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热点 3-3 正弦定理与余弦定理
“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。对于解答
题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量
等知识综合命题。以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形
问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有
关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。
【题型1 正、余弦定理解三角形边与角】
满分技巧
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之
间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），
并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
【例1】（2024·全国·模拟预测）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）在 中， ，则 （ ）A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·新疆·校联考一模）在 中，角 的对应边是 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知在 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，
已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 .
【题型2 正弦定理判定三角形解的个数】
满分技巧
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定；
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角
形不能被唯一确定。
（1）从代数的角度分析：以已知 和 ，解三角形为例
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
** 错误的表达式 **若 ，则满足条件的三角形的个数为0；
** 错误的表达式 **若 ，则满足条件的三角形的个数为1；
** 错误的表达式 **若 ，则满足条件的三角形的个数为1或者2；
显然由若 可得 有两个值，一个大于 ，一个小于 ，考虑“大边对大角”、
“三角形内角和等于 ”等，此时需进行分类讨论。（2）画图法：以已知角的对边为半径画圆弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当A为锐角时：
当A为钝角时
【例2】（2023·山东临沂·高三校考阶段练习）（多选）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（ ）
A． ， ， ，有两解 B． ， ， ，有两解
C． ， ， ，只有一解 D． ， ， ，只有一解
【变式2-1】（2022·河北张家口·高三校联考期中）（多选）在 中，内角 所对的边分别为
，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在 中， ， ， ，满足条
件的 （ ）
A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在
【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .若 ，且该三
角形有两解，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．【变式2-4】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）（多选）在 中， ，若满
足条件的三角形有两个，则 边的取值可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【题型3 正、余弦定理判断三角形形状】
满分技巧
判定三角形形状的两种常用途径
1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；
2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
【例3】（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，若
，则 为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，已知
．若 ， ， 成等比数列，则 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不确定
【变式3-2】（2023·甘肃酒泉·统考三模） 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且
，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形
【变式3-3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·高三海拉尔第一中学校考阶段练习） 的内角 的对边分别
为 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形或直角三角形
【变式3-4】（2024·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边
分别为a，b，c，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【题型4 求三角形（四边形）的面积】满分技巧
1、常用的三角形面积公式：
a b c
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，边 ， ， 边上的高分别记作 ， ，
， 为内切圆半径， 为外接圆半径， 为内切圆心。
（1）
（2）
（3）
（4）
2、与三角形面积有关问题的解题策略
（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量。
【例4】（2024·江西上饶·高三校考阶段练习）在 中， ， ， 分别为 ， ， 的对边，且
， ， 的面积为 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·陕西渭南·统考一模）在 中， ， ， ，则 的面
积为 .
【变式4-2】（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
成等差数列， ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C．12 D．16
【变式4-3】（2024·重庆长寿·高三统考期末）在 中， ，且 的面积为 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式4-4】（2024·陕西西安·统考一模）在三角形 中，内角 的对边分别为 ， ， ，已知， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角形的外接圆问题】
满分技巧
正弦定理： （其中 为外接圆半径）
【例5】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
， ，则 外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
已知 ， ，则 外接圆的半径为（ ）.
A． B． C． D．3
【变式5-2】（2022·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ， ，则 外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·河南南阳·高三统考期中）在 中, 角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， 则 的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分
别为a，b，c，若 ， ，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 证明三角形中恒等式或不等式】【例6】（2024·江西赣州·高三统考期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
（1）证明： ；
（2）记边AB和BC上的高分别为 和 ，若 ，判断 的形状．
【变式6-1】（2024·湖南长沙·统考一模）在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且满
足 .
（1）证明： ；
（2）如图，点 在线段 的延长线上，且 ， ，当点 运动时，探究 是否为定
值？
【变式6-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 ．
【变式6-3】（2024·河南焦作·高三统考期末）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的值．
【变式6-4】（2024上·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为
﹐已知 ．
（1）若 ，求B；
（2）证明： .【题型7 距离、高度、角度的测量】
满分技巧
解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
1、求距离、高度问题
（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知
量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程
(组)得出所要求的量．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2、求角度问题
（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图
时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
【例7】（2023·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）如图，某人为测量塔高 ，在河对岸相距 的 ，
处分别测得 ， ， （其中 ， 与塔底 在同一水平面内），则塔高
（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·福建厦门·高三湖滨中学校考阶段练习）如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城
明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清
天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛
外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面
一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236， ≈2.646)（
）
A．53 B．55 C．57 D．60【变式7-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）某校学生参加课外实践活动“测量一土
坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得 ，沿土坡向坡顶前进 后到达D处，测得 ．
已知旗杆 ，土坡对于地平面的坡角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022·吉林·统考模拟预测）位于灯塔A处正西方向相距 n mile的B处有一艘甲船需
要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距 n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线
（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
【变式7-4】（2024·全国·高三专题练习）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，
至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点 、 、 处
分别测塔顶的仰角为 、 、 ，且 m，则文星塔高为 m.
【题型8 正余弦定理与三角函数综合】
【例8】（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的最值及取得最值时 的取值集合；
（2）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，且 ，
求 的面积．
【变式8-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知函数 .（1）求 的最小正周期；
（2）在 中， 分别是角 的对边，若 ， ，且 的面积为 ，求
外接圆的半径.
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点 ， ，
，点D是线段EF上靠近点F的三等分点，且 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ， ， 的面积为 ，求a的
值．
【变式8-3】（2023·福建泉州·高三德化第一中学校联考阶段练习）已知函数
（1）当 ，求 的最值，及取最值时对应的 的值；
（2）在 中， 为锐角，且 ，求 的面积．
【变式8-4】（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知函数
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， 内切圆面积为 ，求
的最小值；
（建议用时：60分钟）
1．（2024·四川自贡·统考一模）在 中角 所对边 满足 ，
则 （ ）A．4 B．5 C．6 D．6或
2．（2023·海南·校考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三校联考专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a，b，c成等
比数列，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）若在 中满足： 则 边上的高为（
）
A． B． C． D．
5．（2023·新疆·高三校联考期中）在 中，已知向量 ，向量
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中， ， ，且 的面积为
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）在 中， ，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 的对边分别是 ，且 ， 的外
接圆半径为 ， 边上的高为2，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
9．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
10．（2023·江苏南通·高三校考开学考试）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建
筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得
， ， 米，在C点测得塔顶A的仰角为 ，则塔的总高度为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·辽宁大连·高三统考期末）（多选）在 中，角 的对边分别是 ，若
， ，则（ ）
A． B． C． D． 的面积为
12．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）（多选）若 的三个内角 的正弦值为 ，则
（ ）
A． 一定能构成三角形的三条边
B． 一定能构成三角形的三条边
C． 一定能构成三角形的三条边
D． 一定能构成三角形的三条边
13．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）（多选）在 中，角A，B，C的
对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（ ）
A．当 时，满足条件的三角形共有1个
B．若 是钝角三角形，则
C．若 ，则
D．当 时， 的周长为
14．（2023·浙江湖州·高三湖州市第二中学校考期中）（多选）已知 的内角 所对的边分别为
，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定是等腰三角形
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 一定是等边三角形D．若 ，则 是直角三角形
15．（2023·全国·高三校联考阶段练习）记△ 的内角 的对边分别为 ，若 ，
，则 ．
16．（2024·四川攀枝花·统考二模） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
，则 ．
17．（2023·全国·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C所对应的边为a，b，c.若 的面积
，其外接圆半径 ，且 ，则 .
18．（2024·山西晋城·统考一模）在 中， ， ， ．
（1）求A的大小；
（2）求 外接圆的半径与内切圆的半径．
19．（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在四边形 中，
.
（1）证明： .
（2）证明： .
20．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知函数
（1）求函数 的最小正周期及函数在 上的最大值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 求sinB的值.
