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第 30 讲 y=sin(ωx+φ)的图象与性质
1、 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ _ωx＋φ_ _φ_
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ __0__ __π__ __2π__
y＝Asin(ωx
0 A 0 －A 0
＋φ)
3、 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 函数 的图象由
的图象向左平移 个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C【解析】
因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图象如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
2、 （2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数 在区间单调递增，直线 和 为函数 的图象的两条对称轴，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则
π π
3、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图象向左平移
个单位长度后得到曲线
3 2
C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【解析】
[ ( π) π] ωπ π
由题意知：曲线C为y=sin ω x+ + =sin(ωx+ + )，又C关于y轴对称，则
2 3 2 3
ωπ π π
+ = +kπ,k∈Z，
2 3 2
1 1
解得ω= +2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 .
3 3
故选：C.π
4、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取
3
值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
【答案】C
【解析】
π (π π)
解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下所示：
3
5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
π 2π
5、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若 0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则φ的值为 ．
【答案】
【解析】 由函数的图象可知A＝1，T＝－＝，解得T＝π，所以ω＝2.又函数的图象经过点，所以1＝sin
，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝.
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）函数 的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称
轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由给定解析式及图象确定 值的表达式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意，点 是函数 的图象对称中心，且 在函数 的一个单调增区间内，
则 ，即 ， ，
令函数 周期为 ，由图象知 ，即有 ，而 ，则有 ，
因此， ，解得 ，而 ，则 ， ， ，
由 得函数 图象的对称轴： ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，即选项A，B，D不满足，选项C满足.
故选：C
变式3、（2022年湖南张家界市模拟试卷）记函数 的最小正周期为T，
若 ，且 是 图象的一个最高点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，
因为 是 图象的一个最高点，则
且 ，则，取 ，可得 ，
所以 ，
则
故选:A.
方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降
区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
例2、某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，
如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对
称中心为，求θ的最小值．
【解析】 (1) 根据表中已知数据，
可得A＝5，ω＝2，φ＝－.
数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
函数解析式为f(x)＝5sin .
(2) 由(1)，知f(x)＝5sin ，
所以g(x)＝5sin .
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，
解得x＝＋－θ，k∈Z.
因为函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
变式1、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）（多选题）要得到 的图象 ,只要将
图象 怎样变化得到
A. 将 的图象 沿x轴方向向左平移 个单位
B. 将 的图象 沿x轴方向向右平移 个单位
C. 先作 关于x轴对称图象 ,再将图象 沿x轴方向向右平移 个单位
D. 先作 关于x轴对称图象 ,再将图象 沿x轴方向向左平移 个单位
【答案】ABC
【解析】
对 于 A ， 将 图 象 沿 x 轴 方 向 向 左 平 移 个 单 位 ， 可 得
的图象 ，故选项A正确；
对于B，将 的图象 沿x轴方向向右平移 个单位也可得到，
的图象 ，故选项B正确；
对于C，先作 关于x轴对称，得到 的图象 ，再将图象 沿x轴方向向右平移个单位，得到 的图象 ，故选项C正确；
对于D，先作 关于x轴对称，得到 的图象 ，再将图象 沿x轴方向向左平移 个
单位，得到的 图象，故选项D不正确．
故选： ．
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右移 个单位
【答案】D
【解析】
因为： ．
所以：函数 的图象向右平移 个单位，
可得到函数 的图象．
故选:D.
变式3、 （2022年福建龙岩市模拟试卷）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐
标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
变式4、（2022·山东莱西·高三期末）要得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】C
【解析】
解：因为函数 ，
所以要得到 的图象，只需将 的图象向右平行移动 个单位长度，
故选：C.
方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐
标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸
缩后平移”．
考向三 三角函数图象与性质的综合问题
例3、（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数 (ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在 上是单调增函数
B．若 ，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在 上有且仅有3个零点，则
【答案】BD
【解析】
依题意， ，
对于A， ， ，当 时，有 ，因 在 上不单调，
所以 在 上不单调，A不正确；对于B，因 ，则 是函数 图象的一条对称轴， ，
整理得 ，而 ，即有 ， ，B正确；
对于C， ， ，依题意，函数 ，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当 时， ，依题意， ，解得 ，D正确.
故选：BD
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数 (A＞0，0＜φ＜π)的图象
如图所示，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C．当 时，f(x)的最大值为1
D．若 ，则 的最小值为π
【答案】AC
【解析】
由图可知 ，A选项正确.，
，
所以 .
为奇函数，B选项错误.
，
，C选项正确.
，
若 ，则 ， ，
， ，
，
当 时， 取得最小值为 ，D选项错误.
故选：AC
变式2、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）将函数 的图象向左平移 个单位长度
后得到 的图象如图，则（ ）A． 为奇函数
B． 在区间 上单调递增
C．方程 在 内有 个实数根
D． 的解析式可以是
【答案】BC
【解析】
由图可知，函数 的最小正周期为 ， ， ，
所以， ，则 ，可得 ，
所以， ，得 ，
因为 ，则 ，所以， ，
将函数 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象，
故 .
对于A选项，因为 ，故函数 不是奇函数，A错；对于B选项，当 时， ，故函数 在区间 上单调递增，B对；
对于C选项，由 ，可得 ，
当 时， ，所以， ，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：BC.
变式3、（2022·广东汕尾·高三期末）（多选题）以下关于函数 的命题，正确的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．直线 的函数 图象的一条对称轴
D．将函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于原点对称
【答案】AD
【解析】
由题意得 ，所以最小正周期 ，所以A对．
，所以直线 是函数 图象的一条对称轴，所以B错．
，所以点 是函数 图象的一个对称中心，所以C错．将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的函数为
，是奇函数，所以D对．
故选：AD．
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．
1、（2022年厦门双十中学模拟试卷）将 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐
标不变），得到 的图象，再将 图象向左平移 ，得到 的图象，则
的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】将 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到
的图象，
再将 图象向左平移 ，得到 的图象，
故选：A.2、（2022·广东佛山·高三期末）已知函数 在一个周期内的图象如图所
示，图中 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】
由已知可得 ， 在 处附近单调递增，且 ，故 ，
又因为点 是函数 在 轴右侧的第一个对称中心，
所以， ，可得 ，故 ，
因此， .
故答案为： .
3、（2022·山东枣庄·高三期末）若 的部分图象如图所示，则 的值
为________．【答案】
【解析】
由图象可得 ， 即 ，
，所以 ，
又 图象经过 ，
，
所以 ，又 ，
，所以 .
故答案为： .
4、（2022·广东潮州·高三期末）（多选题）已知函数 ，则（ ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0， ]上的最小值为C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线 对称
【答案】BD
【解析】
解：对于A，取 ，则 ，从而 ，此时 不是奇函数，则A错误；
对于B，当 时， ，
当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，当 时， ，
令 ，则 ，
所以 的递增区间为 ，则C错误；
对于D，因为 ，所以 的图象关于直线 对称，则
D正确；
故选：BD.
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知函数 ，若 且对任意
都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．C． 的图象向左平移 个单位后，图象关于原点对称
D． 的图象向右平移 个单位后，图象关于 轴对称
【答案】BD
【解析】
，
，
又对任意 都有 ，
则 为 的最大值，
，
整理得： ，则 ，
所以 ，
因此A选项错误，B正确；
的图象向左平移 个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
，该函数图象不关于原点对称，故C错误；
的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，
该图象关于y轴对称，故D正确，
故选：BD
6、（2022·山东泰安·高三期末）已知函数 ，将 的图象向左
平移 个单位长度，所得函数的图象关于 轴对称.
（1）求函数 的解析式；（2）若关于 的方程 在 上恰有两个实数根，求实数 的取值范围.
【解析】
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数为
∴
∴ 又 ∴
∴ .
（2）∵ ∴
当 ，即 时， 单调递增；
当 ，即 时， 单调递减.
且 ， .
∵方程 在 上恰有两个实数根.
∴
∴实数a的取值范围为 .
