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专题 4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】.........................................................................................................3
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】..............................................................................................................4
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】..............................................................................................................4
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................................................................5
【题型5 求三角形（四边形）的面积】..................................................................................................................6
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】.............................................................................................8
【题型7 距离、高度、角度测量问题】..................................................................................................................9
【题型8 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】.......................................................................................11
1、正弦定理、余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来
看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解
三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考
查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学
生灵活求解.
【知识点1 解三角形几类问题的解题思路】
1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，
即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的
三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2.判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意
挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3.对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 B= >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 B= =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 B= <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< B= <1可得B有两个值，一个大于 ，一个小于 ，考虑到“大边对大角”、
“三
角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
4.与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】
1．测量问题
1.测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定
A,B间不可达
也不可视 理得
测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，
B, C与点A可
由正弦定理得
视但不可达测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的
C,D与点A,B 度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在
均可视不可达 △BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC
中，用余弦定理求AB.
2.测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
可达
测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
点B与
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形
C,D共线
得AB的值.
底
部
不
可
达
点B与 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
C , D不 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角
共线 三角形得AB的值.
3.测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、
图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
π
【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△ABC中，∠C的角平分线交AB于点D，∠B= ，
6
BC=3√3，AB=3，则CD=（ ）3√6 3 3√2 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△ABC中，若
2cos2A−cosA=2cos2B+2cos2C−2+cos(B−C)，则A=（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、
(π )
b、c，若a=1，c=2√3，bsin A=asin −B ，则sinC=（ ）
3
√3 √21 √21 √57
A． B． C． D．
7 7 12 19
【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且a2+b2−c2=4a2cosA−2accosB，则a等于（ ）
A．2 B．2√2 C．√3 D．1
【题型2 】
【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=2bcosC，则
△ABC一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
a2 sinAcosB，则 的形状为（ ）
= △ABC
b2 sinBcosA
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在△ABC中，D是BC边的中点，且AB=3，AC=2，
AD=√3，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在△ABC和△A B C 中，若cosA=sin A ，
1 1 1 1
cosB=sinB ，cosC=sinC 则（ ）
1 1
A．△ABC与△A B C 均是锐角三角形
1 1 1B．△ABC与△A B C 均是钝角三角形
1 1 1
C．△ABC是钝角三角形，△A B C 是锐角三角形
1 1 1
D．△ABC是锐角三角形，△A B C 是钝角三角形
1 1 1
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
12
【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在△ABC中，cosA= ，sinB=m，若角C有唯一
13
解，则实数m的取值范围是（ ）
( 5 ) [ 5 ] [12 ] { 5 } ( 5 ]
A． ,1 B． ,1 C． ,1 ∪ D． 0, ∪{1}
13 13 13 13 13
【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
π
a=2√2,b=4,A= ，则此三角形（ ）
6
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三
角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．B=60°，c=4，b=5，有两解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解
C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，无解
【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=√3.
若这个三角形有两解，则b的取值范围是（ ）
A．√3
