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专题 4.2 平面向量的概念及线性运算
【新高考专用】
题型一 平面向量的基本概念
1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路
程；⑦密度.其中是向量的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③若向量⃗a与⃗b不共线，则⃗a与⃗b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则⃗a>⃗b．
A．0 B．1
C．2 D．3
3．（23-24高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
4．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：
①若 ⃑a//⃑b,⃑b//⃑c ，则⃑a//⃑c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ．
题型二 向量的几何表示与向量的模
5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|⃑AB+⃑FE+⃑CD|=
（ ）A．1 B．2 C．3 D．2√3
6．（23-24高一上·河北保定·期末）若平面向量⃗a,⃗b,⃗c两两所成的角相等，且⃗a|=2,|⃗b|=2,|⃗c|=6，则
|⃗a+⃗b+⃗c|=（ ）
A．4 B．8 C．4或10 D．10或8
7．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|⃗AB+⃗FE+⃗CD|＝
．
8．（23-24高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从
岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过1h，该船的实际航程是 km.
题型三 向量加、减法的几何意义
9．（2024·广东湛江·一模）在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记⃗AC=⃗a，⃗DB=⃗b，则⃗AE=
（ ）
1 1 2 1
A． ⃗a− ⃗b B． ⃗a+ ⃗b
2 4 3 3
1 3 1
C．⃗a+ ⃗b D． ⃗a+ ⃗b
2 4 4
10．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足⃗BD=2⃗DC，则向量
⃗AD=（ ）
1 1 1 2
A． ⃗AB+ ⃗AC B． ⃗AB+ ⃗AC
3 3 3 3
2 1 2 2
C． ⃗AB+ ⃗AC D． ⃗AB+ ⃗AC
3 3 3 311．（23-24高一下·海南·阶段练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若⃑AB=⃑a，⃑AD=⃑b，
⃑OD=⃑c，则⃑OB= .
12．（2024高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是△ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：
①⃗FD+⃗DA−⃗AF=0⃗ ②⃗FD+⃗DE−⃗EF=0⃗ ③⃗DE+⃗DA−⃗BE=0⃗ ④⃗AD+⃗BE−⃗AF=0⃗
其中正确的题号是 ．
题型四 向量的线性运算
13．（2024高一下·全国·专题练习）化简： （ ）
3(⃗a+⃗b)+⃗b−4(⃗a−⃗b)=
A．2⃗b−⃗a B．−⃗a C．6⃗a−⃗b D．8⃗b−⃗a
14．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AC与BD相交于点O，
则下列结论错误的是（ ）
1
A．⃗AC−⃗AD= ⃗AB B．|⃗OA+2⃗OC|=0
2
2 1
C．⃗OA= ⃗CD+ ⃗CB D．⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA=0⃗
3 3
15．（23-24高一下·吉林白城·阶段练习）化简 .
4(⃑a−3⃑b)−6(−2⃑b−⃑a)=
16．（2024高一·全国·课后作业）若向量⃗a=3i⃗−4⃗j，⃗b=5i⃗+4⃗j，则 (1 ⃗a−⃗b ) −3 ( ⃗a+ 2 ⃗b ) +(2⃗b−⃗a)=
3 3
.题型五 根据向量线性运算求参数
1
17．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为△ABC所在平面内的点，且⃗BA+ ⃗BC=2⃗BE.若
2
n
⃗CE=m⃗AB+n⃗AC，则 =（ ）
m
1 1
A．−3 B．3 C． D．−
3 3
18．（24-25高三上·浙江·期中）在△ABC中，D是BC上一点，满足⃗BD=2⃗DC，M是AD的中点，若
⃗BM=λ⃗BA+μ⃗BC，则λ+μ=（ ）
5 7 5 5
A． B． C． D．
4 8 6 8
λ
19．（2024·贵州·模拟预测）在△ABC中，点D为边BC中点，若⃗AD+⃗BC=λ⃗AB+μ⃗AC，则 = .
μ
20．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足⃗AC=3⃗AG，若
⃗DG=m⃗AB+n⃗AD，则m−n= .
题型六 向量共线定理及其应用
21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB=λ⃗a+⃗b,⃗AC=⃗a+μ⃗b，其中λ>0,μ>0，若
A,B,C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
22．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，且 ，
⃗e ⃗e ⃗a=(2k−1)⃗e +2⃗e ⃗b=⃗e −⃗e ⃗a//⃗b
1 2 1 2 1 2
则k=（ ）
1 3
A．− B．0 C．1 D．
2 2
23．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量 不共线， ，若 ，则
⃗m,⃗n ⃗a=λ⃗m+⃗n,⃗b=(λ−1)⃗m−2⃗n ⃗a//⃗b λ=
.
2
24．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点（与端点不重
3
x+ y
合），设⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则 的最小值是 .
xy一、单选题
1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（ ）
A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨
2．（23-24高一下·河南许昌·期末）已知点 在 所在平面内，满足 ，则点 是
O △ABC |⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC| O
△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
3．（2024·甘肃白银·一模）⃗AB+⃗BC+2⃗CD−⃗CE= （ ）
A．⃗AD B．⃗AE C．⃗AD+⃗CD D．⃗AD+⃗ED
4．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（ ）
A．⃗AB与⃗AC共线 B．⃗DE与⃗CB共线
C．⃗CD与⃗AE相等 D．⃗AD与⃗BD相等
5．（2024·四川南充·一模）已知正方形 的边长为1，则 （ ）
ABCD |⃗AB+⃗BC−⃗CA|=
A．0 B．√2 C．2√2 D．4
6．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，⃗AE=2⃗EC,⃗EF=⃗FB，则（ ）
1 5 2 5
A．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD B．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD
3 6 3 6
5 1 5 2
C．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD D．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD
6 3 6 3
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量 与 不共线，向量 ，若 ，
⃗a ⃗b ⃗m=x⃗a+⃗b,⃗n=⃗a+(3x−2)⃗b ⃗m//⃗n
则实数x的值为（ ）
1 1 1
A．1 B．− C．1或− D．−1或
3 3 38．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC，则直线OP
经过△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
二、多选题
9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是
（ ）
A．与⃗AB相等的向量只有1个（不含⃗AB）
B．与⃗AB的模相等的向量有9个（不含⃗AB）
C．⃗BD的模恰为⃗DA的模的√3倍
D．⃗CB与⃗DA不相等
10．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足
⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC，则（ ）
A．O,P,G三点共线 B．⃗OP=2⃗OG
C．2⃗OP=⃗AP+⃗BP+⃗CP D．点P在△ABC的内部
1
11．（2024·山西晋中·模拟预测）在△ABC中，D为边AC上一点且满足⃗AD= ⃗DC，若P为边BD上一点，
2
且满足⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（ ）
1
A．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为
12
1 1 1 1
C． + 的最大值为12 D． + 的最小值为4
λ 3μ λ 3μ
三、填空题
12．（2024·河南·二模）已知 不共线，向量 ， ，且 ，则 ．
⃗e ,⃗e ⃗a=3⃗e −2⃗e ⃗b=k⃗e +6⃗e ⃗a//⃗b k=
1 2 1 2 1 2
13．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题：
①若向量⃗a∥⃗b，⃗b∥⃗c，则⃗a∥⃗c；
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；③在菱形ABCD中，一定有⃗AB=⃗DC.
其中是真命题的为 .（填序号）
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算
经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形).
类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q在△≝¿ 内 (含边界)一点，若
⃗PQ=λ⃗PD+⃗PA，则λ的最大值为 .
四、解答题
15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形AFDC中，AC=2AF，B，E分别为边AC，DF的中
点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与⃗AF，⃗AE相反的向量；
(2)分别找出与⃗AF，⃗AE相等的向量.
16．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：
(1)⃗AB+⃗DA+⃗BD−⃗BC−⃗CA．
1 1 3
(2) (4⃗a+3⃗b)− (3⃗a−⃗b)− ⃗b；
3 2 2
(3) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ．
2(3a−4b+c)−3(2a+b−3c)17．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量．
(1) ，点 在点 的正东方向；
|⃗OA|=2 A O
(2) ，点 在点 的北偏东 方向；
|⃗OB|=2√2 B O 45°
(3)求出 的值．
|⃗AB|
18．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知 、 是两个不平行的向量，向量 ，
⃗e ⃗e ⃗AB=3⃗e −2⃗e
1 2 1 2
， ，
⃗BC=−2⃗e +4⃗e ⃗CD=−2⃗e −4⃗e
1 2 1 2
(1)求证：⃗AC//⃗CD；
(2)判断A、C、D三点的位置关系.
19．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设 ， 是两个不共线的向量， ， ，
⃗e ⃗e ⃗AB=2⃗e −⃗e ⃗BC=3⃗e +⃗e
1 2 1 2 1 2．
⃗CD=7⃗e −6⃗e
1 2
(1)求证：A,B,D三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λ⃗e +⃗e 与⃗e +λ⃗e 共线．
1 2 1 2
