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重难点 3-2 解三角形的综合应用
解三角形一直是高考数学中的热门考点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推
理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基
本不等式等方法加以解决。
【题型1 四边形中的解三角形问题】
满分技巧
四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，观察各个三角形之间的关系，找出同角、共
边的三角形，有时还需结合三角恒等变换。
【例1】（2024·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形 中，角 为钝角，且
.
（1）求钝角 的大小；
（2）若 ，求 的大小.
【变式1-1】（2024·云南昆明·统考一模）在 中， ， ， .（1）求 的面积；
（2）如图， ， ，求 .
【变式1-2】（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知四边形 的外接圆面积为 ，且
为钝角，
（1）求 和 ；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【变式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形 中， 为 的
中点， ， ， ，
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
【题型2 解三角形中的中线应用】
满分技巧
1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2
)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
1
2、向量法：
⃗AD2= (b2+c2+2bccosA)
4
BD
【点睛】适用于已知中线求面积（已知 的值也适用）.
CD
【例2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， 且
.（1）求角 ；
（2） ， ，点 在 上， ，求 的长.
【变式2-1】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在 中，内角 所对应的边分别为 ，
且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，且 ，求 边的中线长．
【变式2-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，BC边上的中线 ，求 的面积．
【变式2-3】（2024·重庆·统考一模）在梯形 中， 为钝角， ，
．
（1）求 ；
（2）设点 为 的中点，求 的长．
【变式2-4】（2024·全国·高三专题练习）在 中， ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 边
上中线的长．
条件①： 的面积为 ；条件②： ；条件③： ．
【题型3 解三角形中的垂线应用】
满分技巧1 1 1 1 1 1
h :h :h : : : :
1、 h 1 ，h 2 ，h 3分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 1 2 3 a b c sinA sinB sinC
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在 中，内角A，B，C满足
．
（1）求 ；
（2）若 边上的高等于 ，求 ．
【变式3-1】（2024·福建·高三校联考开学考试）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求A；
（2）过点A作 的垂线与 的延长线交于点D， ， 的面积为 ，求 的周长．
【变式3-2】（2024·江苏常州·高三统考期末）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 边
上的高为 ，已知 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【变式3-3】（2024·江西赣州·高三统考期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
（1）证明： ；
（2）记边AB和BC上的高分别为 和 ，若 ，判断 的形状．
【变式3-4】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且
，过点A作 ，使得四边形ABCD满足 ， ．（1）求角 的大小；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【题型4 解三角形中的角平分线应用】
满分技巧
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c
1、利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
AB BD
2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则 = .
AC DC
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，
就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
3、等面积法：
1 A 1 A 1
因为S +S =S ，所以 c∙ADsin + b∙ADsin = bcsinA，所以
∆ABD ∆ACD ∆ABC 2 2 2 2 2
A
(b+c)AD=2bc cos
2
A
2bccos
整理的： 2 （角平分线长公式）
AD=
b+c
【例4】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）在 中，
.
（1）求 ；
（2）若 ，点 在边 上， 平分 ，求 的长.
【变式4-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， .
（1）求角A；
（2）作角A的平分线与 交于点 ，且 ，求 .【变式4-2】（2024·山东济南·高三统考期末）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ，
．
（1）求B，
（2） 的平分线交边 于点D，且 ，求b．
【变式4-3】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在 中，已知 .
（1）求 的长；
（2）若 的平分线 交 点 ，求 的最大值.
【变式4-4】（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在 中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边
上, , , .
（1）求 的大小;
（2）若 ,求 的面积.
【题型5 解三角形中的等分点应用】
满分技巧
当所三角形问题不再是中线、角平分线、垂线这些特殊情况时，要注意结合补角的三角函数关系以及同
角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量。
【例5】（2024·山西太原·高三统考期末）在 中， ， ， 分别为内角 的对边，点 在线
段 上， ， ， 的面积为 .
（1）当 ，且 时，求 ；
（2）当 ，且 时，求 的周长.
【变式5-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）在 中，角 的对边分别为 ，已知.
（1）求证： ；
（2）若点 在边 上，且 ，求 的面积.
【变式5-2】（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别为 ， ，
，且 ．
（1）求 ；
（2）已知 ， 为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
【变式5-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
（1）求证： ；
（2）如图：点 在线段 上，且 ，求 的值.
【变式5-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ，
的对边，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，点 在边 上， ，且 ，求 ．【题型6 与三角值有关的最值范围】
满分技巧
三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式求最值-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求
最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以
转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
【例6】（2024·全国·模拟预测）记 的内角 所对边分别为 ，已知
．
（1）证明： ；
（2）求 的最小值．
【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
【变式6-2】（2024·山东枣庄·高三统考期末）在 中，角 所对的边分别为 .若
.
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【变式6-3】（2023·湖南永州·统考二模）记 三个内角 的对边分别为 ，已知 为锐角，
．
（1）求 ；
（2）求 的最小值．【变式6-4】（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在 中，角A、B、C所对的
边分别为a、b、c，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
【题型7 与边或周长有关的最值范围】
【例7】（2022·河南·高三专题练习）已知 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在① ，②
，③ 三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决
该问题.
在 中，角 所对的边分别为 ，__________，且 .求：
（1） ；
（2） 周长的取值范围.
【变式7-3】（2024·青海西宁·高三统考期末）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
【变式7-4】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知 的内角 的对边分别为，且 的面积为
（1）求 ；
（2）求 周长的最小值.
【题型8 与面积有关的最值范围】
【例8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知该
三角形的面积 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 时，求 面积的最大值．
【变式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在锐角 中，角 所对应的边分别为
，已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
【变式8-2】（2024·上海普陀·高三校考期末）在 中，已知 分别为 的对边，且
， ，
（1）求 满足的表达式
（2）如果 ，求出此时 面积的最大值.
【变式8-3】（2024·江西·高三校联考期末）如图，在△ABC中， ，D为△ABC外一点，
，记 ， .
（1）求 的值；（2）若 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值.
【变式8-4】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，
c，点O为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，已知 ，
.
（1）在① ；② ；③ 中选一个作为条件，判
断 是否存在，若存在，求出 的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，
按第一个解答计分.）
（2）若 为锐角三角形，求 面积的取值范围.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·广东深圳·高三校考期末）在平面四边形 中， ， ，对角线 与 交于
点 ， 是 的中点，
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求
2．（2024·浙江·校联考一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）设边 的中点为 ，若 ，且 的面积为 ，求 的长．
3．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知 中， ．
（1）求 ；
（2） 的平分线交 于 ，求 的长．4．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，点 在 内部，且 ， ，求 的面积．
5．（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）在 中，角 所对的边分别为 边上的高
设为 ，且 .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围.
6．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）在 中，已知 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）已知中线 交 于 ，角平分线 交 于 ，且 ， ，求 的面积．
7．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为
.
（1）求 的值；
（2）若 为线段 上一点且满足 平分 ，求 的面积的取值范围.
8．（2024·山东威海·高三统考期末）在 中，角 所对的边分别为 记 的面积为 ，
已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值.9．（2024·湖北·校联考模拟预测）在 中，已知 ，D为 的中点.
（1）求A；
（2）当 时，求 的最大值.
10．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）记钝角 的内角 的对边分别为 ．若 为锐
角且 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 周长的取值范围．
