专题 4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】.........................................................................................................3
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】..............................................................................................................4
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】..............................................................................................................4
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................................................................5
【题型5 求三角形（四边形）的面积】..................................................................................................................6
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】.............................................................................................8
【题型7 距离、高度、角度测量问题】..................................................................................................................9
【题型8 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】.......................................................................................11
1、正弦定理、余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来
看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解
三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考
查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学
生灵活求解.
【知识点1 解三角形几类问题的解题思路】
1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，
即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的
三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2.判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意
挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3.对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 B= >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 B= =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 B= <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< B= <1可得B有两个值，一个大于 ，一个小于 ，考虑到“大边对大角”、
“三
角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
4.与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】
1．测量问题
1.测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定
A,B间不可达
也不可视 理得
测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，
B, C与点A可
由正弦定理得
视但不可达测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的
C,D与点A,B 度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在
均可视不可达 △BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC
中，用余弦定理求AB.
2.测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
可达
测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
点B与
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形
C,D共线
得AB的值.
底
部
不
可
达
点B与 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
C , D不 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角
共线 三角形得AB的值.
3.测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、
图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
π
【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△ABC中，∠C的角平分线交AB于点D，∠B= ，
6
BC=3√3，AB=3，则CD=（ ）3√6 3 3√2 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△ABC中，若
2cos2A−cosA=2cos2B+2cos2C−2+cos(B−C)，则A=（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、
(π )
b、c，若a=1，c=2√3，bsin A=asin −B ，则sinC=（ ）
3
√3 √21 √21 √57
A． B． C． D．
7 7 12 19
【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且a2+b2−c2=4a2cosA−2accosB，则a等于（ ）
A．2 B．2√2 C．√3 D．1
【题型2 】
【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=2bcosC，则
△ABC一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
a2 sinAcosB，则 的形状为（ ）
= △ABC
b2 sinBcosA
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在△ABC中，D是BC边的中点，且AB=3，AC=2，
AD=√3，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在△ABC和△A B C 中，若cosA=sin A ，
1 1 1 1
cosB=sinB ，cosC=sinC 则（ ）
1 1
A．△ABC与△A B C 均是锐角三角形
1 1 1B．△ABC与△A B C 均是钝角三角形
1 1 1
C．△ABC是钝角三角形，△A B C 是锐角三角形
1 1 1
D．△ABC是锐角三角形，△A B C 是钝角三角形
1 1 1
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
12
【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在△ABC中，cosA= ，sinB=m，若角C有唯一
13
解，则实数m的取值范围是（ ）
( 5 ) [ 5 ] [12 ] { 5 } ( 5 ]
A． ,1 B． ,1 C． ,1 ∪ D． 0, ∪{1}
13 13 13 13 13
【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
π
a=2√2,b=4,A= ，则此三角形（ ）
6
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三
角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．B=60°，c=4，b=5，有两解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解
C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，无解
【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=√3.
若这个三角形有两解，则b的取值范围是（ ）
A．√3<b≤2 B．√3<b<2
C．1<b<2√3 D．1<b≤2
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】
B B B
【例4】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，2√3cos2 +2sin cos =√3.
2 2 2
(1)求B的大小；
(2)若√3(a+c)=2b，证明：a=c.
【变式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
△c−b sinA+sinB
= .
a sinC+sinB
(1)求角C的大小；
(2)CD为 ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
△AD AC
（i）求证: = ；
BD BC
（ii）若a=2，c=√19，求CD的长.
【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．
(1)证明：PBsinABC=ABsinα．
(2)若∠ABC=90∘，AB=BC=1，求PC．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O
恰为MN中点.
(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|
(2)若 ， ，求S 的最大值.
|AO|=√3 |OM|=1 △AMN
S
△ABC【题型5 求三角形（四边形）的面积】
【例5】（2023·湖南永州·统考一模）在△ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足
ccosA−acosC=a+b．
(1)求角C；
√3
(2)若c=5,△ABC的内切圆半径r= ，求△ABC的面积．
4
【变式5-1】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、
2c−a
b、c，若 +cosC=tanBsinC．
b
(1)求角B的值；
(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．
【变式5-2】（2023·江西·校联考二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2C=2.
(1)求角C；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围.【变式5-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，
且2bcosA=2c−a.
(1)求B；
(2)如图，D,B在AC的两侧，b2=ac且AD=CD=2，求四边形ABCD面积的最大值．
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
cosB=cos2A.
b
(1)求 的取值范围；
a
(2)若a=1，求△ABC周长的取值范围.
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
3
sin2A−2sin AcosBsinC+sin2C= ．
4
(1)求角B的值．
a+c
(2)求 的取值范围．
2b【变式6-2】（2023·四川雅安·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(a+c)sin A−bsinB
=sinC．
a−b+c
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为4√3，求△ABC周长l的最小值．
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）从①2sinB=2sinAcosC+sinC，②4Ssin A=absinCtan A（
S为△ABC的面积），③bcosA+acosB+2acosC=2b这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，
并加以解答．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．
(1)求角A的大小；
(2)若4sinB=bsin A，求b+c的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【题型7 距离、高度、角度测量问题】
【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距√6+√2海里的B处有一
艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2√2海里/小时的速
度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立
即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3√2海里/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【变式7-1】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2
公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳
文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD=30°，
∠BDC=70°，∠BED=120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据：
取tan62°=1.88，sin70°=0.94，√144.9616=12.04.
(1)求BD；
(2)求塔高AB（结果精确到1m）.
【变式7-2】（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东
45∘，B点北偏西75∘，这时位于B点南偏西45∘且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海
里/小时．
(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
【变式7-3】（2023下·上海宝山·高二校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处
有一栋大楼，某学生选（与A在同一水平面的）B､C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，
∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°.
(1)求A,C两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m）【题型8 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】
【例8】（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数f (x)=√3sin2ωx−2cos2ωx+2(ω∈N )在 ( π,
4π
) 上
+ 3
单调．
(1)求f (x)的单调递增区间；
(A)
(2)若 ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，f =2，求 ABC周长的最大值．
2
△ △
【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知函数 .
f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x
(1)求函数y=log f(x)的定义域和值域；
2
(A) b+c
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f =0，求 的最大值.
2 a
x x x
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=sin2 −√3sin cos +1.
2 2 2
(1)求函数y=f (x)的单调递减区间；
1
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2−b2=accosB− bc，求f (B)的取值
2
范围.( π)
【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f (x)=sin x− +m，将y=f (x)的图象横坐标变为原
6
1 π [π π]
来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间 , 内的最大值为
2 6 4 3
√3
.
2
（1）求m的值；
(C) √3
（2）在锐角△ABC中，若g = ，求tan A+tanB的取值范围.
2 2
1．（2023·北京·统考高考真题）在△ABC中，(a+c)(sin A−sinC)=b(sin A−sinB)，则∠C=
（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若
π
acosB−bcosA=c，且C= ，则∠B=（ ）
5
π π 3π 2π
A． B． C． D．
10 5 10 5
3．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交
BC于D，则AD= ．
b2+c2−a2
4．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2．
cosA
(1)求bc；
acosB−bcosA b
(2)若 − =1，求△ABC面积．
acosB+bcosA c5．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.
6．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知
a=√39,b=2,∠A=120∘．
(1)求sinB的值；
(2)求c的值；
(3)求sin(B−C)．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A−C)=sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
8．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为√3，
D为BC中点，且AD=1．
π
(1)若∠ADC= ，求tanB；
3
(2)若b2+c2=8，求b,c．9．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
10．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cosA sin2B
= ．
1+sinA 1+cos2B
2π
(1)若C= ，求B；
3
(2)求a2+b2的最小值．
c2
