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7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）
一．直线与平面平行
1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
2.判定定理与性质定理
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直
判定
线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α
定理
(简记为“线线平行⇒线面平行”)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一条直线与一个平面平行，如果过该直线
性质
的平面与此平面相交，那么该直线与交线 ⇒l∥b
定理
平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
二．平面与平面平行
1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.
2.判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
定理 个平面平行，那么这两个平面平行 a∥α，b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一个平面内的直
性质 α∥β，a⊂α⇒a∥β
线平行于另一个平面
性质 两个平面平行，如果另一个平面与这两 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝
定理 个平面相交，那么两条交线平行 b⇒a∥b
三．三种平行关系的转化
四．直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互
相垂直.
2.判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如果一条直线与一个平面内的两条
判定
相交直线垂直，那么该直线与此平 ⇒l⊥α
定理
面垂直
性质
垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b
定理
五．平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
2.判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个平面的垂
判定定理 ⇒α⊥β
线，那么这两个平面垂直
两个平面垂直，如果一个平面内有
性质定理 一直线垂直于这两个平面的交线， ⇒l⊥α
那么这条直线与另一个平面垂直
六．三种垂直关系的转化
一．判断或证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义(无公共点).
（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
⑤线面平行的性质定理
（3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
（4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
二．证明面面平行的常用方法
1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
三．平行关系中的三个重要结论
1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2.平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
四．必背常用结论
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
7． 垂直于同一条直线的两个平面平行
8． 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．
五．证明线面垂直常用的方法
1.判定定理：线面垂直→线线垂直
2.垂直于平面的传递性
3.面面垂直的性质.
4.线面垂直的定义
六．三个重要结论
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
3垂直于同一条直线的两个平面平行.
考法一 线面平行
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-1】（2023浙江省）如图，正三棱柱 中，点 为 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】连接 ，与 相交于 ，连接 ，则 是 的中点， 又 为 的中点，所以
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
【例1-2】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ，，
， 为棱 的中点.，证明： 平面
【答案】证明见解析；
【解析】取线段 的中点 ,连接 ,
则 为 的中位线,∴
由题知 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ,∴四边形 为平行四边形.
∴
又∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面
【例1-3】（2023·海南）如图，在四棱锥 中， ， ，M是棱 上
一点，若 ，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】连接BD交AC于点 ，连接OM，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 平面MAC，
所以 平面MAC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-4】（2023·福建）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD， 平面ABCD，且
，求证： 平面AEC
【答案】证明见解析
【解析】 如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令 .
则 .
∵四边形ABCD为正方形，∴ .
∵ 平面ABCD，且平面 平面 ， 面 ，∴ ，
∴ ， ，即四边形BOEF为平行四边形，∴ .
又 平面AEC， 平面AEC，∴ 平面AEC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-5】（2023·安徽）如图， 中， ， 是正方形，平面 平面 ，
若 、 分别是 、 的中点．求证： 平面 ；
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，取 的中点 ，连接 ．
，F分别是 和BD的中点， BC，HF DE．
又 四边形 为正方形， ，从而 ．
平面ABC， 平面ABC， 平面ABC.
同理 平面ABC，又 . 平面 平面 .
∵ 平面 ，则 平面ABC；
【例1-6】（2023·湖南长沙）如图所示的在多面体中， ，平面 平面 ，平面
平面 ，点 分别是 中点，证明： 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】如图，取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为点 分别是 中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【一隅三反】
1．（2023春·贵州）如图，在正方体 中，E，F分别是棱 ，AB的中点，求证： 平
面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析；
【解析】在正方体 中，连接 ，如图，
由于 是正方体 的对角线，则有 的中点 是 的中点，
而F是棱AB的中点，于是 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
2．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知直棱柱 的底面 为菱形，点 为 的中点，
证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接 交 于点 ，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直四棱柱 中， ∥ ，
四边形 为平行四边形， ∥ ，
又底面 为菱形，∴点 为 的中点．
∵ 为 的中点，∴点 为 的中点， ∥ ，
四边形 为平行四边形， ∥ ，
又 平面 平面 ， ∥平面 ；
3．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形， ，AB=2CD，设平面
PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明： 平面DEF．
【答案】证明见解析
【解析】证明：延长AD，BC交于点M，因为 ，AB=2CD，
所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以 ，
因为 平面DEF， 平面DEF，所以 平面DEF，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又P， 平面PAD，P， 平面PBC，
所以平面 平面PBC=PM，即直线l为直线PM．所以 平面DEF．
4．（2023·云南）已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点.现将四边形 沿 折起，
如图所示.若点 ， 分别是 ， 的中点，求证： 平面 .
【答案】证明见解析.
【解析】证明：如图，连接 ，设点 为 的中点，连接 ， ，
在 中，因为点O为AF 的中点，点G为AC的中点，
所以OG//CF .
因为OG平面EFCD，CF 平面EFCD，所以OG//平面EFCD.
同理可证得OH//AB，
又因为E，F 分别为正方形ABCD的边AD，BC的中点，
故EF//AB，所以OH//EF.
因为OH 平面EFCD，EF 平面EFCD，所以OH//平面EFCD.
又因为OHOGO，OH 平面GOH ，OG平面GOH ，
所以平面GOH//平面EFCD.
又因为GH �平面GOH ，所以GH//平面EFCD.
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形， ，
， 分别为棱 的中点， 为线段 的中点，证明： 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析；
【解析】在三棱柱 中，连接 ，交 于点 ，连接 ，如图，
四边形 为平行四边形，有 ，而 为 的中点，则 ，
由 ，得 ，又 分别为 的中点，即有 ，
因此 ，则 ，而 平面 平面 ，
所以 平面 ．
6．（2023·全国·高三对口高考）已知正方形 和正方形 ，如图所示， 、 分别是对角线 、
上的点，且 ．求证： 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】证明：过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以， ，
因为四边形 为矩形，则 ，所以， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 .
考法二 面面平行
【例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于
点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF，求证：平面 平面PCD
【答案】证明过程见详解
【解析】因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形 的中位线，OF为三角形 的中位线， 所以 , ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
而 , 平面 ， 平面 ， 平面 平面PCD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023·上海）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， 分别为棱 中点，求证：平面 平面
【答案】证明见解析
【解析】 为 中点， ， ， ， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
分别为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 .
2．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱 与正四棱锥 组
合而成， 与 交于点 ， ， ， ，证明：平面 平面
【答案】详见解析；
【解析】正四棱锥 中，连接 交 于O，则 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，又 ， ，则 ，
又 ，则四边形 为菱形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ；
3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中， 形 为矩形，求证：平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】由 平面 平面 ，所以 平面 ，
四边形 为矩形，则 ， 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 平面 ， 平面 平面 .
考法三 平行中的动点
【例3】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 ，若点 在
线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】点 为线段 上靠近点 的三等分点；
【解析】如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 ，所以 四点共面，
若 平面 ，由 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形， ,则 ，
所以当且仅当点 为线段 上靠近点 的三等分点时， 平面 .
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， 底面 ， 为
棱 上的点， ， ，若 平面 ，求证：点 为 的中点
【答案】证明见解析
【解析】解：解法一：∵ 底面 ， ，故可以 为坐标原点， ， ， 的方向分
别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ， 可得 ， ， ， ， ，
则 ， ， ．
∵ 底面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ， ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
故 为平面 的一个法向量．
设 ， ，
则 ．
∵ 平面 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 为 的中点．
解法二：过 作 ，交 于 ，连接 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ， ， 共面．
∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 ，∴ ，又 ，∴ 为 的中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是梯形， ，
，E是棱PA上一点， ，当 平面EBD，求实数λ的值
【答案】 ；
【解析】在四棱锥 中，连接 ，交 于点 ，连接 ，如图，
因为 平面 平面 ，平面 平面 ，则 ，
因为 ，即 ，因此 ，
由 ，得 ，于是 ，所以实数λ的值为 .
3．（2023·北京通州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，四边形 是正方形，
， 为 的中点，D为棱 上一点， 平面 ，求证：D为 中点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析；
【解析】 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
，又因为 ，⸫四边形 为平行四边形，且因为 为 的中点，⸫
，⸫ D为 中点.
考法四 线面垂直
【3-1】（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
，求证： 平面PAB；
【答案】证明见解析
【解析】因为 平面 平面 ，所以 ，同理 ，所以 为直角三角形，
又因为 ， ，所以 ，则 为直角三角形，故
，
又因为 ， ，所以 平面 .
【例3-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 在平面ABC的射影恰为等边
三角形ABC的中心，且 ， ，证明： 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见详解
【解析】设 在平面ABC的射影为 ，连接 ，
由题意可得： 平面ABC， ，
且 平面ABC，则 ，
可得 ，
则 ，可得 ，
同理可得： ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
又因为 // ，所以 平面 .
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交
的延长线于点 ， .连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点
的位置.如图2.证明：直线 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】证明：图1中，在 中， 所以 .所以
也是直角三角形，
，
在图2中， 所以 平面 .
【一隅三反】
1．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边
形，PA⊥平面ABCD， ，点M在棱PD上，且 ， ，求证：CD⊥平
面PAD
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，AD，CD 平面ABCD，所以 ， ．
⊂
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ， ， 平面 ，
所以AM⊥平面PCD，
因为CD 平面PCD，所以 ，
又因为 ⊂ ， ， 平面 ，
所以CD⊥平面PAD．
2．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面与平面 互相垂直，
且 ， ， ，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】在矩形 中， ，
又平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
在矩形 中， ,又 ，所以 ,所以 .
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
3．（2023广西）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，
且 ， ， ．证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接AF，由题意知 为等腰三角形，而 为 的中点，所以 ．
又因为平面 平面 ，且 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．而 ， 平面 ，所以 平面 ．
连接 ，则 ， ， 而 ， ，所以 且 ，
所以 是平行四边形，因此 ，故 平面 ．
考法五 面面垂直
【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥 中， ， ， ， ，
为等边三角形， ，证明：平面 平面PBC
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，由余弦定理得， ，
则 ，故 ，
由 ， ， ，同理可得 且 ，
故 为二面角 的平面角，
又 ，则 ，故 ，故平面 平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且 ，则四边形ABCE为矩形，
故 ．又 平面ABCD，平面 平面 ，
故 平面PCD，又 平面PBC，则平面 平面PBC．
【一隅三反】
1．（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是
平行四边形， 平面 ， ， ，求证：平面 平面
【答案】证明过程见详解
【解析】在 中, ，
，∴ ，
∵ 平面 , 平面 ，∴ .
又∵ , 平面 ，∴ 平面 ，
又 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
2．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在三棱柱 中， 侧面
， 为棱 的中点，三角形 为等边三角形， ， ，求证：面 面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】 面 ， ，
三棱柱 中， ， ，又 为 的中点，
三角形 为等边三角形， ， ，
在三角形 中，
在三角形 中， ， ，
又 ， ， 面 ， 面 ，
面 ， 面 ,所以面 面
3（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥 的底面是矩形， 平面 ，E、F分别是 、
的中点，又二面角 大小为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）取PC的中点G，连接EG、FG，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为F为PD的中点，
所以GF CD，GF CD，
因为CD AB，CD AB，又E为AB的中点，所以AE GF，AE GF，
所以四边形AEGF为平行四边形，
所以AF GE，且 平面PEC，因此AF 平面PEC.
（2）因为PA 平面ABCD， 平面ABCD，所以PA CD，
因为 ， ， 平面PAD， 平面PAD，所以CD 平面PAD，
平面PAD， 平面PAD，所以CD AF，CD PD，
所以二面角 的平面角为 ，则 ，
又且F为 斜边PD的中点，所以 ，
又 ， 平面PCD， 平面PCD，所以AF⊥平面PCD，
由（1）知AF GE，所以EG⊥平面PCD.
因为EG 平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.
考法六 线线垂直
【例6-1】（2023·山东）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
，侧面 平面 ，求证： .
【答案】证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】证明：因为 ，可得
设 ，可得 ， ，所以 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
【例6-2】（2023春·北京朝阳）如图，已知四棱锥 底面 是正方形， ， 、 是
的 ， 中点， 为线段 上一个动点，平面 交直线 于点 ．
(1)若 ，平面 平面 ，求证： ；
(2)若 ， ，求证： ；
(3)直线 是否可能与平面 平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 , 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
（2）因为 ， 是正方形，所以 , .
因为 ，所以 ，即 .
又 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）取 的中点 ，连接 ，
因为 、 是 ， 的中点，所以 ，且 .
又 ，且 ,所以 ， ,
所以四边形 是平行四边形，所以 .
当 为 中点时， 为 中点，此时 为 的中位线，
所以 ， 四点共面.
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
【一隅三反】
1．（2023·湖南郴州）在三棱锥 中，已知 为正三角形，求证：
【答案】证明见解析
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为正三角形， ，
，又 平面 平面 平面 ，
又 平面 .
2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，
为 的中点，证明：
【答案】证明见解析
【解析】如图，取 的中点 ，连接 .又 为 的中点，所以 .
又 ，所以 .因为 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
3．（2023春·安徽）在四面体 中，点H为 的垂心，且 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求证： ；
(2)若 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】1）连接 并延长，交于 于点 ，连接 ，
因为点H为 的垂心，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 平面 ，且 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）取 的中点 ，连接 ，由（1）得 ，
因为 ，且点 为 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 垂直平分线段 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
