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专题 5.1 投影与视图
投影
（1）投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物
体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
（2）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束
光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).
（3）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影
（center projection)。
（4）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
1．如图，太阳光线与地面成 的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影
长是 ，则皮球的直径是
A．15 B． C． D．10
【解答】解：如图， 为直径， ，
太阳光线与地面成 的角，
，
，，
，
所以皮球的直径是15．
故选： ．
2．人从路灯下走过时，影子的变化是
A．长 短 长 B．短 长 短 C．长 长 短 D．短 短 长
【解答】解：因为人在路灯下行走的这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以人
在地上的影子先变短后变长．
故选： ．
3．在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是
A．
B．
C．
D．【解答】解：根据平行投影的特点，矩形木框在地面上形成的投影不可能是梯形．
故选： ．
4．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在
水平投影面上的正投影是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可得，
当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影有 4个小正方形组成，如
图
故选： ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源，木杆 两端的坐标分别为 ，
，则木杆 在 轴上的投影 长为A． B． C．5 D．6
【解答】解：延长 、 分别交 轴于 、 ，作 轴于 ，交 于 ，如图，
， ， ．
， ， ，
，
△ ，
，即 ，
．
故选 ．
6．唐代李白《日出行》云：“日出东方隈，似从地底来”．描述的是看日出的景象，意思
是太阳从东方升起，似从地底而来．如图所示，此时观测到地平线和太阳所成的视图可能
是A． B．
C． D．
【解答】解：观测到地平线和太阳所成的视图可能是 ．
故选： ．
7．太阳发出的光照在物体上是 ，路灯发出的光照在物体上是
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选： ．
8．下列现象是物体的投影的是
A．灯光下猫咪映在墙上的影子
B．小明看到镜子里的自己
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
【解答】解： 、灯光下猫咪映在墙上的影子是投影，符合题意；
、小明看到镜子里的自己是镜面对称，不是投影，不符合题意；
、自行车行驶过后车轮留下的痕迹不是投影，不符合题意；
、掉在地上的树叶不是投影，不符合题意，
故选： ．9．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如
图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，点 即为所求，投影中心在3号窗口．
故选： ．
10．如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为 ，
．则木杆 在 轴上的投影长为
A．8 B．9 C．10 D．12
【解答】解：连接 、 并延长分别交 轴于点 、 ，
线段 就是木杆 在 轴上的投影．
过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，点 ， ， ，
， ， ， ，
，
， ，
，
，即 ，
．
故木杆 在 轴上的投影长为9．
故选： ．
11．晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是
A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．逐渐变短 D．逐渐变长
【解答】解：人从马路边向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留
下的影子越来越短，
当人到达路灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，
当人再次远离路灯时，光线与地面的夹角越来越小，人在地面上留下的影子越来越长，
所以人在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长．
故选： ．
12．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下
A．不能够确定谁的影子长 B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长 D．小刚的影子比小红的影子长
【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选： ．13．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 处，木杆 两端的坐标分别为 ，
．则木杆 在 轴上的影长 为
A．3 B．5 C．6 D．7
【解答】解：过 作 轴于 ，交 于 ，如图，
， ， ．
， ， ，
，
，
，
，
故选： ．
14．矩形的正投影不可能是
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
【解答】解：用平行光线对矩形从不同的方向，不同的角度正投影，可以得到矩形、正方
形、线段，不可能是梯形，
故选： ．15．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是
A． B． C． D．
【解答】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同
一方向上，可知选项 中的图形符合题意；
故选： ．
视图
（1）三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮
廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面
向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向
下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右
面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状， 三视图就是主视图、
俯视图、左视图的总称。
（2）特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结
构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如
剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三
视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半
剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
16．如图，是一根空心方管，在研究物体的三视图时，小明画出的该空心方管的主视图与
俯视图分别是A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
【解答】解：小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是（2）（4）．
故选： ．
17．由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选： ．
18．如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看，底层左边是1个正方形，上层是3个正方形．
故选： ．
19．如图是一个几何体的立体图及其三视图，则这个几何体的俯视图是
A． B．
C． D．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是 ．
故选： ．
20．如图是由6个形状大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是A． B． C． D．
【解答】解：从上面看，可得如下图形：
故选： ．
21．如图所示，几何体的主视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从前面看，可得如下图形：
故选： ．
22．如图所示的几何体的俯视图是A． B．
C． D．
【解答】解：从上面可看，可得如下图形：
故选： ．
23．一长方体切去一角后如图所示，它的主视图是
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面，可得如下图形：
故选： ．
24．如图所示的几何体，它的左视图正确的是
A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选： ．
25．6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意知，该几何体的左视图为：
故选： ．
26．下列几何体中，三个视图完全相同的几何体是
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．正方体
【解答】解：在圆锥、圆柱、长方体和正方体中，三视图完全一样的是正方体，
故选： ．
27．下列图形的三视图中，主视图、左视图和俯视图都相同的是
A． 圆锥 B． 球C． 圆柱 D． 长方体
【解答】解： ．圆锥的主视图和俯视图都是等腰三角形，俯视图是有圆心的圆，故本选
项不合题意；
．球的三视图都为圆，故本选项符合题意；
．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
．长方体是主视图和俯视图都是矩形，左视图是正方形，故本选项不合题意；
故选： ．
28．某零件由两长方体组合而成如图所示，则它的左视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看，视图是一个矩形，由于物体正面看有上下两层，从左边看不到凹
槽的棱，用虚线表示，
故选： ．
29．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中 的
值为A．1.8 B．1.7 C． D．2
【解答】解：如图，由图形中所标识的数据可知，
在俯视图中， ， 是正三角形，过点 作 于 ，
，
，
即左视图中 的值为 ．
故选： ．
30．一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，
则图2中，上水面所在圆的半径长为A． B． C． D．
【解答】解：设上水面所在圆的半径长为为 ，依题意有：
，
解得 ．
故选： ．
投影与视图
31．从正面、左面、上面看到的圆柱的形状图如图所示．（计算结果用 表示）
（1）求这个圆柱的表面积；
（2）求这个圆柱的体积．
【解答】解：（1）
．
故这个圆柱的表面积是 ；
（2）
．
故这个圆柱的体积是 ．
32．如图是某几何体的三视图，求此工件的表面积．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．【解答】解：（1）由此工件的三视图知，该几何体是底面直径为 ，母线长为 的圆
锥体；
（2）此工件的表面积为 ．
33．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
（1）请在网格中画出几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 6 个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为 ，则该几何体的表面积为 ．
【解答】解：（1）根据几何体的主视图、左视图、俯视图的画法画出图形如下：（2）图中共有6个小正方体．
故答案为：6；
（3） ．
答：该几何体的表面积为 ．
故答案为：26．
34．【问题情境】
乐乐所在的数学实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）乐乐准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方
体形纸盒？ ①③④ （填序号）；
（2）图2是乐乐的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“祝”字相对的字是 ；
（3）乐乐把一张边长为 的正方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为 的小
正方形，折成无盖长方体形纸盒．用含 的代数式表示这个纸盒的容积为 ．
（4）乐乐所在的数学实践小组把折叠成的6个无盖长方体纸盒摆成如图3的立体图形，请
分 别 画 出 这 个 立 体 图 形 从 正 面 看 和 上 面 看 的 形 状 图 ．【解答】解：（1）图②中有6个面，无盖正方体形纸盒应该由5个面，因此图②中的图形
折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，
故答案为：①③④；
（2）由图知，把图2折成无盖正方体形纸盒后与“祝”字相对的字是好，
故答案为：好；
（3）如图，
由图知，这个之和的底面正方形的边长为 ，高为 ，
所以这个纸盒的容积为 ，
故答案为： ；
（4）如图所示．35．如图①是一张长为 ，宽为 的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长
为 的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图② ，请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积 ；（用含 的代数式表
示即可，不需化简）
（2）请写出 ， 值；
1 2 3 4 5
180 252 192
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出 的值；
如果不是正方形，请说明理由．
【解答】解：（1） 它的四个角都剪去一个边长为 的小正方形，然后把它折成一个无
盖的长方体盒子，
长为 ，宽为 ，高为 ，
；
故答案为： ；（2）表中填：当 时， ；
当 时， ；
故答案为：256；100；
（3）当从正面看长方体，形状是正方形时，
，
解得 ，
当 时， ，
所以，不可能是正方形．
一．选择题（共8小题）
1．下列四个立体图形中，主视图为圆的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、主视图是正方形，故此选项错误；
、主视图是圆，故此选项正确；
、主视图是三角形，故此选项错误；
、主视图是长方形，故此选项错误；
故选： ．
2．有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照 ， ， ，冲选后不知
道拍照的时间顺序了，已知投影长度 ，则 ， ， 的先后顺序是
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【解答】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大，投影长度 ，
， ， 的先后顺序是 、 、 ．
故选： ．
3．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下
的影子合理的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选： ．
4．下列投影中，是平行投影的是
A．路灯下行人的影子 B．太阳光下楼房的影子
C．台灯下书本的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子
【解答】解： 、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；
、太阳光下楼房的影子为平行投影，符合题意；
、台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意；
、在手电筒照射下纸片的影子为中心投影，故此选项不合题意．
故选： ．
5．如图，甲、乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸 处，因不知河宽，甲军的狙击
手在 处很难瞄准乙军军营，于是甲军连长站在西岸的点 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到乙军军营 处，然后他后退到 点，这时他的视点恰好落在 处
此时他只需测量脚站的 点和 点的距离，即可知道狙击手与乙军军营的距离，他判断的
依据是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知， ， ， ，
所以 ，
于是有 ，
故选： ．
6．下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、正方体的主视图与俯视图都是正方形，故 不符合题意；
、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故 不符合题意；
、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心，故 符合题意；
、球体的主视图与俯视图都是圆形，故 不符合题意；
故选： ．
7．下列几何体中，主视图是三角形的是A． B．
C． D．
【解答】解： 、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；
、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意；
故选： ．
8．如图是由4个相同的小正方体堆成的几何体，将它在水平面内顺时针旋转 后，其主
视图是
A． B． C． D．
【解答】解：这个组合体的主视图如下：
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．请写出一个三视图都相同的几何体： ．
【解答】解：球的三视图是3个全等的圆；正方体的三视图是3个全等的正方形，故答案为：球（或正方体）．
10．日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于
投影．
【解答】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所
形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行．
11．如图，甲楼 高16米，乙楼 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物
高与影长的比是 ，已知两楼相距 为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高
米．（结果保留根号）
【解答】解：如图，
设 于点 ，那么在 中， ， 米．物高与影长的比是 ，
，
则 米，
故 米．
故答案为 ．
12．如图，晚上小亮在路灯下散步，在由 点处走到 点处这一过程中，他在点 ， ，
三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在 点处（填 ， ，
．
【解答】解：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，在路灯下由近
及远向路灯走远时，其影子应该逐渐变长，故他在点 ， ， 三处对应的在地上的影子
其中影子最短的是在 点处．
故答案为： ．
三．解答题（共3小题）
13．如图是由棱长都为 的6块小正方体组成的简单几何体．
（1）请在方格中画出该几何体的三个视图．
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体，
【解答】解：（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：
（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，
所以最多可以添加2个，
故答案为：2．
14．如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为 ，
．画出木杆 在 轴上的投影，并求出其投影长．
【解答】解：连接 、 并延长分别交 轴于点 、 ，
线段 就是木杆 在 轴上的投影．
过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，
点 ， ， ，
， ， ， ，
，
， ，
，，即 ，
．
故木杆 在 轴上的投影长为6．
15．小明和小红并排站立在阳光下，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7
厘米，此时小红的影长是多少米？
【解答】解：设小红的影长是 米，
根据题意得 ，
解得 ．
答：小红的影长是1.92米．
