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第30讲 高考题中的解答题一（三角函数）
一、解三角形综合问题
(一) 利用正弦、余弦定理解三角形
(1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个
定理与三角恒等变换相结合解三角形．
(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的
三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题
获得解决的突破口．
[典例] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋
sin C)＝6S.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值．
方法技巧
(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平
方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．
(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式．
针对训练
1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin Csin(A－B)＝sin
Bsin(C－A)．
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知锐角△ABC同时满足下列四个条件中
的三个：
①A＝；②sin C＝；③a＝；④c＝4.
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)求△ABC的面积．
(二) 与多边形有关的解三角形问题
[典例] 如图，四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2， BC＝CD，
且AC＝2.
(1)求B；
(2)若点P是线段AB上的一点，PC＝2，求PA的值．
[关键点拨]
(1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，
cos B的方程组，解出cos B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；
切入点
(2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求
得PA的长
隐藏点 B＋D＝π⇒cos D＝cos(π－B)＝－cos B在余弦定理中的应用方法技巧
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
针对训练
(2022·济宁二模)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD·sin D＝ 2CD·sin
B．
(1)求证：BC＝2CD；
(2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积．
命题点(三) 解三角形中的最值与范围问题
(1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的
最值或范围．
(2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基
本不等式、二次函数等．
[典例] (2022·枣庄一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin＝asin B．求：
(1)A；
(2)的取值范围．
切入点 正确分析已知三角等式中的边角关系，合理选择边化角或角化边
隐藏点 由(1)中得到的角A的值及A＋B＋C＝π求出角B的范围，从而求出的范围
障碍点 不能利用三角恒等变换把表示成某个角的三角函数值方法技巧
三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法
(1)利用基本不等式求得最大值或最小值；
(2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
针对训练
1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小
值时，BD＝________.
2．(2022·济宁一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin B－bcos A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
命题点(四) 正、余弦定理的实际应用
[典例] 如图，某景区有景点A，B，C，D，经测量得，BC＝6 km， ∠ ABC ＝
120°，sin∠BAC＝，∠ACD＝60°，CD＝AC，则AD＝________km.现计 划从景点 B
处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台．为获得最佳观景效果， 要求观景台
对景点A，D的视角∠AMD＝120°.为了节约修建成本，栈道BM长度的最 小 值 为__________km.
切入点 把所求边放入三角形中求解
求解第二空时设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O，利用正弦定理
1
迁移点 求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去
半径求解
方法技巧
解三角形实际应用问题的步骤
针对训练
1．已知平面四边形 满足 ， ， ， .设 ，
.
(1)当 时，求四边形 的面积；(2)求 的值（用 表示）；
(3)若 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最小值.
2．如图，在 中，已知 ，点 ､ 在射线 运动(不含端点，且 )，点 在射线
上且 ，且 .
（1）若 ，求 长；
（2）当 ､ 在射线 运动时，设 ，记 的面积为 ，求 的解析式，并求出
的最小值.3．已知函数 .
（1）求 的最小正周期及 在区间 上的最大值
（2）在锐角 中，f（ ）= ，且a= ，求b+c取值范围.
4．在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 .
(1)求B；
(2)若 的周长为6， ，求 的面积.
5．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，锐角 的终边 与单位圆的交点坐标为 ，
射线 绕点 按逆时针方向旋转 弧度后交单位圆于点 ，点 的纵坐标 关于 的函数为 ．(1)求函数 的解析式，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
.
6．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形
存在，求其面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
_________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，D为BC的中点，求线段AD长度的最大值．
8．已知函数 ， .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.
9．已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；(2)将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象，求 的值域．
10． 中， ．
(1)求角 ．
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
