文档内容
重难点 3-1 三角函数中 ω 的取值范围问题
三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值
与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。根据近几年新高考的考查情况，
多在单选题与多选题中出现，难度较大。
【题型1 根据图象平移求ω取值范围】
满分技巧
结合图象平移求ω的取值范围的常见类型及解题思路
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
f(x) g(x)
思路2：平移前的函数 =平移后的函数 .
f(x) g(x)
2、平移后与新图象重合：平移后的函数 =新的函数 .
y
3、平移后的函数与原图象关于 轴对称：平移后的函数为偶函数；
x f(x)
4、平移后的函数与原函数关于 轴对称：平移前的函数 =平移后的函数 ；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
【例1】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数 （ ）的图
象向右平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意可得 ，∴ ， ，解得 ， ，
又 ，∴当 时， 取得最小值为5．故选：D.
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）将函数 的图象分别向左、向右各平移
个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】将函数 的图象分别向左、向右各平移 个单位长度后，
得到 ， .
由两图象的对称轴重合，可得 ，
所以 .
又 ，故 的最小值为 .故选：A.
【变式1-2】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）定义运算： ，将函数
的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小正值是
．
【答案】
【解析】 ，
向左平移 个单位后得到 ，
因为此时函数是偶函数，所以 ，则 ，
所以当 时， 取得最小正值，此时 .
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，
所得到的图象与原图象关于x轴对称，则 的最小值为（ ）A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
所以该图像与 的图象关于 轴对称，
即 恒成立，
则 ，即 ，
当 时， 的最小正值为3，故选：B．
【变式1-4】（2023·江西宜春·高二宜丰中学校考阶段练习）已知函数 ，将
的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，点 ， ， 是 与 图象的连续相邻的三个交
点，若 是钝角三角形，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可得， ，作出两个函数图象，如图：
， ， 为连续三交点，(不妨设 在 轴下方)， 为 的中点，.
由对称性可得 是以 为顶角的等腰三角形， ，
由 ，整理得 ，得 ，
则 ，所以 ，
要使 为钝角三角形，只需 即可，
由 ，所以 ，故选：D.【题型2 根据单调性求ω取值范围】
满分技巧
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，在[x ,x ]上单调递增（或递减），求ω的取值范围
1 2
第一步：根据题意可知区间[x ,x ]的长度不大于该函数最小正周期的一半，
1 2
1 π π
即x −x ≤ T= ，求得 0<ω≤ .
2 1 2 ω x −x
2 1
π π
第二步：以单调递增为例，利用[ωx +φ,ωx +φ]⊆[− +2kπ, +2kπ]，解得ω的范围；
1 2 2 2
第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.
【例2】（2024·云南保山·高三统考期末）已知 （ ）在区间 上单调递增，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】对于 ，令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
结合正弦函数的单调性可知：
又 ，所以 .
【变式2-1】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数 在区间 上单调递
减，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数 在区间 上单调递减，得 ，可得 ，
又由 ，必有 ，可得 .故选：A
【变式2-2】（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知 ，函数在 单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在 上单调递
减，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
令 ，
因为 ， ，所以 ，
所以问题转化为 在 （ ）上单调递减，
所以问题转化为 在 （ ）上单调递减，
又 ， ， 单调递减区间为 ， ，
所以 ，
所以 ，解得 .故选：D.
【变式2-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 （ ）在区间
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，
令 ， ，解得 ， ，所以 的单调递增区间为 ， ，
又函数 在区间 上单调递增，
所以 ， ，解得 ， ， ，
所以 ， ，即 的取值范围是 ，故选：B．
【变式2-4】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）（多选）已知 ，函数
， ，若 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（
）
A． B． C．2 D．4
【答案】BC
【解析】因为
，
当 时， ，函数在 上递减，在 上递增，故A不可
以；
当 时， ，因为 ， ，
则 在 上递增，故B可以；
当 时， ，因为 ，
函数 ， 单调递增，所以 在 上递增，故C可以；
当 时， ，因为 ，
函数 ， 不单调，故D不可以.故选：BC【题型3 根据对称轴求ω取值范围】
满分技巧
T
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心之间
2
T
的“水平间隔”为 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的
4
取值。
【例3】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数 在区间 恰
有两条对称轴，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 恰有两条对称轴，
所以 ，解得 ，故选：B
【变式3-1】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数 在区间 上恰有两条
对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 恰有两条对称轴，
所以 ，解得 ，故选：A
【变式3-2】（2023·湖北黄冈·高三校考期中）若函数 在区间 上恰有唯
一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 区间 上恰有唯一对称轴，
故 ，解得 ，故选：D
【变式3-3】（2023·广西·模拟预测）若函数 （ ， ）满足
，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意，在 （ ， ）中，
由于 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
由 可知 是函数 图像的一条对称轴，
所以 ， ，即 ， ，所以 的最小值为4，故选：D.
【变式3-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 的图象在 上有
且仅有3条对称轴，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 ，
由 ，得 ，
因为函数 的图象在 上有且仅有3条对称轴，所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
【题型4 根据对称中心求ω取值范围】
满分技巧
T
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心之间
2
T
的“水平间隔”为 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的
4
取值。
【例4】（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数 ，使得函数 ( >0)的图象的
一个对称中心为( ，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函数 的图象的一个对称中心为 ，
所以 ，所以 ，
由于 ，则 ，
因为 ，所以可得： ，故选：C
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象的一个对称中心的
横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，
因为函数 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 ，
所以，函数 的最小正周期 满足 ，即 ，则 ，
由 可得 ，
因为函数 的图象的一个对称中心的横坐标在区间 内，
则 ，可得 ，
又因为 且 存在，则 ，解得 ，
因为 ，则 ，所以， ，故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 内不存在对称中心，则
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在 内不存在对称中心，故 ，解得 ，
又 ， ，
故 ，解得 ，
又 ，所以 ， 或 ， ，
故 的取值范围为 ，故选：D.
【变式4-3】（2023·四川·校考模拟预测）已知函数 的图象在 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
,
当 时， 为常数，不合题意，
当 ， 时， ，
要使 在 上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则 ，即 ，
当 ， 时， ，
要使 在 上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则 ，即 .
【变式4-4】（2022·江苏南京·高三江浦高级中学校联考阶段练习）将函数 的图
象向右平移 个周期后，所得图象恰有 个对称中心在区间 内，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数 的周期为 ，则 ，
则将函数 的图象向右平移 个周期后得到 ，
因为 ，所以 ，
因为所得图象恰有 个对称中心在区间 内，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .【题型5 根据最值求ω取值范围】
满分技巧
根据三角函数的最值或值域求解参数问题是，要灵活运用整体的思想，将问题转化在基本函数
、 、 上，借助函数图象性质来处理会更加明了。注意对 正负的讨论。
【例5】（2024·浙江温州·统考一模）若函数 ， 的值域为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知若 ，则可得 ；
显然当 时，可得 ，
由 的值域为 ，利用三角函数图像性质可得 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，故选：D
【变式5-1】（2024·广东梅州·高三广东梅县东山中学校考期末）已知函数 在区间
上有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 得，则 ，
所以由题意可得， ，解得 .故选：D
【变式5-2】（2024·广东深圳·高三统考期末）若函数 在 有最小值，没有最
大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】当 时， ，
由函数 在 有最小值，没有最大值，得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，故选：D
【变式5-3】（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知函数 在区间 内不存
在最值，且在区间 上，满足 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 内不存在最值，
即 ，则 ， ，则 或 ，
由 ，则 中 恒成立，
只需 且 ， 或 ；
所以 的取值范围是 ，故选：D
【变式5-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）（多选）将函数 的
图象向左平移 个单位可得到函数 的图象，若 在区间 内有最值，则实数 的取
值范围可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，得到 ，
由 ，解得 ，可得 ，解得 ，
因 ，所以当 时， ；
当 时， ；当 时， ．故选：ACD．
【题型6 根据极值求ω取值范围】
【例6】（2024·全国·模拟预测）若函数 在区间 上有且仅有一个极值点，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】若函数 在区间 上有且仅有一个极值点，
即数 在区间 上有且仅有一个最值点，
则 ，解得 ，
故函数 的最值点为 .
不妨设 在区间 上仅有的一个最值点为 ，
则 ，即 ，
则 ，得 ，
解得 ，所以 .当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上， 的取值范围为 .
【变式6-1】（2023·江苏连云港·高三统考期中）若函数 在 上存在唯一的极
值点，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
则 ，又 ，所以
又 在 上存在唯一的极值点，
则 ，得到 ，
或 ，得到 ，
又当 时， ，无解，故选：B.
【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考一模）设函数 在区间 上恰有三个极值点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知 得 .要使函数 在区间 上恰有三个极值点，
由 图象可得 ，解得 ，即 .
【变式6-3】（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上至
少有3个极值点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知， ,
由 ， ，得 ，
因为函数 在 上至少有3个极值点，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【变式6-4】（2023·吉林·统考一模）已知函数 在区间 上有且仅有4个极大值点，
则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，结合题设，令 ，
故 在 有且仅有4个极大值点，
根据正弦函数图象及极值点定义知： ，则 .故选：C
【题型7 根据零点求ω取值范围】
满分技巧已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有 个零点，需要确定含有 个零点的区间长度，一般
和周期相关，若在在区间至多含有 个零点，需要确定包含 个零点的区间长度的最小值．
【例7】（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）已知函数 （ ）在
上恰有2个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为： ，所以： ，
令： ，则得： .
因为： 在 上有 个零点，
所以： ，解得： .
故 的取值范围为： ，故B项正确，故选：B.
【变式7-1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知函数 ，若方程
在区间 上恰有3个实根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
由 ，即 ，在区间 上恰有3个实根，
则 ，解得 ，故选：D
【变式7-2】（2024·广东汕头·高三统考期末）已知函数 在区间 上恰有三
个零点，则 的取值范围是 .
【答案】【解析】因为 ， ，则 ，
又因为函数 在区间 上恰有三个零点，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【变式7-3】（2024·全国·高三开学考试）设函数 ，且函数 在
恰好有5个零点，则正实数 的取值范围是
【答案】
【解析】由题意得 ，
令 ，得 ，
因为函数 在 恰好有5个零点，
所以函数 在 上恰有5条对称轴．
当 时， ，
令 ，
则 在 上恰有5条对称轴，如图：
所以 ，解得 ．
【变式7-4】（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，
，且 在 上恰有100个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 ，
，则 ，所以 ，
由 ，可得 ， ．则 ， ．
所以 ，解之得 ，
所以 的取值范围是 ，故选：C
【题型8 结合函数性质综合考查】
【例8】（2024·全国·模拟预测）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的
横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象．若函数 在 上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 的图象先向右平移 个单位长度,得到 的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象．
因为 在 上没有零点，
所以 ，解得 ， ．
因为 ，所以 时，可得 ； ，可得 ，
故 或 .故选:C．【变式8-1】（2024·江西上饶·高三校考阶段练习）已知函数 在区间 上
单调递增，且 在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在 上单调递增，
由 ， ，
所以 且 ，解得 且 ，所以 ；
又因为 在区间 上只取得一次最大值，
即 时， ；
所以 ，解得 ；
综上， ，即 的取值范围是 ，故选：D.
【变式8-2】（2024·山西晋城·统考一模）若函数 在 上至少有两个极大值
点和两个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ， ，得 的极大值点为 ， ，
则存在整数 ，使得 ，解得 ．
因为函数 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以 ．当 时， ．当 时， ．
当 时， ．又 ，
所以 的取值范围为 ．
【变式8-3】（2024·辽宁大连·高三统考期末）已知函数 满足下列条件：①
对任意 恒成立；② 在区间 上是单调函数；③经过点 的任意一条
直线与函数 图像都有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：由函数 可知函数周期是 ，
因为①对任意 恒成，所以函数的一条对称轴是 ，
又因为 在区间 是单调函数，所以 ，
所以 ，所以 为0或1.
当 时， ；当 时， ，
由已知得 ，
因为经过点 的任意一条直线与函数 图像都有交点，
所以 ，所以 .
因为①对任意 恒成立，
所以 .
所以 ，
由 或 ，得 或 ，所以 或 .
方法二：
由①可知： ，即 （*）
由②可知： ，
因为函数在 上是单调函数，
所以 ，
，将（*）带入化简可得： ，
所以 ，
由已知得 ，
因为经过点 的任意一条直线与函数 图像都有交点，
所以 ，所以 .
因为①对任意 恒成立，
所以 .
所以 ，
由 或 ，得 或 ，
所以 或 .
（建议用时：60分钟）1．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若函数 在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为 在 单调，所以 ，∴ ，故选：D.
2．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知 ，函数 在 单调递减，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
∵ 在 单调递减，∴ ，即 ，又 ，∴ ，
令 ，∵ ，∴ ，
∴问题转化为 在 上单调递减，
∴问题转化为 在 上单调递减，
又 ，
单调递减区间为 ，
∴ ，
∴ ，解得 故选：D.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）设函数 ，已知
方程 在 上有且仅有2个根，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， 的图象与直线 在 上仅有2个交点，
由 ，得 ，
所以 ，解得： ，故选：C
4．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考期中）若函数 在区间
上既有最大值，又有最小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
当 时， ，
因为 在区间 上既有最大值，又有最小值，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 .故选：A.
5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数 ．若
在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,
若 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 内没有零点，所以 ，解得 ；
若 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 内没有零点，所以 ，解得 ；
综上， ，故选:D.6．（2023·福建福州·高三校联考期中）设函数 在区间 恰有三个极值点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点，根据 ， 图象：
可得： ，解得： ，即 ，故选：B
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上单调，且在区间 上有5
个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以函数 的最小正周期 ．
因为 在区间 上单调，所以 ，可得 ；
因为 在区间 上有5个零点，
所以 ，即 ，可得 ；
综上， ．故选：D．
8．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设函数 在区间 内
有零点，无极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为函数在区间 内有零点，无极值点，故 ，解得 ，
则 ， ，
要想满足要求，则 或 ，
解得 ，或 ，
故 的取值范围是 .故选：D
9．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知 ，函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意， ，
因为 ，且函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，
所以 ，解得： ， ，
因为 ，则需要满足 ，且 ， ，
所以 ， ，即 ，所以 .
10．（2024·广东茂名·统考一模）函数 （ ）在区间 上有且只有两个零点，
则 的取值范围是 .
【答案】
由于 在区间 上有且只有两个零点，所以 ，
即 ，由 得， ， ，∵ ，∴ ，
∴ 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
11．（2023·山西运城·高三统考期中）已知函数 ，若 在区间 内
没有最值，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，
函数 的单调区间为 ，
由 ，而 ，得 ，
因此函数 在区间 上单调，
因为函数 在区间 内没有最值，则函数 在区间 内单调，
于是 ，
则 ，解得 ，
由 ，且 ，解得 ，
又 ，从而 或 ，当 时，得 ，
又 ，即有 ，当 时，得 ，
所以 的取值范围是 .
12．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 内恰好存在两个极值点，且直线 与曲线 在 内恰有两个交点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
所以 在 内恰好存在两个极值点、两个零点．
令 ，则 在 内恰好存在两个极值点、两个零点．
得 ，即 ，即 的取值范围是 ．
13．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数 在 处取得最大值，
且 的图象在 上有4个对称中心，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题知 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， ，
依题知 ，解得 .
14．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数 在区间 上仅有一条对称轴
及一个对称中心，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，
要使得函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．
15．（2024·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）若函数 在 有且仅有3个极值
点，2个零点，则 的取值范围【答案】
【解析】在 上 ，
则 在 有且仅有3个极值点，2个零点，
由正弦型函数的图象知： ，则 .
