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专题05 变量之间的关系压轴题五种模型
【类型一 表格表示变量之间的关系模型】
例题：（2021·全国·八年级专题练习）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念
所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
1
提出概念所用时间（x） 2 5 7 12 13 14 17 20
0
5
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.8 59.9 59.8 58.3 55
9
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【变式训练1】（2021·全国·七年级专题练习）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x
（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是
固定不变的）．
x
500 1000 1500 2000 2500 3000 …
（人）
y ﹣ ﹣
﹣2000 0 1000 2000 …
（元） 3000 1000
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是 变量和 变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【变式训练2】（2020·全国·八年级课时练习）一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动 秒内的速度经测量
如下表：
时间
（秒）
速度（米/秒）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用时间 表示时间， 表示速度，那么随着 的变化， 的变化趋势是什么？
（3）当 每增加 秒， 的变化情况相同吗？在哪个时间段内， 增加的最快？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为 千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达
到这个上限．
【变式训练3】（2019·广东深圳·七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数 (人)
与每月利润(利润=收入费用-支出费用) (元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；
(1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；(填中文)
(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为 元？
(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 人.
【变式训练4】（2021·山西晋中·七年级期末）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮
肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/（千
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
克/公顷）
土豆产
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
量/（吨/公顷）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施肥氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.【类型二 关系式表示变量之间的关系模型】
例题：（2021·山东·东营市垦利区教学研究室期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千
米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y
40 24
（升）
(3)试写出y与x的关系式是 ．
(4)这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米?
【变式训练1】（2021·黑龙江大庆·七年级期中）将长为 、宽为 的长方形白纸，按如图所示的方
法黏合起来，黏合部分宽为 ．
（1）根据图，将表格补充完整：
白纸张数
纸条长度
（2）设 张白纸黏合后的总长度为 ，则 与 之间的关系式是什么？
（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为 吗？为什么？
【变式训练2】（2021·贵州毕节·七年级期末）威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存．受设
备影响，每天只能入库15吨．入库所用的时间为 （单位：天），未入库苞谷数量为 （单位：吨）．
（1）直接写出 和 间的关系式为：______．
（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则
①直接写出现在 和 间的关系式为：______．②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？
【变式训练3】（2021·山东青岛·七年级期中）果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经过的时间有如
下的关系：
时间t/秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 …
高度h/米 …
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度 （米）与时间 （秒）之间的关系式；
（3）现有一颗果子经过2秒后离地面一米，请计算这颗果子开始下落时离地面的高度是多少米？
【变式训练4】（2021·山东济南·七年级期末）某公空车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x
（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）y（元）的变化关系，如下表所所示（每位委文的乘车
票价固定不变）：
x（人） … 200 250 300 350 400 …
p（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损；
（2）当一天乘客人数为500人时，利润是多少?
（3）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式．
【变式训练5】（2021·江西吉安·七年级期末）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，
已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态．
求：（1）2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少．
（2）设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y；
（3）若要组成2.09米长的链条，需要多少个铁环？【类型三 动点问题与关系式间变量之间的关系模型】
例题：（2021·全国·七年级专题练习）如图，长方形ABCD的边长分别为AB＝12cm，AD＝8cm，点P、Q
从点A出发，P沿线段AB运动，点Q沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随着停止），设AP
＝AQ＝xcm在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y(cm2)也随之变化．
（1）写出y与x的关系式.
（2）当AP由2cm变到8cm，图中阴影部分的面积y是如何变化的？请说明理由.
【变式训练1】（2021·黑龙江大庆·七年级期中）如图所示，在三角形 中，已知 ，高 ，
动点 由点 沿 向点 移动 不与点 重合 设 的长为 ，三角形 的面积为 ，则 与 之间的
关系式为___________________．
【变式训练2】（2021·全国·七年级期末）如图在直角梯形 中， ， ， ，
， ，点P，Q同时从点B出发，其中点P以 的速度沿着点 运动；点Q
以 的速度沿着点 运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动．
（1）当运动时间 时，则三角形 的面积为_____ ；
（2）当运动时间 时，则三角形 的面积为_____ ；
（3）当运动时间为 时，请用含t的式子表示三角形 的面积．
【变式训练3】（2019·全国·七年级课时练习）如图，在Rt ABC中，已知∠C=90°，边AC=4cm，
BC=5cm，点P为CB边上一点，当动点P沿CB从点C向点△B运动时， APC的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ △
（2）如果设CP长为x cm， APC的面积为y cm，则y与x的关系可表示为_____；
（3）当点P从点D（D为BC△的中点）运动到点B时，则 APC的面积从____cm2变到_____cm2．
△
【类型四 动点问题与图象间变量之间的关系模型】
例题：（2021·全国·八年级单元测试）如图，正方形 的边长为2，动点 从点 出发，在正方形的边
上沿 的方向运动到点 停止，设点 的运动路程为 ，在下列图象中，能表示 的面积
关于 的函数关系的图象是（ ）A． B． C． D．
【变式训练1】（2017·江西景德镇·七年级期末）如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，点C
在EF边上，若菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动直至点C落在GH边上停止运动．能反映菱形进入矩
形内部的周长y与运动的时间x之间关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（2021·全国·八年级专题练习）如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿
BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的关系如图
（b）所示，则m的值是________．
【变式训练3】（2021·全国·七年级专题练习）如图①所示， 在 ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6
cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如△图②所示，已知BC＝8 cm.(1)求当E点在运动过程中 ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
(2)当E点停止后，求 AB△E的面积．
△
【类型五 用图象表示变量之间的关系模型】
例题：（2021·四川成都·七年级期末）下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越晾越凉
的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚
开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画
以上变量之间的关系，排序正确的是（ ）
A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④②
【变式训练1】（2021·广东深圳·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行
驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下
图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）A． B．
C． D．
【变式训练2】（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列
快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距
离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离 （千米）与慢车行驶时间 （小
时）之间函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3】（2021·山东青岛·期末）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到
中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往
海滨公园，如图是他们离家路程 与小明离家时间 的关系图，请根据图回答下列问题：(1)图中自变量是____________，因变量是____________；
(2)小明家到滨海公园的路程为______________km；
(3)小明从家出发____________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过_____________小时追上小明．
【变式训练4】（2022·福建省诏安县第二实验中学七年级期中）如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的
的关系图，据图回答下列问题：
(1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
(2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
(4)A点表示的是什么？
【变式训练5】（2021·广东茂名·七年级期末）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书
馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？【变式训练6】（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时
间与距离之间的关系的一幅图．
（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？
（2）爷爷从家里出发后 分钟到 分钟可能在做什么？
（3）爷爷每天散步多长时间？
（4）爷爷散步时最远离家多少米？
（5）分别计算爷爷离开家后的 分钟内、 分钟内、 分钟内的平均速度．
【变式训练7】（2021·辽宁沈阳·七年级期末）如图是小李骑自行车离家的距离s (km)与时间t (h) 之间的
关系．
（1）在这个变化过程中自变量__________，因变量是__________，
（2）小李__________时到达离家最远的地方?此时离家________km；
（3）分别写出在1＜t＜2时和2＜t＜4时小李骑自行车的速度为______ km/h 和______km/h．
（4）小李______时与家相距20km．【变式训练8】（2019·广东佛山·七年级期末）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸
爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到
东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时
间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示
．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km．
