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专题05 变量之间的关系压轴题五种模型
【类型一 表格表示变量之间的关系模型】
例题：（2021·全国·八年级专题练习）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念
所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
1
提出概念所用时间（x） 2 5 7 12 13 14 17 20
0
5
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.8 59.9 59.8 58.3 55
9
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）
从第13分钟以后开始逐渐减弱
【解析】
【分析】
（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；
（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；
（3）提供变化情况得出结论．
【详解】
解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时
间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）根据表格中的数据，学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【点睛】
本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．
【变式训练1】（2021·全国·七年级专题练习）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x
（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是
固定不变的）．
x
500 1000 1500 2000 2500 3000 …
（人）y ﹣ ﹣
﹣2000 0 1000 2000 …
（元） 3000 1000
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是 变量和 变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】（1）每月的乘车人数，每月利润；（2）2000人；（3）4000元
【解析】
【分析】
（1）根据函数的定义即可求解；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，即可求解；
（3）有表中的数据推理即可求解．
【详解】
解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
故答案为：每月的乘车人数，每月利润；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：2000；
（3）有表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000-2000）
÷500×1000=4000元．
【点睛】
本题考查了根据表格与函数知识，正确读懂表格，理解表格体现变化趋势是解题关键．
【变式训练2】（2020·全国·八年级课时练习）一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动 秒内的速度经测量
如下表：
时间
（秒）
速度
（米/秒）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用时间 表示时间， 表示速度，那么随着 的变化， 的变化趋势是什么？
（3）当 每增加 秒， 的变化情况相同吗？在哪个时间段内， 增加的最快？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为 千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达
到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2） 到 和 到 ， 随着 的增大而增大，而 到 ， 随着
的增大而减小；（3）不相同；第 秒时；（4） 秒．
【解析】
【分析】
（1）根据表中的数据，即可得出两个变量以及自变量、因变量；
（2）根据时间与速度之间的关系，即可求出 的变化趋势；
（3）根据表中的数据可得出 的变化情况以及在哪 秒钟， 的增加最大；
（4）根据小汽车行驶速度的上限为 千米/小时，再根据时间与速度的关系式即可得出答案．
【详解】
解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）如果用 表示时间， 表示速度，那么随着 的变化， 的变化趋势是 到 和 到 ， 随着 的增大
而增大，而 到 ， 随着 的增大而减小；
（3）当 每增加 秒， 的变化情况不相同，在第 秒时， 的增加最大；
（4）由题意得： 千米/小时= （米/秒），
由 ，且 ，
所以估计大约还需 秒．
【点睛】
本题主要考查函数的表示方法，常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量，然后结合图表得到问题的
答案即可．
【变式训练3】（2019·广东深圳·七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数 (人)
与每月利润(利润=收入费用-支出费用) (元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；
(1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；(填中文)
(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为 元？
(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 人.
【答案】(1)每月的乘车人数，每月利润；(2)2000；(3)3000；(4)4500.【解析】
【分析】
（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；
（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．
【详解】
解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
(2) ∵观察表中数据可知，当每月乘客量达到2000人以上时，每月利润为0，
∴每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
(3) ∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，
∴当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
(4) ∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，
∴若5月份想获得利润5000元，5月份的乘客量需达4500人．
【点睛】
本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．
【变式训练4】（2021·山西晋中·七年级期末）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮
肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/（千
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
克/公顷）
土豆产
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
量/（吨/公顷）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施肥氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
【答案】（1）土豆的产量与氮肥的施用量，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量；（2）32.29吨/公
顷， 15.18吨/公顷；（3）336千克/公顷；（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥
的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．
【解析】
【分析】（1）根据变量、自变量、因变量的定义，结合表格解答即可；
（2）直接从表格中找出施用氮肥和不用氮肥时对应的土豆产量；
（3）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的；
（4）根据表格中土豆产量的增长和减少数量来说明氮肥的施用量对土豆产量的影响．
【详解】
解：（1）上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量；
（2）由表可知：当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是：32.29吨/公顷，
如果不施氮肥，土豆的产量是：15.18吨/公顷；
（3）当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施肥太
多或太少都会使土豆产量减产；
（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高
于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系．函数的定义：在一个变化过
程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变
量．
【类型二 关系式表示变量之间的关系模型】
例题：（2021·山东·东营市垦利区教学研究室期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千
米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y
40 24
（升）
(3)试写出y与x的关系式是 ．
(4)这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米?
【答案】(1)行驶路程，油箱内剩油量
(2)48，32
(3)(4)28升，600千米
【解析】
【分析】
（1）因变量随自变量的变化而变化，根据题意，油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化，即可求解；
（2）根据每行驶1千米，耗油0.08升，用油箱内原有油量减去耗油量，可以分别求出行驶100千米和300
千米时的剩油量；
（3）由已知条件，油箱内原有油量为56升，行驶x千米耗油0.08x升，根据“剩余油量＝原有油量－耗油
量”即可求出函数关系式；
（4）将 和 分别代入y与x的关系式即可求解．
(1)
根据题意，油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化，故自变量是行驶路程，因变量是油箱内剩油量，
故答案为：行驶路程，油箱内剩油量．
(2)
汽车从出发地行驶100千米时的剩油量为： （升）；
汽车从出发地行驶300千米时的剩油量为： （升）；
故答案为：48，32．
(3)
油箱内原有油量为56升，行驶x千米耗油0.08x升，
，
当 时解得 ，
x的取值范围是 ，
y与x的关系式是 ，
故答案为： ．
(4)
当 千米时， （升）；
当 时，得 ，
解得 ，
故这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升；汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米．
【点睛】
本题考查自变量与因变量的概念，求函数解析式等知识，学会用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是解题的关键．
【变式训练1】（2021·黑龙江大庆·七年级期中）将长为 、宽为 的长方形白纸，按如图所示的方
法黏合起来，黏合部分宽为 ．
（1）根据图，将表格补充完整：
白纸张数
纸条长度
（2）设 张白纸黏合后的总长度为 ，则 与 之间的关系式是什么？
（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为 吗？为什么？
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）理解题意分别求得白纸张数为2和5时的长度即可；
（2）根据题意，找到等量关系，列出式子即可；
（3）将 代入，求解 ，判断是否为正整数，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得，白纸张数为2时，长度为
当白纸张数为5时，长度为
故答案为： ， ；
（2）当白纸张数为 张时，长度
故答案为
不可能．
理由：将 代入 ，得 ，
解得 ．
因为 为整数，
所以总长度不可能为 ．【点睛】
本题主要考查了函数关系式的知识，解答本题的关键在于熟读题意发现题目中纸张长度的变化规律，并求
出正确的函数关系式．
【变式训练2】（2021·贵州毕节·七年级期末）威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存．受设
备影响，每天只能入库15吨．入库所用的时间为 （单位：天），未入库苞谷数量为 （单位：吨）．
（1）直接写出 和 间的关系式为：______．
（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则
①直接写出现在 和 间的关系式为：______．
②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？
【答案】（1）y=120-15x；（2）①y=120-20x；②2
【解析】
【分析】
（1）入库所用的时间为x，未入库苞谷数量为y的函数关系式为y=120-15x；
（2）①改进了入库设备，每天入库15+5=20吨；y和x间的关系式为：y=120-20x；②120吨苞谷入库封存
现在所需天数一原来所需天数，即可求得答案．
【详解】
解：（1）晾晒场上的120吨苞谷入库封存，每天只能入库15吨，入库所用的时间为x，未入库苞谷数量
为y的函数关系式为y=120-15x；
故答案为：y＝120-15x；
（2）①改进了入库设备，则每天入库20吨；y和x间的关系式为：y=120-20x；
故答案为：y=120-20x；
②
答：求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少2天．
【点睛】
主要考查了函数的实际应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的
值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
【变式训练3】（2021·山东青岛·七年级期中）果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经过的时间有如
下的关系：
时间t/秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 …
高度h/米 …（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度 （米）与时间 （秒）之间的关系式；
（3）现有一颗果子经过2秒后离地面一米，请计算这颗果子开始下落时离地面的高度是多少米？
【答案】（1）下落的角度h与经过的时间t之间的关系，自变量：经过的时间t，因变量：下落的高度h；
（2） ；（3）这颗果子开始下落时离地面高度为20.6m．
【解析】
【分析】
（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；
（2）根据表格中数据发现规律，即可得到果子落下的度 (米)与时间 (秒)之间的关系式；
（3）根据一颗果子经过2秒后离地面一米计算即可求解．
【详解】
解：（1）下落的高度h与经过的时间t之间的关系
自变量：经过的时间t
因变量：下落的高度h
（2）根据表格中数据可得到果子落下的度 (米)与时间 (秒)之间的关系式为 ；
（3）果子开始下落时离地面高度为 m
答：果子开始下落时离地面高度为20.6m.
【点睛】
本题考查了函数的图表示方法，考查了学生的探究能力，要求学生有较强的分析数据和描述数据的能力及
从图象得出规律的能力．能够正确找到h和t的关系是解题的关键．
【变式训练4】（2021·山东济南·七年级期末）某公空车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x
（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）y（元）的变化关系，如下表所所示（每位委文的乘车
票价固定不变）：
x（人） … 200 250 300 350 400 …
p（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损；（2）当一天乘客人数为500人时，利润是多少?
（3）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式．
【答案】（1）300；（2）400；（3）y=2x-600
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，当y大于0时，相应的x的取值即可；
（2）根据表格中的变量之间的变化关系，可得“每增加50人，利润将增加100元”，可求出答案；
（3）“每增加50人，利润将增加100元”也就是“每增加1人，利润将增加2元”，根据乘坐人数可得
利润即可．
【详解】
解：（1）当y=0时，x=300，当x＞300时，y＞0，
故答案为：300；
（2）200+100×（ ）=400（元），
答：一天乘客人数为500人时，利润是400元；
（3）由表格中的数据变化可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，
每增加50人，利润就增加100元，每减少50人，利润就减少100元，
所以利润y=0+ ×100=2x-600，
即：y=2x-600，
答：公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式为y=2x-600．
【点睛】
本题考查函数关系式，理解表格中“每天的利润y元”与“乘坐的人数x”之间的变化关系是正确解答的关
键．
【变式训练5】（2021·江西吉安·七年级期末）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，
已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态．
求：（1）2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少．
（2）设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y；
（3）若要组成2.09米长的链条，需要多少个铁环？【答案】（1）2个铁环组成的链条长 ，3个铁环组成的链条长为 ，4个铁环组成的链条长
；（2） ；（3）需要61个铁环
【解析】
【分析】
(1)根据铁环粗0.8厘米,每个铁环长5厘米,进而得出2个、3个、4个铁环组成的链条长;
(2)根据铁环与环长之间的关系进而得出y与n的关系式;
(3)由(2)得，3.4n＋1.6＝209，进而求出即可.
【详解】
解：(1)由题意可得： ，
，
．
故2个铁环组成的链条长 ，3个铁环组成的链条长为 ，4个铁环组成的链条长 ；
(2)由题意得：n个铁环一共有n－1个相接的地方，
∴ ，
即 ；
(3)∵2.09米
∴据题意有 ，
解得： ，
答：需要61个铁环.
【点睛】
本题主要考查了用关系式表示的变量之间的关系，利用链条结构得出链条长的变化规律是解题的关键.
【类型三 动点问题与关系式间变量之间的关系模型】
例题：（2021·全国·七年级专题练习）如图，长方形ABCD的边长分别为AB＝12cm，AD＝8cm，点P、Q
从点A出发，P沿线段AB运动，点Q沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随着停止），设AP
＝AQ＝xcm在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y(cm2)也随之变化．
（1）写出y与x的关系式.
（2）当AP由2cm变到8cm，图中阴影部分的面积y是如何变化的？请说明理由.【答案】（1） ；（2）y由 变到 ，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）表示出 的面积，用长方形的面积减去 的面积可得y与x的关系式；
（2）当AP由2cm变到8cm，由（1）中y与x的关系式计算出相应的y的值，可知其变化.
【详解】
解：（1） ，长方形的面积为 ，所以 ；
（2）当AP等于2cm时，即 时， ，
当AP等于8cm时，即 时， ，
所以当AP由2cm变到8cm，图中阴影部分的面积y由 变到 .
【点睛】
本题考查了和动点有关的图形的面积，灵活的表示出阴影部分的面积是解题的关键.
【变式训练1】（2021·黑龙江大庆·七年级期中）如图所示，在三角形 中，已知 ，高 ，
动点 由点 沿 向点 移动 不与点 重合 设 的长为 ，三角形 的面积为 ，则 与 之间的
关系式为___________________．【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式可知 ，由此求解即可．
【详解】
∵AD是△ABC中BC边上的高，CQ的长为x，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了列关系式，解题的关键在于能够熟练掌握三角形面积公式．
【变式训练2】（2021·全国·七年级期末）如图在直角梯形 中， ， ， ，
， ，点P，Q同时从点B出发，其中点P以 的速度沿着点 运动；点Q
以 的速度沿着点 运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点
Q也随之停止运动．
（1）当运动时间 时，则三角形 的面积为_____ ；
（2）当运动时间 时，则三角形 的面积为_____ ；
（3）当运动时间为 时，请用含t的式子表示三角形 的面积．
【答案】（1）16；（2）30；（3）当运动时间为 时，三角形 的面积【解析】
【分析】
（1）根据 、 的值和点Q的速度是 ，点P的速度是 ，求出 、 的值，再根据三角
形面积公式计算即可；
（2）求出 的值，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：根据三角形面积公式列出即可．
【详解】
解：（1）AB=5cm，AD=8cm，BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，点P的速度是1cm/s，
当运动时间t=4s时，QB=2t=2×4=8（cm），BP=t=4（cm），
则三角形BPQ的面积为： ，
故答案为：16；
（2）当运动时间 时，
∵AB=5cm，点P的速度是1cm/s，
∴点P运动到了AD上，
，
则三角形 的面积为： ，
故答案为：30；
（3）当P在 上时，此时 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵AB=5cm，AD=8cm，点P的速度是1cm/s，此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
综上，当运动时间为 时，三角形 的面积 ．
【点睛】
本题考查了列代数式，三角形的面积，数形结合、分类讨论是解题的关键．
【变式训练3】（2019·全国·七年级课时练习）如图，在Rt ABC中，已知∠C=90°，边AC=4cm，
BC=5cm，点P为CB边上一点，当动点P沿CB从点C向点△B运动时， APC的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ △
（2）如果设CP长为x cm， APC的面积为y cm，则y与x的关系可表示为_____；
（3）当点P从点D（D为BC△的中点）运动到点B时，则 APC的面积从____cm2变到_____cm2．
△
【答案】(1) 自变量是CP的长，因变量是 APC的面积；(2) y=2x；(3)5,10
【解析】 △
【分析】
（1）根据函数自变量和因变量的概念解答即可；
（2）根据三角形的面积公式列出关系式；
（3）计算出CD的长度，求出相应的面积，求差得到答案．
【详解】
（1）自变量是CP的长，因变量是 APC的面积；
△
（2）y= ×4×x=2x
所以y与x的关系可表示为y=2x；
（3）当x= 时，y=5；当x=5时，y=10，
所以 APC的面积从5cm2变到10cm2．
【点△睛】考查的是函数关系式、自变量和因变量、求函数值的知识，属于基础题，学生认真阅读题意即可作答．
【类型四 动点问题与图象间变量之间的关系模型】
例题：（2021·全国·八年级单元测试）如图，正方形 的边长为2，动点 从点 出发，在正方形的边
上沿 的方向运动到点 停止，设点 的运动路程为 ，在下列图象中，能表示 的面积
关于 的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分 、 两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：当 时，如图，
则 ，为常数；
当 时，如下图，则 ，为一次函数；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．
【变式训练1】（2017·江西景德镇·七年级期末）如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，点C
在EF边上，若菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动直至点C落在GH边上停止运动．能反映菱形进入矩
形内部的周长y与运动的时间x之间关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
周长y与运动的时间x之间成正比关系，
故选B
点睛：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图象获取信息，不仅可以解决生活中的实
际问题，还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.
【变式训练2】（2021·全国·八年级专题练习）如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿
BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的关系如图
（b）所示，则m的值是________．【答案】5
【解析】
【分析】
先根据点（2，3）在图象上得出BC的长，然后利用三角形的面积求出AB的长，进而可得答案．
【详解】
解：由图象上的点 可知： ，
由三角形面积公式，得： ，解得： ．
， ．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常见题型，根据题意和图象得出BC和AB的长是解题关键．
【变式训练3】（2021·全国·七年级专题练习）如图①所示， 在 ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6
cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如△图②所示，已知BC＝8 cm.
(1)求当E点在运动过程中 ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
(2)当E点停止后，求 AB△E的面积．
△
【答案】（1）y=9x（0＜x≤2）；（2）△ABE的面积是18cm2．
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】
（1）由图2可知E点的速度为3，
∴y= ×3x×AD=9x，即y=9x（0＜x≤2）；（2）当E点停止后，BE=6，
∴x=2时，y=9×2=18．
∴△ABE的面积是18cm2．
【点睛】
本题考查了函数关系式，三角形的面积公式是解题关键．
【类型五 用图象表示变量之间的关系模型】
例题：（2021·四川成都·七年级期末）下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越晾越凉
的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚
开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画
以上变量之间的关系，排序正确的是（ ）
A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题干对应图像中变量的变化趋势即可求解．
【详解】
解：（1）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故③图象符合要求；
（2）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故④图象符合要求；
（3）足球守门员大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，故①图象符合要求；
（4）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故②图象符合要求；
正确的顺序是③④①②．
故选：A．
【点睛】
本题考查用图像表示变量之间的关系，关键是将文字描述转化成函数图像的能力．
【变式训练1】（2021·广东深圳·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下
图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】
解： 公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，
加速：速度增加， 匀速：速度保持不变，
减速：速度下降， 到站：速度为0．
观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的
数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式训练2】（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列
快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距
离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离 （千米）与慢车行驶时间 （小
时）之间函数图象的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分三段讨论， 两车从开始到相遇，这段时间两车之间的距离迅速减小， 相遇后继续行驶到特快到达甲
地，这段时间①两车之间的距离迅速增加， 特快到达甲地至快车到达乙地②，这段时间两车之间的距离缓慢
增大，结合实际选符合的图象即可． ③
【详解】
解： 两车从开始到相遇，这段时间两车之间的距离迅速减小；
相①遇后继续行驶到特快到达甲地这段时间两车之间的距离迅速增加；
②特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车之间的距离缓慢增大；
③结合图象可得A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及
拐点的含义．
【变式训练3】（2021·山东青岛·期末）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到
中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往
海滨公园，如图是他们离家路程 与小明离家时间 的关系图，请根据图回答下列问题：(1)图中自变量是____________，因变量是____________；
(2)小明家到滨海公园的路程为______________km；
(3)小明从家出发____________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过_____________小时追上小明．
【答案】(1)时间t； 离家路程s
(2)30
(3)2.5；
【解析】
【分析】
（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据即可得到路程；
（3）根据图象直接可得到爸爸驾车出发的时间；先算出小明坐公交车到滨海公园的平均速度和爸爸驾车
的平均速度，设爸爸出发后xh追上小明，根据在x这段时间内，爸爸通过的路程比小明乘公交车通过的路
程多12km列出方程，解方程即可．
(1)
由图可得，自变量是时间t，因变量是离家路程s；
故答案为：时间t；离家的路程s．
(2)
由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km；
故答案为：30．
(3)
由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发；
爸爸驾车的平均速度为 ，小明乘公交车的平均速度为： ，
设爸爸出发后xh追上小明，根据题意得：
，解得： ．
故答案为：2.5； h．
【点睛】
本题考查了路程时间的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚图象的意义是解答此题的
关键．
【变式训练4】（2022·福建省诏安县第二实验中学七年级期中）如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的
的关系图，据图回答下列问题：
(1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
(2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
(4)A点表示的是什么？
【答案】(1)35℃~40℃；12小时
(2)3℃
(3)4时到16时体温上升；0时到4时，16时到24时体温下降
(4)12时，骆驼的体温为39℃
【解析】
【分析】
观察0时到24时，骆驼的体温变化，进行解答即可．
(1)
解：由图可知，最低体温为 ，最高体温为 ，
∴骆驼体温的变化范围为 ；∵ ，
∴从最低体温上升到最高体温需要12小时．
(2)
解：由图可知16时体温为 ，24时体温为
∵
∴骆驼体温下降了 ．
(3)
解：由图可知，在4时到16时，骆驼体温上升；在0时到4时，16时到24时，骆驼体温下降．
(4)
解： 点表示，在12时，骆驼的体温为 ．
【点睛】
本题考查了图象表示变量间的关系．解题的关键在于从图中获取正确的信息．
【变式训练5】（2021·广东茂名·七年级期末）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书
馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？
【答案】（1）3千米，6千米；（2）40分钟；（3）4.5千米每小时
【解析】
【分析】
（1）观察图象即可得出结论，最远距离是在第60分钟，根据图象可知第120分钟与图书馆的距离为0，
据此可知共跑了多少千米；
（2）观察图象平行于横轴的线段，距离没有发生变化，根据时间差即可求得停留时间；
（3）根据速度等于路程除以时间，即可求得出甲在CD路段内的跑步速度
【详解】（1）由图象知，甲同学离图书馆的最远距离是3千米，他在120分钟内共跑了6千米；
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为 分钟；
（3）CD路段内的路程为 千米，
所用的时间为 小时，
所以甲同学在CD路段内的跑步速度是 千米每小时．
【点睛】
本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键．
【变式训练6】（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时
间与距离之间的关系的一幅图．
（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？
（2）爷爷从家里出发后 分钟到 分钟可能在做什么？
（3）爷爷每天散步多长时间？
（4）爷爷散步时最远离家多少米？
（5）分别计算爷爷离开家后的 分钟内、 分钟内、 分钟内的平均速度．
【答案】（1）爷爷散步的时间与距离之间的关系；（2）可能在某处休息；（3）爷爷每天散步45分钟；
（4）爷爷散步时最远离家为900米；（5）爷爷离开家后：20分钟内平均速度是45米/分；30分钟内平均
速度是30米/分；45分钟内平均速度是40米/分．
【解析】
【分析】
（1）根据图象中的横纵坐标的意义解答即可；
（2）根据图象可看出20分钟到30分钟之间，时间在增加，而路程不变，据此解答即可；
（3）根据图象可得45分钟后爷爷离家的距离为0，说明回到了家中，由此可得答案；
（4）图象最高点的纵坐标即为爷爷散步时最远离家的距离，据此即可解答；
（5）利用时间=路程÷速度求解即可．【详解】
解：（1）爷爷散步的时间与距离之间的关系；
（2）可能在某处休息．
（3）爷爷每天散步45分钟
（4）爷爷散步时最远离家为900米
（5）爷爷离开家后：①20分钟内平均速度：900 20=45（米/分）；
②30分钟内平均速度：900 30=30（米/分）；
③45分钟内平均速度：900 45=40（米/分）．
【点睛】
本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常考题型，正确理解图象的横纵坐标表示的意义是解题关
键．
【变式训练7】（2021·辽宁沈阳·七年级期末）如图是小李骑自行车离家的距离s (km)与时间t (h) 之间的
关系．
（1）在这个变化过程中自变量__________，因变量是__________，
（2）小李__________时到达离家最远的地方?此时离家________km；
（3）分别写出在1＜t＜2时和2＜t＜4时小李骑自行车的速度为______ km/h 和______km/h．
（4）小李______时与家相距20km．
【答案】（1）离家时间，离家距离；（2）2，30；（3）20，5；（4） h或4h．
【解析】
【分析】
（1）在坐标系中横坐标是自变量，纵坐标是因变量，据此求解；
（2）根据图象可以得到离家最远时的时间，此时离家的距离，据此即可确定；（3）根据图象可以得到从1时开始到2时自行车移动的距离和所用的时间，从2时开始到4时自行车移动
的距离和所用的时间，据此即可求得；
（4）根据图象可以得到有两个时间点，据此即可确定．
【详解】
解：（1）在这个变化过程中自变量离家时间，因变量是离家距离，
故答案为：离家时间，离家距离；
（2）根据图象可知小李2h后到达离家最远的地方，此时离家30km，
故答案为：2，30；
（3）当1≤t≤2时，小李行进的距离为30-10=20（km），用时2-1=1（h），
所以小李在这段时间的速度为： （km/h），
当2≤t≤4时，小李行进的距离为30-20=10（km），用时4-2=2（h），
所以小李在这段时间的速度为： （km/h），
故答案为：20，5；
（4）根据图象可知：小李 h或4h与家相距20km，
故答案为： h或4h．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，根据图象正确理解s随t的增大的变化情况是关键．
【变式训练8】（2019·广东佛山·七年级期末）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸
爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到
东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时
间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示
．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km．【答案】（1）t，s，60；(2) 1,60,小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ;(3)30或45．
【解析】
【分析】
（1）直接利用常量与变量的定义得出答案；直接利用函数图象结合纵坐标得出答案；
（2）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，根据速度=路程÷时间求解即可；根据函数图象的横纵坐标的意
义得出A点的意义；
（3）利用函数图象得出交点的位置进而得出答案．
【详解】
（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60；
（2）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5
小时后，离度假村的距离为10km；
（3）当20t=60(t-1)，解得：t=1.5
则离家20×1.5=30（千米）
当20t=120-60(t-1),解得：t=2.25
则离家20×2.25=45（千米）
小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45．
【点睛】
此题主要考查了函数图象以及常量与变量，利用函数图象获取正确信息是解题关键．
