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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题04 平行线的性质与判定压轴题四种模型
【类型一 平行线的性质与判定综合问题】
例1．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1=∠3，
(1)证明；AB∥CD
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠3的度数为28°．
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，
根据角平分线的定义即可得解．
(1)
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
(2)
解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．
∴∠3=∠1=∠2= ∠ABD=28°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互
补”是解题的关键．
【变式训练1】（2021·浙江·金华市第五中学七年级期中）已知如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
(1)判断BD与CE是否平行，并说明理由；
(2)当∠A=30°时，求∠F的大小．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)30°
【解析】
【分析】
(1)利用同位角相等得出结论；
(2)首先证明AC∥DF，然后利用平行线的性质得出结论．
(1)
BD∥CE，
理由如下：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE；(2)
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠4,
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F=30°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，解决问题的关键是掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补与两条被
截线平行之间的对应关系．
【变式训练2】（2021·山东淄博·期末）如图，已知 ， 平分 ，交 于点 ，
交 的延长线于点 ， 交 的延长线于点 ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2) 与 是什么位置关系？请说明理由；
(3)若 ， ，直接写出 ， 满足什么数量关系时 ．
【答案】(1)87°
(2) ，证明见解析
(3)【解析】
【分析】
(1)根据 得到 ，进而同位角相等得到 ；
(2)由 平分 得到 ，由 得到 ，由已知 进而得
到∠AEB=∠BAE=∠DAE即可证明 ；
(3)由 得到 ，结合(1)中 即可求解．
(1)
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
(2)
解： 与 是的位置关系为： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠AEB=∠BAE=∠DAE，
∴ ．
(3)
解： 与 的数量关系为： ，理由如下：
当 时，
，由(2)中推导可知， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定，属于基础题，熟练掌握平行线的判定及性质定理是解题的关键．
【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级开学考试）如图，直线AC BK，BC平分
∠ABK，点E在射线BC上，直线AE交BK于点D，过点E作直线EF AB，过点D作DF BC．
(1)如图（1）求证：∠GFD=∠GDF；
(2)如图（2）当点E在线段BC延长线时，请直接写出∠EGD与∠EFD的数量关系________；
(3)如图（3），在（2）的条件下，AH平分∠CAB交BC于点H，若∠AEB：∠BEG=1：3，且此时∠EAC
比∠HAC大10°，求∠EGB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠EFD＝90°− ∠EGD
(3)60°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出，∠EBG＝∠BEG，根据∠EBG＋∠BEG＋∠EGD＝180°，
2∠EFD＋∠EGD＝180°，即可证得结论；
（3）设∠AEB＝x，利用平行线的性质表示出∠ABD，∠ABG，根据平角的定义建立一元一次方程即可求
得结果．
(1)
证明：如图，∵AC∥BK，
∴∠2＝∠3，
∵BC平分∠ABK，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3
∵EF AB，
∴∠1＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵DF BC．
∴∠2＝∠6，∠4＝∠5，
∴∠5＝∠6，
即∠GFD=∠GDF
(2)
解：∠EFD＝90°− ∠EGD，
∵DF∥CB，
∴∠EFD＝∠BEG，
∵EF∥AB，
∴∠BEG＝∠ABE，
∵BC平分∠ABK，∴∠ABE＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BEG，
∵∠EBG＋∠BEG＋∠EGD＝180°，
∴2∠EFD＋∠EGD＝180°，
∴∠EFD＝90°− ∠EGD，
故答案为：∠EFD＝90°− ∠EGD
(3)
解：设∠AEB＝x，
∵∠AEB：∠BEG=1：3，
∴∠BEG＝3x，
由（2）可知∠EBG＝∠BEG＝∠ABE＝3x，
∵DF∥CB，
∴∠EBG＝∠FDG＝3x，
∵BC平分∠ABK，
∴∠ABG＝6x，
∵AC∥BD，
∴∠EAC＝∠EDG＝2x，
∵∠EAC比∠HAC大10°，
∴∠HAC＝2x−10°，
∵AH平分∠CAB，
∴∠BAH＝2x−10°，
∴∠CAB＝2∠BAH＝4x−20°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝4x−20°，
∵∠ABD＋∠ABG＝180°，
∴4x−20°＋6x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠FDG＝60°，
∵2∠GFD＋∠EGD＝180°，
∴∠GFD＝∠FDG＝60°．∵∠EFD＝90°− ∠EGD
∴∠EGB=180°−2∠EFD＝60°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及平角的定义，一元一次方程的应用，理清角度之间的关系是解题的关键．
【类型二 含一个拐点模型】
例2．（2021·吉林延边·七年级期中）感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E作直线EF∥CD，
∠2=______，（ ）
AB∥CD(已知），EF∥CD
_____∥EF，（ ）
∠B=∠1，（ ）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（ ）
方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．
【答案】∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【解析】
【分析】
过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换
得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角
的性质解答即可
【详解】
解：过点E作直线EF∥CD，
∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）AB∥CD(已知），EF∥CD
AB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（等量代换 ）
方法与实践：如图②，
∵直线AB∥CD
∴∠BOD=∠D=53°
∵∠BOD=∠E+∠B
∴∠E=∠BOD-∠B=53°- 22°=31°．
故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的
关键．
【变式训练1】（2021·上海市第二初级中学七年级期中）如图，已知 ，点 在 的上方，则 、
、 之间存在怎样的等量关系？说明理由．
解：过点 做 ，
______（两直线平行，内错角相等），
（已知），（已作），
______ ______（______）．
【答案】 ，理由见解析； ， ， ，平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得 ，根据平行于同一条直线的两条直线平行得 ，根据平行线的性质
得 ，根据角之间的关系等量代换即可得．
【详解】
解：过点E作 ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ （已知），
（已知），
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
【变式训练2】（2021·全国·七年级专题练习）问题情境：如图1， ， ，
，求 的度数．
小明的思路是：如图2，过 作 ，通过平行线性质，可得 ______．问题迁移：如图3， ，点 在射线 上运动， ， ．
（1）当点 在 、 两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、
之间有何数量关系．
【答案】问题情境： ；问题迁移：（1） ；理由见解析；（2）当点 在 、 两点
之间时， ；当点 在射线 上时， .
【解析】
【分析】
问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE∥AB∥CD，通过平行线性质来求∠APC；
（1）过点P作 ，得到 理由平行线的性质得到 ， ，
即可得到 ；
（2）分情况讨论当点P在B、O两点之间，以及点P在射线AM上时，两种情况，然后构造平行线，利用
两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．
【详解】
解：问题情境：
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；
（1） ；过点P作 ，
又因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ；
（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，
过P作PE∥AD，交ON于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β，
情况2：如图所示，点P在射线AM上时，
过P作PE∥AD，交ON于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α
【点睛】
本题主要考查了借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理，准确分析证明是解题的关键．
【变式训练3】（2021·山东烟台·期末）已知直线 、 ，直线 与直线 、 分别交于点C和点D，在直线
上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线 上，点B在直线 上．
(1)如图①，如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3=∠2，请写出 与 之间的位置关系并说明理由；
(2)如图②，如果 ，点P在直线 的上方运动时，请写出∠1，∠2与∠3之间的数量关系并说明理由；
(3)如图③，如果 ，点P在直线 的下方运动时，请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系（不
需说明理由）．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)∠3=∠1+∠2，理由见解析
(3)∠PAC=∠APB+∠PBD
【解析】
【分析】
(1)过P点作 ，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠APE，即可推出∠BPE=∠3，则 ，再根
据平行于同一直线的两直线平行得解；(2)过点P作 ，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由与平行线中的一条平行，与另一
条也平行得到 ，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
(3)过点P作 ，同理(2)即可得证．
(1)
解： ；
理由如下：
如图①，过点P作 ，则∠1=∠APE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，∠APB=∠1+∠3，
∴∠APE+∠BPE=∠1+∠3，
∴∠1+∠BPE=∠1+∠3，
∴∠BPE =∠3，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠3=∠1+∠2；
理由如下：
如图②，过点P作 ，则∠1=∠APF，∵ ，
∴ ，
∴∠BPF=∠3，
∵∠BPF=∠APF+∠2，
∴∠3=∠1+∠2；
(3)
解：当点P在直线 的下方运动时，∠PAC=∠APB+∠PBD；
理由如下：
如图③，过点P作 ，则∠MPA=∠PAC，
∵ ，
∴ ，
∴∠MPB=∠PBD，
∵∠MPA=∠APB+∠MPB，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解本题的关键．
【类型三 含两个或多个拐点模型】
例3．（2022·福建·晋江市季延中学七年级期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)70°；
(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；
(3)∠PGF的度数为140°．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得
∠EPF的度数；
（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．
(1)
解：过点P作PQ∥AB，
∴∠1+∠EPQ=180°，
∵∠1=135°，
∴∠EPQ=180°-∠1=45°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠2+∠FPQ=180°，
∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°-∠2=25°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；
故答案为：70°；
(2)
解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，
即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；
即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
(3)
解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥GH∥CD，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，
∵∠EPG=75°，
∴∠3+∠4=75°，
∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．
∴∠PGF的度数为140°．
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练1】如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】
如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角
互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
【变式训练2】综合与探究
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活
动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
如图1， ， ， ，求 的度数．
小康的解法如下：
解：如图1，过点P作 ．
∵ ，
∴ （根据1）．
∵ ，
∴ （根据2）．
……(1)①小康的解法中的根据1是指_______________；②根据2是指______________．
(2)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程．
(3)聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中 ， ， ， ，
求 的度数．
【答案】(1)①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定即可的得出答案；
（2）过点P作 得 ，根据 ，得 ，即知 ，从而得
出答案；
（3）过点P作 ，过点 作 ，从而得出 ，再根据平行线的性质即可得
出答案；
(1)
解：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
②两直线平行，同旁内角互补．
(2)
解：∵ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
(3)解：如图，过点P作 ，过点 作 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是作平行线，利用平行线的性质转化角．
【变式训练3】（2021·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
【类型四 生活中平行线的应用问题】
例4．（2022·福建·晋江市季延中学七年级期末）如图①是我省同金电力科技有限公司生产的美利达自行车
的实物图，图②是它的部分示意图， ，点B在AF上， ， ， ．(1)图中以点A为顶点的角有哪几个？请分别写出来．
(2)试求 和 的度数．
【答案】(1)3个， ；
(2) ；
【解析】
【分析】
（1）根据题意写出即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等即可求解．
(1)
3个， ；
(2)
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查角的概念及平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．
【变式训练1】（2022·全国·七年级）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，
如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出．图中如果， ，那么 和 各是多少度？
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等可得 ，两直线平行，同旁内角互补可得
，然后计算即可得解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记平行线的性质是解题的关键．
【变式训练2】如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向
修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的
方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM
与∠DMN的数量关系．【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°
【解析】
【分析】
（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行
线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；
（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-
y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°．
【详解】
解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则l∥m，
根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．
（2）如图所示，
设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DE∥FN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，
则x-y=45°，
即∠DMN-∠CDM=45°．【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键．
【变式训练3】（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低
洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜
使物光经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，
抽象出的数学图形如图2所示，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是
否平行？并说明理由．
【答案】进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是平行的，理由见解析
【解析】
【分析】
根据平行线的判定与性质进行说明即可．
【详解】
解：进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是平行的，理由如下
∵AB//CD
∴∠BAD=∠CDA
∵
∴ ，即
∴AE//DF
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键．【专项训练】
一、选择题
1．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】
解：如图，作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥CE，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，
∵∠3+∠4＝∠ABC＝110°，
∴∠1+∠4＝110°，
∴∠2﹣∠1＝70°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝110°，∠2+∠4＝180°是解题关键．
2．（2021·山东滨州·二模）如图，已知AB∥CD∥EF，∠1＝60°，∠3＝20°，则∠2的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由AB EF，根据据两直线平行，内错角相等，可求出∠CDE的度数，从而由∠CEF=∠AEF-∠3可求得出
∠CEF的度数，再由CD EF，根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠2的度数即可．
【详解】
解：∵AB EF，
∴∠AEF=∠1，
∵∠1=60°，
∴∠AEF=60°，
∵∠3=20°，
∴∠CEF=60°-20°=40°，
∵CD EF，
∴∠2+∠CEF=180°，
∴∠2=180°-40°=140°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）A．115° B．110° C．105° D．100°
【答案】C
【解析】
【分析】
过 作 ，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：过 作 ，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
4．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）①如图1，AB CD，则∠A＋
∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，AB CD，则∠A＋∠E－∠1＝
180°；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】①过点E作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线 ，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线 ，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】
解：①过点E作直线 ，
∵ ，∴ ，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线 ，
∵ ，
∴ ，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线 ，
∵ ，∴ ，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线 ，∵ ，∴ ，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题
5．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知 ， ， ，则
________度．
【答案】110
【解析】
【分析】
过E作一条直线 ，根据题意，得 ；根据平行线同旁内角互补的性质，推导得 ，再
根据平行线内错角相等的性质计算，即可得到答案．
【详解】
过E作一条直线∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ．
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
6．（2021·吉林延边·模拟预测）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置
（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=18°，则∠2的度数是_____．
【答案】48°##48度
【解析】
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠2=∠1+∠CAB=18°+30°=48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．7．（2021·广东·深圳市龙岗区龙城初级中学七年级阶段练习）如图，已知m∥n，若过点P，P 作直线m的
1 2
平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．
【答案】∠2＋∠4＝∠1＋∠3
【解析】
【分析】
分别过点P、P 作 ， ，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到相应的角相
1 2
等，即可得到最后答案．
【详解】
解：分别过点P、P 作 ， ，
1 2
∵ ，
∴ ，
∴∠1＝∠APC，CP P＝∠PPD，∠DPB＝∠4，
1 1 2 1 2 2
∴∠1＋∠PPD＋∠DPB＝∠APC＋∠CP P＋∠4，
1 2 2 1 1 2
即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，解决本题的关键是通过平行，找到相应的角的
关系．8．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）探索：微微和为锦在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD
都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C数量关系．
发现：在图1中，微微和为锦都发现∠P与∠A，∠C的数量关系为______；
应用：在图2中，∠A＝125°，∠C＝135°，则∠P＝_____．
在图3中，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠P＝_____．
【答案】 ∠APC＝∠A+∠C 100° 40°
【解析】
【分析】
发现：过点 作 ，根据平行线的性质得出 ， ，即可得出答案；
应用：过点 作 ，根据平行线的性质得出 ， ，即可得出答案；
根据平行线的性质得出 ，根据三角形外角性质得出即可．
【详解】
解：发现：过点 作 ，
所以 ，
， ．
，
，
，
即 ，
故答案为： ；
应用：在图2中，过点 作 ，所以 ，
， ．
，
，
，
即 ，
， ，
，
故答案为： ；
在图3中，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能正确作出辅助线．
三、解答题
9．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，已知 ， ，垂足分别为点 、 ， ，试
说明 的理由．解：因为 ， （已知），
所以 ， （ ），
所以 （等量代换），
所以 （ ），
所以 （ ），
因为 （已知），
所以 （ ），
所以 （ ）．
【答案】垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两
直线平行
【解析】
【分析】
根据两直线平行的判定与性质进行填写即可，
【详解】
解：因为 ， （已知），
所以 ， （垂直的意义），
所以 （等量代换），
所以 （同位角相等，两直线平行），
所以 （两直线平行，同位角相等），
因为 （已知），
所以 （等量代换），
所以 （内错角相等，两直线平行）．
故答案是：垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，
两直线平行．
【点睛】本题考查了垂线，两直线平行的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的判定与性质．
10.（2021·广东深圳·七年级期中）完成下面的推理过程：
如图，已知EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．
(1)求证：AB∥MN；
(2)若∠BMN＝140°，∠ADM＝25°，求∠BAD的度数．
证明：（1）∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90°（________________）
∴EF∥DM（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠CDM（________________）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠CDM（等量代换）
∴MN∥CD（________________）
∴∠C＝∠________（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠3＝∠AMN（等量代换）
∴AB∥MN（内错角相等，两直线平行）
（2）∵AB∥MN（已证）
∴∠BMN＋∠B＝180°（________________）
∵∠BMN＝140°（已知）
∴∠B＝40°
∵∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°（________________）
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－40°－25°＝115°
【答案】(1)见解析；垂直的定义；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠AMN；
(2)两直线平行，同旁内角互补；三角形的内角和定理
【解析】
【分析】
（1）由于 ， 得到 ，根据平行线的性质得 ，而∠1=∠2，则，根据平行线的判定得到 ，所以 ，又 ，于是 ，然
后根据平行线的判定即可得到 ；
(2)由于 利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可求得∠B的度数，再利用三角形的内角
和即可求解.
(1)
解：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠AMN；；
(2)
解：两直线平行，同旁内角互补；三角形的内角和定理
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键.
11.（2021·广东深圳·七年级期中）如图，已知∠1＋∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据补角的性质得出∠FDE＝∠2，等式的性质得出∠FEC＝∠ECB，再根据平行线的判定得出EF
BC，最后根据平行线的性质即可得证；
（2）先求出∠ECB的度数，然后根据角平分线定义即可求出∠ACB的度数．
(1)
证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∵∠3＋∠FEC＋∠FDE＝180°，∠2＋∠B＋∠ECB＝180°，∠B＝∠3，∴∠FEC＝∠ECB，
∴EF BC，
∴∠AFE＝∠ACB；
(2)
解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2＋∠B＋∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【点睛】
本题考查了补角的性质、等式的性质、平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，判断出∠FEC＝
∠ECB是解第1题的关键．
12.（2022·广东茂名·八年级期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，
， ．
(1)求证： ；
(2)若DG是角 的平分线， ，且 ，请说明AB和CD怎样的位置关系？
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 可得 ，由 等量代换可得 根据内错角相等，两直线平行
可得 ；
（2）根据平行线的性质可得 ，由 可得 ，根据平
行线的性质可得 ，根据角平分线的性质可得 ，进而可得 ，即 ．
(1)
证明∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
，理由如下：
由（1 ）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵DG是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，
， ．
(1)请说明 的理由；
(2)若DE平分 ， ，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；
(2) ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件和对顶角相等可证明AB EG，再根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得
∠3=∠EGC，进而可得DE BC；
（2）根据已知条件可得∠B=45°，可以证明CD⊥AB，再由AB EG，即可得CD⊥EG．
(1)
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
∵DE平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区别平行线的判定与性质并熟练运用．
14．（2022·贵州毕节·八年级期末）已知：如图，点D、E、F、G都在 的边上， ，且(1)求证： ；
(2)若EF平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【解析】
【分析】
（1）根据 ，得出∠1＝∠CAE，又∠1+∠2＝180°，得出∠2+∠CAE＝180°，利用同旁内角互补即
可推出；
（2）根据 ，∠C＝35°，得出∠BEF＝∠C＝35°，又因为EF平分∠AEB，得出∠AEB＝70°，再根
据两直线平行的性质即可得出．
(1)
解：证明：∵ ，
∴∠1＝∠CAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠CAE＝180°，
∴ ；
(2)
解：∵ ，∠C＝35°，
∴∠BEF＝∠C＝35°，
∵EF平分∠AEB，
∴∠1＝∠BEF＝35°，
∴∠AEB＝70°，
由（1）知 ，
∴∠BDG＝∠AEB＝70°．
【点睛】
本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质．15．（2021·河北沧州·七年级期中）光线在不同的介质中传播的速度是不同的，因此当光线从水中射向空
气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图所示，恰有两
束平行光线从水中射向空气，∠1＝30°，∠2＝130°．
（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角；
（2）求∠3，∠5，∠8的度数，并判断∠1和∠4是否互补．
【答案】（1） 与 ， 与 是两对同位角（答案不唯一）， 与 是一对内错角；（2）
， 和 不互补．
【解析】
【分析】
（1）根据同位角的定义、内错角的定义即可得；
（2）先根据平行线的性质可求出 的度数，再根据互补角的定义即可得出结论．
【详解】
解：（1）由图可知，两对同位角为： 与 ， 与 ，
一对内错角为： 与 ；
（2）如图，由题意得： ，
，
，
，
，和 不互补．
【点睛】
本题考查了同位角与内错角的定义、平行线的性质，熟练掌握各定义和平行线的性质是解题关键．
16．（2022·全国·七年级）如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请
你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．
【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，证
明见解析
【解析】
【分析】
（1）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；
（2）作PE∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；
（3）作PH∥AB ，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；
（4）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；
【详解】
解：（1）∠A+∠C＝∠P；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A=∠1，∠C=∠2，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=∠A+∠C，
即：∠A+∠C＝∠P；
（2）∠A+∠P+∠C＝360°；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠A+∠C+∠APC=360°，
即：∠A+∠P+∠C＝360°；
（3）∠A＝∠P+∠C；证明如下：
如图所示，作PH∥AB ，则PH∥CD，
∴∠HPA＋∠A＝180°，
∴∠HPA＝180°－∠A，
∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，
∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，
即：∠A＝∠P+∠C；
（4）∠C＝∠P+∠A；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，
∵∠APC=∠EPC－∠EPA，
∴∠APC=∠C－∠A，
即：∠C＝∠P+∠A．【点睛】
本题考查平行线的性质运用，理解并熟练运用平行线的性质，灵活构造辅助线是解题关键．
17．（2022·山东济南·八年级期末）如图， ，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，
CD之间有一个动点P，满足 ．
(1)试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为______．
(2)如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为______；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由见解析；②∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°
(2)①130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①过点P作 ，利用平行线的性质即可求解；②过点P作 ，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；
②设： ， ，则可求∠P，∠Q，即可求解．
(1)
解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作 ，则 ，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
②当点P在EF的右侧时，过点P作 ，则 ，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
(2)
①由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设： ， ，则 ， ，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论、角平分线的定义以及性质等知识点，作辅助线后能求
出各个角的度数，是解此题的关键.．
18．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【解析】
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即
可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA= ∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD= ∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN= ∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC)
=180°- (180°+∠APD)
=180°- (180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．19．（2022·四川宜宾·七年级期末）如图， ，点E为两直线之间的一点
(1)如图1，若 ， ，则 ____________；
(2)如图2，试说明， ；
(3)①如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说明
理由；
②如图4，若设 ， ， ，请直接用含 、 的代数式表示 的度
数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)① ，理由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）如图①，过点E作EF AB．利用平行线的性质即可解决问题；
（2）如图②中，作EG AB，利用平行线的性质即可解决问题；
（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．
(1)
解：过E点作EF AB，
∵AB CD，
∴EF CD，
∵AB CD，∴∠BAE＝∠1，
∵EF CD，
∴∠2＝∠DCE，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．
∵ ， ，
∴
(2)
过E点作AB EG．
∵AB CD，
∴EG CD，
∵AB CD，
∴∠BAE＋∠AEG＝180°，
∵EG CD，
∴∠CEG＋∠DCE＝180°，
∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．
(3)
①由（1）知 ，
∵FA为∠BAE平分线，CF为 平分线，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，
∴ ，
②由①知 ，∵ ， ， ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022·江苏·七年级专题练习）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分
∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）过点 作 ，先根据平行线的性质可得 ，再根据平行公理推论可得
，然后根据平行线的性质可得 ，由此即可得证；
（2）过点 作 ，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出 ，
，从而可得 ，再根据垂直的定义可得 ，由此
即可得出结论；
（3）过点 作 ，延长 至点 ，先根据平行线的性质可得 ， ，
从而可得 ，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得
，然后根据角的和差、对顶角相等可得 ，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点 作 ，
，
，
，
，即 ，
，
；
（2）如图，过点 作 ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 ，延长 至点 ，，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
由（2）可知， ，
，
又 ，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
21．（2020·河北·金柳林外国语学校七年级期末）如图1，已知直线l∥l，且 和l，l 分别相交于A，B两
1 2 1 2
点， 和l，l 分别交于C，D两点，点P在线段 上．
1 2
（1）若∠1=23°，∠2=34°，则 _____________；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；已知l∥l，点A，B在 上，点C，D在 上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
1 2
∠α=74°，∠β=32°．
①如图2，求 的度数；
②如图3，将线段 沿 方向平移，其他条件不变，直接写出 的度数．
【答案】（1）57°；（2）∠1+∠2=∠3，理由见解析；（3）①∠AEC=53°；②∠AEC=143°．
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，
∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠3=∠1+∠2=57°；
（2）根据l∥l，可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得
1 2
到∠1+∠2=∠3；
（3）①利用平行线的定义结合角平分线的定义得出∠ECD以及∠AEF的度数即可得出答案；②利用平行
线的性质结合角平分线的定义得出∠BAE以及∠AEF的度数即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵l∥l，
1 2
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2=23°+34°=57°；
故答案为：57°；
（2）∠1+∠2=∠3，
理由：∵l∥l，
1 2
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠1+∠2=∠3；
（3）①过点E作EF∥l，
1∵l∥l，
1 2
∴EF∥l，
2
∵l∥l，
1 2
∴∠BCD=∠α，
∵∠α=74°，
∴∠BCD=74°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD= ×70°=37°，
∵EF∥l，
2
∴∠FEC=∠ECD=37°，
同理可求∠AEF=16°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=53°；
②过点E作EF∥l，
1
∵l∥l，
1 2
∴EF∥l，
2
∵l∥l，
1 2
∴∠BCD=∠α，
∵∠α=74°，
∴∠BCD=74°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD= ×70°=37°，
∵EF∥l，
2
∴∠FEC=∠ECD=37°，
∵l∥l，
1 2
∴∠BAD+∠β=180°，∵∠β=32°，
∴∠BAD=148°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE= ×148°=74°，
∵EF∥l，
1
∴∠BAE+∠AEF=180°，
∴∠AEF=106°，
∴∠AEC=106°+37°=143°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题
关键．
22．（2021·新疆克拉玛依·七年级期末）（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结
1 2 1 2 3
果）
（2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠An＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【解析】
【分析】
（1）过点A 作AB∥l，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1
（2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1 3 3 1
（3）根据平行线的性质，即可求解；
（4）根据平行线的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）过点A 作AB∥l，
2 2 1∵l∥l，
1 2
∴AB∥l∥l，
2 1 2
∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，
1 1 2 3 3 2
∴∠A+∠AAA+∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB=180°+180°=360°，
1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2
故答案是：360°；
（2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，
2 2 1 3 3 1
∵l∥l，
1 2
∴AC∥AB∥l∥l，
3 2 1 2
∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，∠BAA+∠CA A2=180°，
1 1 2 4 4 3 2 3 3
∴∠A+∠A1AA+∠AAA+∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB+∠BAA3+∠CA A2
1 2 3 2 3 4 4 1 1 2 4 4 3 2 3
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝180°+180°+180°+180°=720°，
1 2 3 4 5
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A+∠A+…+∠An＝（n-1）180 °，
1 2
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．
23．（2021·山西大同·七年级期中）探究题：
背景材料：如图①，若 ，则
理由：过 作 ，因为 ，所以， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行）由 ，得 ，由 ，得 ．（两直线平行，内错角相等）
由 ，所以， ，（等量代换）．
（1）希望小组的同学发现，图①中若 ，可得出 ．请说明理由；
（2）雄鹰小组的同学将点 移至图②的位置，此时 ， ， 之间也存在着一种数量关系？请直接
写出结论；
（3）勤奋小组的同学将点 移至图③的位置，此时 ， ， 之间的关系又如何？请写出结论并说
明理由；
（4）创新小组的同学画出了图④，若 ， 与 之间有数量关系？请直接写
出结论．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，理由见解析；（3）∠B=∠D+∠BED，理由见
解析；（4）∠B+∠EFG+∠D=∠G+∠E，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）如图所示过 作 ，从而可以得到 ，根据 可以得到 即
，从而得到 ；
（2）如图所示，过 作 ，利用两直线平行，同旁内角互补的性质进行求解即可；
（3）过 作 ，利用平行线的性质求解即可得到答案；
（4）过点F作FH∥AB，然后利用（1）的结论即可求解.
【详解】
解：（1）如图所示过 作 ，
∵ ，
∴ ，（两直线平行，内错角相等）
∵ ， ，（已知）
∴ ，（等量代换）
∴ ，（内错角相等，两直线平行）
∴ ；（平行于同一直线的两条直线平行）（2） ，理由如下：
如图所示，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∠B=∠D+∠BED，理由如下：
如图所示过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠D=∠DEF，
∵∠BEF=∠BED+∠DEF，
∴∠B=∠D+∠BED，（4）∠B+∠EFG+∠D=∠G+∠E，理由如下：
如图所示，过点F作FH∥AB，
由（1）可知∠B+∠EFH=∠E，∠HFG+∠D=∠G，
∴∠B+∠EFH+∠HFG+∠D=∠G+∠E，
∵∠EFG=∠EFH+∠HFG，
∴∠B+∠EFG+∠D=∠G+∠E，
【点睛】
本题主要了平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（2021·北京师范大学附属实验中学分校七年级期中）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相
交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF
＝β°，且 ＋|β﹣40|＝0
(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；
(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存
在的数量关系，并证明你的结论；
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M 和点N 时，作
1 1∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求
出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)40，40，平行；
(2)∠GHF+∠FMN =180°；证明见解析；
(3)不变，2
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质求出α、β，再根据角平分线的性质和平行线的判定得出AB平行于CD；
（2）根据AB∥CD得出∠BMN＝∠PNF，由∠MGH＝∠PNF可得∠MGH＝∠BMN，可证MN∥GH，利用
平行线的性质可证∠FMN=∠GHF；
（3）作QU∥AB，PI∥AB，可证 ， ，再根据角平分线
的性质可得 ．
(1)
解：∵ ＋|β﹣40|＝0，
∴ ，β﹣40＝0，
∴ ，β＝40，
∵∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，
∴∠PFM＝∠NFM＝40°，
∴∠EFM＝∠NFM，
∴AB∥CD，
故答案为：40，40，平行．
(2)
解：∠GHF+∠FMN =180°；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BMN＝∠PNF，
∵∠MGH＝∠PNF，
∴∠MGH＝∠BMN，
∴MN∥GH，∴∠FMN=∠GHM，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠GHF+∠FMN =180°．
(3)
解：不变；
作QU∥AB，PI∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥QU∥PI ，
∴∠UQM ＝∠QM B，∠UQF＝∠QFN，∠IPM ＝∠PMB，∠IPF＝∠PFN，
1 1 1 1
∴ ， ，
∵∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明．
