字母系数的方程，把方程化为： ，根据 时，方程有解，从而可得答
案.
解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
当 时，方程有解，
【点拨】本题考查的是含有字母系数的方程，含字母系数的方程 ，当 方程无解，当
方程有无数个解，当 方程有唯一解，掌握以上知识是解题的关键.
【变式1】（20-21七年级下·湖南湘西·期末）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠±1
【答案】C
【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．
解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，
得a+1≠0，
解得a≠﹣1．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零．
【变式2】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是
．
【答案】 或
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由方程 有解，分 和 两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解
解：分两种情况讨论：
①若 ，则方程可化为 ，
移项并合并同类项，得
∵原方程有解，
∴ ，
即 ， 或 ，
∴ 或 ；
②若 ，则方程可化为 ，
移项并合并同类项，得
∵原方程有解，
∴ ，
即 ， ，
∴ ；
综上所述，m的取值范围是 或 ．
故答案为： 或
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取
值范围．
【题型3】一元一次方程含参问题（无解）
【例3】（20-21七年级上·全国·单元测试）关于 的方程 无解，则 是 （ ）．
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【答案】B
【分析】根据方程无解得到 ，可得 ，得到 即可求解．
解：原方程可化为： ，
只有 时原方程才无解，可得
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为
所以
即 是非正数
故选：B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，注意形如 的方程无解，则 ；解题的关键是根
据题意列出相应的式子．
【变式1】（2022八年级下·上海·专题练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣
n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【答案】D
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个
解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
【变式2】（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）关于x的方程 无解，那么m、n满足的条件是
．
【答案】 且
【分析】根据方程 无解的条件即可解答．
解：∵ ，
当 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
当 ， 时，即 ；
此时方程有无数个解；
当 ， 即 时，
此时，方程无解；
综上：关于x的方程 无解， 且 ．
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m，n的值是解题关键．
【题型4】一元一次方程含参问题（无数解）
【例4】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式 ， ．
(1)若代数式 的值与x无关，求m，n的值．
(2)在（1）的条件下，若关于x的方程 有无数个解，求a，b的值．
(3)在（2）的条件下，关于x的方程 有无数个解，求c的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程：
（1）根据正数的加减计算法则求出 的结果，根据代数式 的值与x无关，可得 的结果中含
x的项的系数都为0，据此求解即可；
（2）根据（1）所求得到 ，则关于x的方程 有无数个解，即
关于x的方程 有无数个解，据此可得 ，可得 ；
（3）根据（2）所求得到关于x的方程 有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据
方程有无数解进行求解即可．
解：（1）∵ ， ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
∵代数式 的值与x无关，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵关于x的方程 有无数个解，
∴关于x的方程 有无数个解，
∴关于x的方程 有无数个解，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵关于x的方程 有无数个解，
∴关于x的方程 有无数个解，
当 时，则 ，解得 ，即当 时，对于任意的x只要满足 ，都满
足 ，即此时方程有无数解；
当 时，则 ，解得 ，此时方程只有一个解，不符合题意；
当 时，则 ，解得 ，即当 时，对于任意的x只要满足 ，都满足
，即此时方程有无数解；
综上所述， ．
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程 有无穷多个解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】把原方程化为 ，可得当 ，即 时， ，此时方程有无穷多
个解，即可求解．
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，即 时， ，此时方程有无穷多个解，
∴当 时，方程有无穷多个解．
故选：A
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程
的解是解题的关键．
【变式2】（21-22六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程 有无穷多个解，则
．
【答案】
【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a与b的值，即可求出所求．
解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，
∵方程有无穷多个解，
∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，
解得：a＝ ，b＝﹣ ，
则a﹣b＝ + ＝ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点三】一元一次方程含参问题（解与参数无关问题）
【题型5】解与参数无关问题
【例5】（20-21七年级下·四川·开学考试）已知关于 的方程 中， 、 、 为常数．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若方程的解与 的值都是最大的负整数，求 的值．
（2）若无论 为何值，方程的解总是1，求 的值．
【答案】（1）1． （2）3
【分析】（1）根据方程的解与k的值都是最大的负整数，求出a、b的值，再求解即可；
（2）先把方程化简，然后把x＝1代入化简后的方程，因为无论k为何值时，它的根总是1，就可求出
a、b的值，再求解即可．
解：（1）由题意知： ．
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）由题意知： ，
代入 ，则
∴ ，
∴ ，
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未
知数的值，本题利用方程的解求未知数a、b．
【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知m，n为常数，关于x的方程 ，无论
k为何值，它的解总是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到m和n的值是解题的
关键．
把 代入方程，由k可以取得任意值可得到关于m和n式子，进而求得m和n的值，进而求得代数式
的值．
解：把 代入方程 化简得：
化简，得 ，
由于k可以取任意值，则 ，解得： ，
∴ ．
故选B．
【变式2】（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程 （a、b
是常数）的解总是 ，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．首
先把根 代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件求出a、b的值，
最后求出结果即可．
解：把 代入原方程并整理得 ，
整理得： ，
要使等式 不论k取什么数均成立，只有 ，
解得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司12
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