文档内容
解密时间：2025年6月14日上午8：00
南充市二〇二五年初中学业水平考试
数学试题
（满分150分，时间120分钟）
注意事项：
1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置；
2．所有解答内容均须涂、写在答题卡上；
3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另
涂；
4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为
A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号
填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，把含有 的直角三角板斜边放在直线l上，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，
导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东
风-31AG”导弹的平均速度为（ ）
A． 米/秒 B． 米/秒
C． 米/秒 D． 米/秒
试卷第1页，共3页4．一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数
进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ）
A．6 B．9 C．11 D．15
5．我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于
《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩
三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一
数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，
其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，把直径为1个单位长度的圆从点 沿数轴向右滚动一周，圆上点 到达点 ，点
对应的数是2，则滚动前点 对应的数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面
积是（ ）
A．12 B． C．16 D．
试卷第2页，共3页8．已知 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图， 是 的直径， 于点 ， 交 于点 ， 于点 ，交
于点 ， 为弧 的中点， 为线段 上一动点，若 ，则 的最小值
是（ ）
A．4 B． C．6 D．
10．已知某函数图象关于 轴对称，当 时， ；当 时， ．
若直线 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 的范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡
对应的横线上．
11．计算： ．
12．不透明的袋子中装有 个黑球和 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，
随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 ．
13．不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是 ．
14．如图， ，在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧；再
试卷第3页，共3页以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ，连接并延长 交
射线 于点 ．设 ，则 的长是 ．
15．已知直线 与直线 的交点在 轴上，则 的值
是 ．
16．如图， 为正方形 的对角线， 平分 ，交 于点 ，把 绕点
逆时针方向旋转90°得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，交 于点 ．给
出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．以上结论正
确的是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤．
17．计算： ．
18．如图，在五边形 中， ．
(1)求证： ．
(2)求证： ．
试卷第4页，共3页19．为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D
木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希
望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整
的统计图．
(1)求问卷调查的总人数，并补全条形图．
(2)若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数．
(3)本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇
报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率．
20．设 ， 是关于 的方程 的两根．
(1)当 时，求 及m的值．
(2)求证： ．
21．如图，一次函数与反比例函数图象交于点 ， ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)点 在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为 ，过点 作 轴的垂线，交 于点
， ，求 的值．
试卷第5页，共3页22．如图， 中， 于点D，以 为直径的 交 于点
E，交 于点F，M为线段 上一点， ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
23．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学
活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型
材料一 客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客
450人的车辆数相同．
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折．
租车公司最多提供8辆A型客车；
材料三
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
24．矩形 中， ，点E是线段 上异于点B的一个动点，连接 ，
把 沿直线 折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为 的中点时，延长 交 于点F，求证： ．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段 上， ．点E在移动过程中，求 的最
小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段 上， ．点E在移动过程中，点P在矩形
内部，当 是以 为斜边的直角三角形时，求 的长．
试卷第6页，共3页25．抛物线 与x轴交于 ，B两点，N是抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图1，抛物线上两点 ， ，若 ，求m的值．
(3)如图2，点 ，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足
．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，
请说明理由．
试卷第7页，共3页1．C
【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算
法则是解题的关键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解
答即可．
【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项正确，符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
2．D
【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和
平角为 是解题关键．
先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ．
【详解】解：直角三角板含 角，则另一个锐角为 ．
∴
故选：D ．
3．B
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法中 （ ）
与 （整数位数减 ）的确定是解题的关键．
先根据1马赫的速度算出25马赫的速度，再转化为科学记数法形式．
【详解】解：计算25马赫的速度： （米/秒）
用科学记数法表示 ： （米/秒）,
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了众数的定义，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是
解题的关键．根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：观察统计表中“个数”对应的“人数”，个数 出现 次，个数 出现 次，
个数 出现 次，个数 出现 次，个数 出现 次 ．因为 ，即个数 出现的
次数最多．
答案第1页，共2页∴“引体向上”的个数的众数是11，
故选C
5．A
【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关
系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两
个条件，分别找出物体总数与 、 的等式关系，进而列出方程．
【详解】解：∵每 3 个一数，数了 次，剩余 2 个，
∴物体总数可表示为 ．
又∵每 5 个一数，数了 次，剩余 3 个，
∴物体总数也可表示为 ．
由于物体总数是固定的，
∴
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数
轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再
结合点 对应的数，通过逆向推理得到滚动前点 对应的数．
【详解】解：由题意可得圆的直径 ，根据圆的周长公式 ，可得周长
．
圆从点 滚动到 ，滚动的距离是圆的周长 ，点 对应数是 ，那么滚动前点 对应的
数是 ，
故选D．
7．B
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的
性质可得 ，然后解直角三角形可得 ，从而得到
，即可求解．
【详解】解：如图，
答案第2页，共2页∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
同理 ，
∴ ，
∴矩形的面积是 ．
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据 ，可得
，从而得到 ，然后代入化简
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D
9．C
【分析】如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，由垂径定理得
答案第3页，共2页，进而得 ，
点 关于 的对称点为点 ，根据两点之间线段最短得当 ， ， 三点共线时，
最小，最小值为 的长，在利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，
∵ 于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 关于 的对称点为点 ，
∴ ，
∴
当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
答案第4页，共2页∴ 的最小值 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线
段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．
10．A
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握
函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象
关于 轴对称，求出 时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线 的平移，
分析直线与函数图象有四个交点时 的取值范围．
【详解】解：∵函数图象关于 轴对称，当 时， ，
∴当 时， ；当 时， ．
画出函数图象：
当 时， ，这是一个开口向上，顶点为 ，与 轴交点为
， 的抛物线一部分．
当 时， ，是一条 为 ，过 的射线．
根据对称性画出 时的函数图象．
联立 （ 时），得 ，
当 ，即 时，直线与 （ ）相切．
当直线过 时， ．
答案第5页，共2页结合图象可知，当 时，直线 与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
11．
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计
算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了等可能事件的概率计算公式，直接根据等可能事件的概率计算公式即
可求解，解题的关键是熟记等可能事件的概率计算公式．
【详解】解：∵不透明的袋子中装有 个黑球和 个白球，这些球的形状、大小、质地等
完全相同，
∴随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的
解集取值规则是关键．
先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围
即可．
【详解】解：
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵不等式组的解集是 ，
∴ ，
∴ ．
答案第6页，共2页故答案为：
14．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活
运用是解题的关键．
先确定 是等边三角形，则 ，再解直角三角形即可求解．
【详解】解：连 ，由作图可得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线 与直线
的交点在 轴上可知当 时函数值相等，得到 ，然后代入
化简即可．推导知 时函数值相等是解题的关键．
【详解】解：当 时， ， ，
∵直线 与直线 的交点在 轴上，
∴ ，
∴ ．
16．①③④
【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周
答案第7页，共2页角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌
握相关知识的联系与运用是解答的关键．
由旋转性质得 ，可得 ， ， ，进而由
即可判断①；由 即可
判断②；由 、 、 、 、 在以 为直径的圆上，可以证明 ，
即可判定③，设 ，由勾股定理解三角形可得 ，
，即可判断④．
【详解】解：由旋转可知： ，
∴ ， ， ，
∵在正方形 中，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故①结论正确，
∵ ， ，
∴ ，故②结论错误；
如图：
∵在正方形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 、 、 、 在以 为直径的圆上，
∵ ，
∴ ，故结论③正确；
答案第8页，共2页如图：过 点作 ，交 于 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，（负根已舍去）
∵ ，
∴ ，
∴ ．故结论④正确；
综上所述：①③④结论正确，
故答案为：①③④．
17．
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，
熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可
求出值．
【详解】解：原式
．
答案第9页，共2页18．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关
判定与性质成为解题的关键．
（1）先说明 ，再根据 即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再根据等边对等角的性质可得
，然后根据角的和差即可证明结论．
【详解】（1）证明： ，
．
．
在 与 中，
．
（2）解： ，
．
，
．
，
．
19．(1)100人，补全统计图见解析
(2)240人
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列
表法求解概率，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键．
（1）由A川剧班得人数除以占比，即可求解问卷调查的总人数，然后由总人数减去
的人数求出 木偶班人数，即可补全条形统计图；
（2）用样本估计整体的方法即可求解；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概
答案第10页，共2页率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：问卷调查的总人数为： （人），
∴ 木偶班人数为： （人），
∴补全统计图：
（2）解：最希望增设“木偶班”的学生人数： （人），
答：最希望增设“木偶班”的学生有240人；
（3）解：画树状图为：
由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，恰好抽中一男一女的结果数有12种，
∴恰好抽中一男一女的概率是 ．
20．(1) ， ；
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，
一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程
根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；熟记：一元二次方
程 的两个根为 ， ，则 ， 是解题的关键．
（ ）把 代入方程求出 ，然后再解一元二次方程即可；
答案第11页，共2页（ ）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把 代入方程 得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解方程得， ， ，
故 ， ；
（2）证明：方程 可化为 ，
∵ ，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得 ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ．
21．(1) ， ；
(2) 或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次
方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（ ）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点 的坐标，利用待定系数法求出
直线的解析式即可；
（ ）由题意可得 ， ，因为 ，所以 ， 然后
解方程并检验即可．
答案第12页，共2页【详解】（1）解：设反比例函数解析式为 ，
∵经过点 ，
∴ ．
∴反比例函数为 ，
∵ 在 图象上， ，
∴ ，
设一次函数解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数为 ；
（2）解：∵ 轴，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 或 或
∵点 在第二象限，
∴ 或 ．
22．(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与
答案第13页，共2页性质、解直角三角形等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）如图：连接 ，利用 证明 得到 即可证
明 是 的切线；
（2）如图：连接 ，先说明 ，即 ．再根据圆周角定理可
得 ；设 ， ，由勾股定理可得 ，即
．解答 ，进而得到 、 ；由全等三角形的性质可得
，进而得到 ；则 ，然后求得 即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ，
∴ 为 的切线．
（2）解：如图：连接 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ． ．
∵ 为直径，
∴ ， ．
答案第14页，共2页设 ， ， ，
∴ ．
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
23．(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人
(2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系
式是解题的关键．
（1）设A型客车每辆载客量为 人，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设租A型客车 辆，B型客车 辆，租车总费用 ，根据材料三先求出m的取
值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为 人，根据题意得：
．
解之得 ．
经检验： 是方程的根，且符合题意，
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．
（2）解：设租A型客车 辆，B型客车 辆，租车总费用 ，则
．
答案第15页，共2页解之得 ．
．
∵ ，且对称轴为 ，
∴ 时， 随着 的增大而增大．
∵ 取正整数，且 ，
∴当 时， 最小值为27000（元）．
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元
24．（ ）详见解析；（ ） ；（ ）
【分析】（1）连接 ，证明 ，即可求证；
（2）根据题意得点 在以 为圆心，10为半径的 的弧上． 连接 ，当点 在线段
上时， 有最小值．根据勾股定理求出 ，即可求解；
（3）过点 作 于 ，交 于点 ，证明 ，可得 ，
设 ， ，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到 ， ．
， ， ． 设 ，则 ， ．在
中，根据勾股定理求出 ，即可求解．
即 的长为5．
【详解】（1）证明：连接 ，
由折叠可得 ， ．
∵四边形 为矩形， ．
∵ 为 的中点， ，
∴ ．
在 与 中，
答案第16页，共2页∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）解： ，点 在移动过程中， 不变．
∴点 在以 为圆心，10为半径的 的弧上．
连接 ，
当点 在线段 上时， 有最小值．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（3）解：过点 作 于 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第17页，共2页∵ ， ，
∴ ．
设 ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
解得 ．
∴ ， ． ， ， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ．
解得， ，
即 的长为5．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质是解题的关键．
25．(1) ，
(2)
(3)存在定点
【分析】（1）把 代入 ，求出抛物线的解析式，令 ，即可求解；
（2）设直线 为 ，设点 ，
答案第18页，共2页，可得 且
，即可求解；
（3）设直线 解析式 ，直线 与抛物线相交于点 ， ，与抛物线
解析式联立可得 ， ， ．作 ， ，
， ， ， ．根据 ，可得
，从而得到 ，进而得到
，继而得到 ，再由直线 不垂直
于 轴，可得 ，从而得到直线 解析式 ，即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 ，
．
抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
；
（2）解：∵ ，N是抛物线顶点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
答案第19页，共2页， ，
∴ ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
可设直线 为 ，
设点 ， ，
且 ．
解得： ．
（3）解：存在定点 满足条件．
设直线 解析式 ，直线 与抛物线相交于点 ， ，
，
．
， ， ．
作 ， ， ， ， ， ．
，
．
答案第20页，共2页即 ，
，
，
．
．
．
，
直线 不垂直于 轴，
，
，
，
直线 解析式 ，
无论 为何值， ， ，
∴ 过定点 ，故存在定点 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用
数形结合思想解答是解题的关键．
答案第21页，共2页
