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专题 4.2 导数在研究函数单调性的应
用
题型一 利用导数求函数的单调区间
题型二 利用导函数图象确定原函数图象
题型三 利用原函数图象确定导函数图象
题型四 已知函数在区间上递增（减）求参数
题型五 已知函数存在单调区间求参数
题型六 已知函数在区间上不单调求参数
题型七 利用函数单调性比较大小
题型八 利用函数单调性解决抽象不等式
题型一 利用导数求函数的单调区间
例1．（2023春·甘肃兰州·高三兰大附中校考阶段练习）函数 的单调递减区间
为______．
【答案】 /
【分析】利用导数求得 的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为 ，∵ ，
令 得 ，
∴函数 的单调递减区间是 ．
故答案为：
例2．（2023春·天津南开·高三天津二十五中校考阶段练习）函数 的单调
减区间是（ ）
A． B． C． ， D．
【答案】D
【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.【详解】 ，
，
令 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间是 .
故选：D
练习1．（2023·全国·高三对口高考）函数 的严格增区间是______．
【答案】
【分析】对 求导,使其大于零,解得即可.
【详解】解:由题知 ,
所以 ,
令 ,
解得 ,
所以 的严格增区间是 .
故答案为:
练习2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知定义在区间 上
的函数 ，则 的单调递增区间为______．
【答案】
【分析】对 求导，求出 的解即可求出答案.
【详解】因为 ,则
令 ,即 ,且
所以 ,所以 的单调递增区间为故答案为：
练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的单调
递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调
递增区间.
【详解】由 得： ，即 的定义域为 ；
，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 .
故选：A.
练习4．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数 的单调递增区
间为___________．
【答案】 ，
【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利
用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.
【详解】因为函数 ，则 ．
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时， ，
则当 时， ．
所以 的单调递增区间为 ， ，
故答案为： ， .
练习5．（2023·高三课时练习）函数 （a、b为正数）的严格减区间是（ ）．A． B． 与
C． 与 D．
【答案】C
【分析】由题得 ，再利用导数求出函数的单调递减区间得解.
【详解】解：由题得 .
由 ，令 解得 或 ．
所以函数 的严格减区间是 与 .
选项D，本题的两个单调区间之间不能用“ ”连接，所以该选项错误.
故选：C
题型二 利用导函数图象确定原函数图象
例3．（2023春·安徽安庆·高三安徽省宿松中学校考期中）（多选）如图是函数
的导函数 的图象， ，则下列判断正确的是（ ）
A． 单调递增区间为 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由导函数图象的符号判断函数 在各区间的单调性，再结合函数的性质得出结
果.
【详解】对于A，由题图知当 时， ，所以在区间
上， 单调递增，故 正确；
对于B，当 时， 单调递减，在 上， 单调
递增；当 时， 单调递减，所以 ，故B正确；
对于C， 不一定是函数的最大值，最大值可能由区间 的端点产生，所以 错误；对于D，当 时， ， 单调递减，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
例4．（2022春·安徽滁州·高三校考期末）定义在R上的函数 的导函数为 ，且
的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递减 B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在 处取得极大值 D．函数 在 处取得极小值
【答案】D
【分析】先由函数图像得到 在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.
【详解】由图像知：当 时， ，当 时，
，当 时， ，
则函数 在区间 上单调递增，A错误，B错误；
函数 在区间 上单调递减，C错误；函数 在 单减，在 上单
增，在 处取得极小值，D正确.
故选：D.
练习6．（2022·全国·高三专题练习）函数 的导函数 的图象大致如下图，则
可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对其求导之后，由导函数的奇偶性排除CD，再由选项B中该函数的二阶导函数
判定其一阶导函数应在 上单调递增，即可判定答案.
【详解】由图可知， 的导函数 是一个奇函数，其中选项CD的导函数分别为
，其 ，都为
非奇非偶函数，即可排除C,D，
其中选项B的 其中在 显然
在 上单调递增，与图象不符，错误，
故选：A
【点睛】本题考查导数的计算，还考查了利用导数分析函数的单调性，以及函数奇偶性的
几何意义，属于简单题.
练习7．（2023·高二课时练习）将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，
不可能正确的是
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】根据导函数与原函数图象之间的关系，结合选项进行逐一分析即可.
【详解】根据 ，则 单调递增； ， 单调递减，
容易判断 正确；
对选项 ：取 与 轴的两个交点的横坐标为
数形结合可知当 时， ，
故此时函数 应该在此区间单调递减，
但从图象上看 不是单调递减函数，故该选项错误.
故选：D.
【点睛】本题考查原函数与导函数图象之间的关系，属基础题.
练习8．（2023·高二课时练习）（多选）已知函数 的导函数 的图象如图所示，
那么下列图象中不可能是函数 的图象的是
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.【详解】由导函数图像可得：
当 时， ，即函数 在 上单调递增；
当 时， ，即函数 在 上单调递减；
当 时， ，即函数 在 上单调递增；
故BCD错误，A正确.
故选：BCD.
【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.
练习9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的图象（如图所
示）与 轴分别交于原点、点 和点 ，若 和3是函数 的两个零点，则不等
式 的解集（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】根据 的图像可得 在 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再
结合 的零点画出 的简图，进而求得不等式 的解集.
【详解】由图，当 时 ，故 ， 为减函数；
当 时 ，故 ， 为增函数；
当 时 ，故 ， 为减函数；
由图，当 时 ，故 ， 为增函数；
又 和3是函数 的两个零点，画出 的简图如下：故不等式 的解集为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问
题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.
练习10．（2023春·北京大兴·高二北京市大兴区第一中学校考阶段练习）已知函数
的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系确定正确选项（实际上排除错误选项）．
【详解】根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数 的图象可知，原函
数 先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性．根据导函数绝对值的大小得出原函数增减
速度的快慢是解题的关键．
题型三 利用原函数图象确定导函数图象
例5．（2022·全国·高三专题练习）函数 在定义域 内可导，图像如图所示，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 的解集即为 单调递增区间，结合图像理解判断．
【详解】 的解集即为 单调递增区间
结合图像可得 单调递增区间为
则 的解集为
故选：C．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设 是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象
如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时， B．当 或 时，
C．当 或 时， D．函数f（x）在 处取得极小值
【答案】D
【分析】根据导数的正负与函数的增减以及极值点的定义判断.【详解】A.由图象知：当 时，函数f（x）递增，所以 ，故正确；
B.由图象知：当 或 时，函数f（x）递增，所以 ，故正确；
C.由图象知：当 或 时，函数f（x）分别取得极小值和极大值 ，故正确；
D.由图象知：函数f（x）在 处取得极大值，故错误；
故选：D
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ( )的图象如图所示，则不等
式 的解集为_____．
【答案】
【分析】先由 的图象得到函数的单调区间，从而可得 和 的解集，
进而求出 的解集.
【详解】解：由 的图象可知 在 和 上单调递增，在 上单调
递减，
所以 的解集为 ， 的解集为 ，
由 得 或 ，
所以 的解集为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查函数图象与其导数间的关系，属于基础题.
练习12．（2023·高二课时练习）已知定义在区间 上的函数 的图象如图所
示，若函数 是 的导函数，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 表示函数单调递增，根据函数图像，即可得出结果.
【详解】因为 时，函数单调递增，
由图像可得：当 时，函数单调递增，
因此 的解集为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数的单调区间，熟记导函数与原函数图像之间关
系即可，属于基础题型.
练习13．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）函数 的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原不等式等价于 或 ,然后根据图象分段考察导数的正负区间，
即可求得答案.
【详解】不等式 等价于 或 ,
由函数的图象可知，在 时，函数 的单调递减区间为 的解集为
,
在 时， 的对应区间为 ,∴ 的解集为 ， 的解集为
不等式 的解集为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的图象求与导数有关的不等式的解集问题，涉及导数的正负与
函数的单调性的关系，关键是将所求不等式转化为不等式组，结合图象观察导数为正值和
负值的区间，体现了数形结合思想.
练习14．（2023秋·江苏盐城·高二统考期末）设函数 在定义域内可导， 的图
像如图所示，则导函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性得到导数 的正负，从而得到函数 的图象.
【详解】由函数 的图象可知，
当 时， 单调递增，则 ，所以A选项和C选项错误；
当 时， 先增，再减，然后再增，则 先正，再负，然后再正，
所以B选项错误.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，
属于基础题.一般地，函数 在某个区间可导， ，则 在这个区间是增函数；
函数 在某个区间可导， ，则 在这个区间是减函数.
练习15．（2023春·浙江·高三阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得函数 的导数 ，根据函数 的单
调性可判断A选项的正误，利用 、 、 的符号可分别判断D、B、C选项的
正误.
【详解】 ， ，
令 ，
由图象可知，函数 先减后增再减，则 ，可得 ，A选项错误；
，则 ，则 ，D选项错误；
，则 ，B选项正确；
，则 ，C选项错误.
故选：B．
题型四 已知函数在区间上递增（减）求参数
例7．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）若函数 定义域上单调递减，
则实数 的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据单调性可得 在 上恒成立，即 ，构造
，求导数分析单调性求最大值即可得解.
【详解】由函数 定义域上单调递减，
得 在 上恒成立，即 ，令 ， ，
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
所以 ，
所以 .
故选：C.
例8．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 是增函数，
则 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先求导，根据题意 在 上恒成立，整理即得 在 上
恒成立，再求 的值域即得结果.
【详解】由 知，
,
时， 是增函数， ，
又 ，∴ 在 上恒成立，
而 ， ．
故答案为： ．
【点睛】思路点睛：
已知函数单调性求参数取值范围通常有以下思路：函数 在区间I上递增，则
恒成立；函数 在区间I上递减，则 恒成立.
练习16．（2023春·陕西延安·高二校考期末）若函数 在 上单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比练习函数的性质进行求解即可.
【详解】 ，因为函数 在 上单调递增，
所以当 时， 恒成立，
因为 ，所以 ，于是有 ，
设 ，因为函数 在 是单调递增函数，所以 ，
因此当 时， 恒成立，只需 ，
故选：D
练习17．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内单调递
减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出导数 ，由题意得 在 上恒成立，由分离参数思想可得结
果.
【详解】由 得 ，
由于函数 在区间 内单调递减，
即 在 上恒成立，即 ，
即得 在 恒成立，所以 ，
故选：D.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函
数，在 上是减函数，且方程 有3个实数根，它们分别是 ， ，2，则
的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．8
【答案】A
【分析】根据已知条件求得 ，则 转化为 ，然后根据 的范围
求值域即可.
【详解】由 得 ，因为 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 ，所以 ，此时 的另外一个根 ，
所以 ，因为方程 有3个实数根，它们分别是 ， ，2，所以 ，所
以
且 ，
所以 则
所以 ，因为 ，所以 ，所
以 的最小值是5.
故选：A．
练习19．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（2） .
【分析】（1）根据 ，解得 ，得到 ，利用导数的符
号，即可求得函数的单调区间；
（2）把 在定义域上是增函数，转化为当 时，不等式 恒成立，分
类参数，转化为 对 恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 的定义域为 ，且 ，
因为 ，解得 ，所以 ，
令 ，即 ，解得 或 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
（2）若 在定义域上是增函数，则 对 恒成立，
因为 ，即 时，不等式 恒成立，即 对 恒成立，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即实数a的取值范围是 .
【点睛】对于已知函数 的单调性求参数问题：
（1）已知可导函数 在区间 上单调递增，转化为区间 上 恒成立；
（2）已知可导函数 在区间 上单调递减，转化为区间 上 恒成立；
（3）已知可导函数 在区间 上存在增区间，转化为 在区间 上有解；
（4）已知可导函数 在区间 上存在减区间，转化为 在区间 上有解.
练习20．（2023春·山东枣庄·高二校考阶段练习）已知函数 在 上单调
递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 在 上单调速增，由 在 上恒成立求解.
【详解】因为函数 在 上单调速增，
所以 在 上恒成立，
即所以 在 上恒成立，
因为 ，
所以 ，经检验等号成立，
所以实数a的取值范围是 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可
转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
题型五 已知函数存在单调区间求参数
例9．（2020春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考开学考试）若函数
存在单调递增区间，则实数 的取值范围为____________.
【答案】【解析】由题意知，存在 使得 ，利用参变量分离法得出 ，利用基
本不等式求出 在 时的最小值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】 ，定义域为 ， ，
由题意可知，存在 使得 ，即 .
由基本不等式可知，当 时， ，当且仅当 时，等号成立.
所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数单调区间的存在性求参数，考查参变量分离法的应用，考查计
算能力，属于中等题.
例10．（2011秋·山东济宁·高三阶段练习）函数 在 上存在单调递
增区间的充要条件是______
【答案】
【分析】先将函数 在 上存在单调递增区间的问题转化为其导函数
在 上能成立问题，利用分离参数思想 在 上能成立，，通
过导数判断 的单调性，求出范围即可.
【详解】 ，
∵函数 在 上存在单调递增区间
∴ 在 上能成立，
即 ，化简得 在 上能成立，
设 ，则 在 恒成立，
∴ 在 上单调递减，且∴ ，
即函数 在 上存在单调递增区间的充要条件是
故答案为： .
练习21．（2022春·全国·高二期末）已知函数
(1)若 ，求 的增区间；
(2)若 ，且函数 存在单调递减区间，求 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的定义域以及 即可求出 的增区间；
（2）根据题意可知， 在 上有解区间，再分参转化为求最值，即可求出
的取值范围；
(1)
的定义域是 ， 时， ，
令 ，得 ，∴函数 的增区间是 .
(2)
，由函数 存在单调递减区间，知 在 上有解区间，∴
，即 ，而 ，当且仅当 时取等号，∴
，（当 时，不等式只有唯一的解 ，不符题意舍去），又 ，∴ 的取
值范围是 ．
练习22．（2023·全国·高二周测）已知 ，若对任意两个不等的正实数
都有 恒成立，则 的取值范围是___，若 在区间 上存在单
调递增区间，则 的取值范围是________．【答案】
【分析】将不等式等价变形成 ，构造函数，利用函数单调性得解；由
函数 的导函数大于0在 上有解即可作答.
【详解】因对任意两个不等的正实数 都有 ，则不妨令 ，于
是有 ，
设函数 ，依题意， 是定义域 上的增函数，
则有 ，而当 时， 取得最大值1，从而
得 ，
所以 的取值范围是 ；
因 在区间 上存在单调递增区间，则不等式 ，即 在 上
有解，
而 时， ，于是得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
练习23．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）若函数 在区间
内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数研究函数的单调性，f(x)在 内存在单调增区间，等价于 在
上有有解，然后参变分离即可求解﹒
【详解】∵函数 在区间 内存在单调递增区间，
∴ 在区间 上有解(成立)，即 在区间 上成立，
又函数 在 上单调递增，
∴函数 在 上单调递增，
故当 时， 取最小值，即 ，
即 ，得 ．
故选：D﹒
练习24．（2023·高二课时练习）若函数 在 上存在单调递减区
间，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】先对 求导，将问题转化为 在 上有解，即 在
上有解，利用换元法与基本不等式求出 的最大值即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
则原向题等价于 在 上有解，即 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
练习25．（2023·四川乐山·统考三模）已知函数 ．(1)若 在区间(0，1)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
【答案】(1)
【分析】（1）求出 ，对 分类讨论确定 是否在 上可能成立即可得；
【详解】（1）由 ，得 ，
①若 ，则 ，此时f（x）在区间(0,1)上单调递增，满足条件；
②若 ，令 ，可知 时，g(x)单调递增，
由于f（x）在区间(0,1)上存在单调递增区间，则 即 在(0,1)上有解，
由于 在(0,1)上单调递减，则 ，此时 ．
综上所述，若f（x）在区间(0,1)上存在单调递增区间，则a的取值范围是 ．
题型六 已知函数在区间上不单调求参数
例11．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）若函数 在
上不单调，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】转化为导函数 在 存在变号零点，求出导函数 的零点，列式
可解得结果.
【详解】因为函数 在 上不单调，
所以函数 在 存在变号零点，
由 可得： ， ，
于是 ，解得： 5.
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在定义域 上不单调，则正
整数 的最小值是______．
【答案】3
【分析】求导，令 ，得到 ，再根据 ，且 求解.
【详解】解：因为函数 ，
所以 ，
令 ，得 ，因为 ，且 ，
所以 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时，当 时， ；
当 时， ，
所以 不单调递增，
所以正整数 的最小值是3，
故答案为：3
练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上
不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把题意转化为 在 内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即
可求得.
【详解】∵ ，∴
∵函数 在区间 上不是单调函数
∴ 在区间 上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件
当 时，∵ ，∴ ，
∴ .
故选：D．
练习27．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 在区间 上不单调，则t的取值范围．
【答案】(1) 在 和 上单调递减，在 上单调递增
(2)【分析】（1）求导分析导函数的正负区间，进而确定 的单调区间即可；
（2）求导得到函数的极值点，利用极值点在区间（t，t＋1）内可满足条件，再建立不等式
即可求解.
【详解】（1）由题意知 ，由 得x＝1或x
＝3，
时， ； 时， 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
（2）由（1）函数f(x)的极值点为x＝1,3.
因为函数f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，所以 或 解得 或 ，
即t的取值范围为
练习28．（2022春·四川成都·高二校考期中）函数 在区间
上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 的解，根据该解在 上可求实数 的取值范围.
【详解】 ，
令 ，则 或 （舍），
因为 在区间 上不单调，故 即 ，
故选：A.
练习29．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 在其定义域内的一个
子区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求得 的单调性和极值点，由题意得极值点在区间 内，结
合定义域，即可得答案.
【详解】由题意得 ，令 ，解得 或 （舍），
当 时， ，则 为减函数，
当 时， ，则 为增函数，
所以 在 处取得极小值，
所以 ，解得 ，
又 为定义域的一个子区间，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
练习30．（2022秋·山西·高三统考阶段练习）函数 在R上不单调，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对 求导，根据 定义域上有正有负及三角函数的性质确定参数范围.
【详解】由 ，而 ，
要使 在R上不单调，则 .
故选：D
题型七 利用函数单调性比较大小
例13．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）已知 ， ， ，且 ，
， ，其中 是自然对数的底数，则实数 ， ， 的大小关
系是____________.（用“<”连接）
【答案】
【分析】构造函数 ， ， ， ，
，分别利用导数研究函数 在 上的单调性和 在 上的单调性，即可比较大小.
【详解】设 ， ，则 ， ，
由题意知， ， ， ，
因为 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因为 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 .
故答案为：
例14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数 ， ，再利用导数
探讨单调性，即可比较大小作答.
【详解】设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
则 ，即 ，
设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
则 ，即 ，
所以 ．
故选：D
练习31．（2022·全国·高二期末）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数
值的大小.【详解】因为 ， ， ，所以构造函数 ，
因为 ，由 有： ，
由 有： ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ， ,
因为 ，所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
练习32．（山东省德州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）（多选）已知
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】移项可得， ，根据函数 的单调性可得 ，再
根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．
【详解】由题可得， ，设 ， ，所以 ，
即函数 在 上递增，所以由 可得： ．
对于A，由函数 在 上递减，所以当 时， ，A错误；
对于B，易知函数 在 上递增，所以当 时， ，即
，B正确；
对于C，当 时，若 ，则 ，C错误；
对于D，因为函数 在 上递增，所以当 时， ，D正确．
故选：BD．
练习33．（2023春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知 ，
， ．其中 为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数 ，借助导数探讨
单调性，再比较大小作答.【详解】当 时，令 ，
求导得 ，因此函数 在 上递增，函数 在 上
递增，
于是 ，即有 ， ，即有 ，
所以 .
故选：D
练习34．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数 ，且 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 ， ， ，故考虑构造函数 ，利
用导数研究函数的单调性，结合单调性可得 ，由此比较 的大小.
【详解】由 ， ， ，
可得 ， ， ．
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
又 ，
．
故选：D．
练习35．（山西省大同市2023届高三下学期5月质量检测数学试题）已知 ，
， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.【详解】 ，
设 ，函数定义域为 ，
则 ，
故 在 上为增函数，有 ，即 ，
所以 ，故 .
设 ，函数定义域为 ，则 ，
，解得 ； ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 取最大值，所以 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，即 ，
又 ，所以 .
故选：D．
题型八 利用函数单调性解决抽象不等式
例15．（2023春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期中）已知定义在 上的函数 ，
其导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集是
______．
【答案】
【分析】不等式 转化为 ，令 ，利用导数说
明函数的单调性，结合单调性解函数不等式.
【详解】不等式 转化为 ，
令 ，则 ， 在 上单调递减，
， ， 的解集为 ，
即不等式 的解集为 .故答案为：
例16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知函数 ，对任意的 ，都
有 ，当 时， ，若 ，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，求得 ，得到 为 上的奇函数，根
据题意求得 ，进而得到函数 在 上为减函数，把不等式
，转化为 ，即可求解.
【详解】令 ，则 ，
可得 ，
即 ，所以 为 上的奇函数，
因为 时， ，可得 ，
所以 在 为单调递减函数，且 ，
所以函数 在 上为单调递减函数，
由不等式 ，
可得
整理得到 ，
即 ，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
练习36．（2023春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）已知函数 是函
数 的导函数， ，对任意实数都有 ，则不等式 的解集
为______.
【答案】【分析】构造函数 ，对 进行求导，结合 可得 为 上
的减函数，由 ，则 ，所以 ，根据 的单调性即可得到答
案
【详解】构造 ，
所以 ，
因为对任意实数都有 ，
所以 ，即 为 上的减函数，
因为 ，则 ，且 ，
所以由 得 ，即 ，
因为 为 上的减函数，
所以 ，所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
练习37．（2023·陕西榆林·统考三模）定义在 上的函数 的导函数都存在，
，且 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，根据题意求得则 ，得到 在 上单
调递减，再由把不等式 转化为 ，结合 单调性，即可求解.
【详解】由题意知 ，可得 ．
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，
所以 ，即为 ，则 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选：D.
练习38．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知函数 是定义在 上的减函数，其导数 满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．当且仅当 时，
B．当且仅当 时，
C． 恒成立
D． 恒成立
【答案】C
【分析】由已知可推得 .构造 ，求导即可得出
在R上单调递增.又 ，即可得出当 时， ， ，进而根据
的单调性，即可得出答案.
【详解】由已知可得 ，
又因为 ，所以 ，
即 .
令 ， 在R上恒成立，
所以 在R上单调递增.
因为 ，
所以，当 时， ，
又 ，所以 ，
又 是定义在 上的减函数，所以 .
所以 时， 也恒成立，故当 时， .
而当 时， ，结合 可得 ，
综上， 在 上恒成立.
故选：C.
练习39．（2023春·山东枣庄·高二统考期中）定义在R上的函数 的导函数为 ，
且 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得 ，构建 ，求导，结合函数单调性解不
等式.
【详解】∵ ，且 ，可得 ，
故原不等式等价于 ，
构建 ，则 ，
∵ ，则 恒成立，
∴ 在定义域内单调递减，且 ，
则对于 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
故选：B.
练习40．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知定义在
上的偶函数 的导函数为 ，若 ，且当 时，有
，则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意构造函数 ，利用导数判断出 的单调性和零点，把不等
式 化为 ，即可求解.
【详解】因为当 时，有 ，所以 ，所以
.
令 ，则 在 上单调递增.
因为 为定义在 上的偶函数 ，所以 .
所以 ，所以 为 上的偶函数，图
像关于y轴对称.
因为 ，所以 ，所以
所以 在 上单调递减，经过点 ； 在 上单调递增，经过点 .作出符合题意的 的一个图像如图所示：
不等式 可化为 ，
所以 或
解得： 或 .
故选：D
