文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（全国通用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 规律探索问题.............................2
押题猜想二 从函数图象上获取信息......................8
押题猜想三 几何图形的选填压轴题.....................14
押题猜想四 函数的选填压轴...........................28
押题猜想五 涉及数与式、方程不等式（组）有关的计算问题35
押题猜想六 一元二次方程根的判别式与韦达定理........40
押题猜想七 尺规作图.................................45
押题猜想八 统计和概率..............................56
押题猜想九 利用函数解决实际问题...................62
押题猜想十 利用锐角三角函数解决实际问题...........72
押题猜想十一 几何图形的证明与计算问题..............82
押题猜想十二 几何图形压轴...........................92
押题猜想十三 反比例函数与一次函数..................112
押题猜想十四 函数与几何图形综合...................121
押题猜想十五 与函数有关的最值问题.................134
押题猜想十六 与函数有关的存在性问题................152
1 / 191
学科网（北京）股份有限公司押题猜想一 规律探索问题
限时：5min
1．【改编】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模
型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②
有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
(1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第 种化合物的分子结
构模型中氢原子的个数是________个；
(2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2025个氢原子？请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2)不存在，理由见解析．
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论．
【详解】（1）解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
，
∴第 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为 个，
当 时，
2 / 191
学科网（北京）股份有限公司（个），
∴第 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为 个，
故答案为： ， ；
（2）解：不存在，理由如下：
令 ，
解得： ，
∵ 为正整数，∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2025个氢原子．
押题解读
本题主要考查初中化学中烷烃的分子结构规律及代数式的推导。跨学科问题是近年来出现在各地中考
数学中的热点题型，通常以选择、填空或计算题形式出现，此类题以“结构规律→代数建模→实际验
证”为主线，是中考化学中典型的“理科思维融合”题型，需重点突破！
1．若一列数 满足任意相邻三个数的和都相等，且 ，则
（ ）
A．670 B． C．677 D．675
【答案】D
【分析】本题考查了数字规律；根据题意得出， ， ，
，这列数为： ， ，4， ， ， ，…，按 ， ， 循环，进而根据
，即可求解．
【详解】解：∵这列数中任意相邻三个数的和都相等，
∴ …，
又∵ ，
∴ ， ， ，
3 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴这列数为： ， ，4， ， ， ，…，按 ， ， 循环出现，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
2．【图形规律与热点问题结合】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到
更好的利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成 角的叶片，以三个叶片的重合点为原点、
水平方向为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为 ，
在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动 ，则第2025秒时，点A的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标变化的规律—旋转型，全等三角形的判定与性质，找到A点的坐标循环的规律是解
题的关键．
根据旋转的性质分别求出第 、 、 、 时，点A的对应点 、 、 、 的坐标，找到规律，A点
的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第 时，点的对应点 的坐标．
【详解】解：如图，作 轴于E，作 轴于F，
4 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
同理可求： ， ，
∵ ，
∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵
∴第 时，点的对应点 的坐标与 相同，为 ．
故选：C．
3．【图形规律与几何问题结合】如图，在 中， ， ， ， 、 、
…都是正方形，且 、 、 …在 边上， 、 、 …在 边上．则线段 的长为
．
5 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规
律是解题关键．先根据正方形的性质可得 ， ，再证出 ，根据相似三角
形的性质可得 的长，同理可得 ， 的长，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
同理可得： ， ，
归纳类推得： ，其中 为正整数，
∴ ，
6 / 191
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
4．【图形规律与热点问题结合】2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、
宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“ ”按照一定规律
拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个
图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第2025个图案中需要 个基本图形．
【答案】
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．观察图形发现，第n个图案中
需要 个基本图形，再进一步求解即可得到答案．
【详解】解：第1个图案中需要 个基本图形，
第2个图案中需要 个基本图形，
第3个图案中需要 个基本图形，
……
观察发现，第n个图案中需要 个基本图形，
∴第2025个图案中需要 个基本图形．
故答案为： ．
5．【近年热考】我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字
排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之
为贾宪三角或杨辉三角．（图1）
7 / 191
学科网（北京）股份有限公司杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你
发现的规律回答下列问题：
(1)多项式 展开式的第三项系数是_____________．
(2)请写出 的展开式： ______________．
(3)已知多项式 ，当 时，求该多项式的值．
【答案】(1)10；
(2)
(3)
【分析】本题考查对题干“杨辉三角”规律的理解，以及规律的运用，解题的关键是找出 展开式的
各项系数规律并灵活运用．
（1）根据“杨辉三角”规律写出多项式 的展开式，即可得到展开式中的第三项；
（2）根据“杨辉三角”规律得到多项式 展开式；
（3）根据“杨辉三角”规律得到 为 的展开式，即可解题．
【详解】（1）解：由题可得：多项式 的展开式各系数依次为1，5，10，5，1，
多项式 的展开式中第三项系数是10．
故答案为： ；
（2）解：由题意可得： ．
故答案为： ；
8 / 191
学科网（北京）股份有限公司（3）解：
，
当 时，原式 ．
押题猜想二 从函数图象上获取信息
限时：3min
1．【改编】某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的 时，为保护
电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率
）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有 ．
①本次充电开始时汽车电池内仅剩 的电量；②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 ；③本次
充电持续时间是120分钟；④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电56千
瓦时．
【答案】①②③
【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可
【详解】解：①由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩 的电量，正确，符合题意；
②由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 ，正确，符合题意；
③由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从 到 的电量变化对应的耗电量是70
千瓦时，
9 / 191
学科网（北京）股份有限公司到 的电量变化对应的耗电量为 千瓦，正确，符合题意
故答案为：①②③④．
押题解读
本题主要考查初中数学中一次函数图象的实际应用，核心内容为：
1. 分段函数图象分析：识别充电初期（0-40分钟）与后期（40-120分钟）的速率变化，理解斜率代
表的充电速度差异。
2. 数据计算与推理：通过图象坐标计算充电时间、电量变化及耗电量（如从0%到90%对应耗电63
千瓦时）。
3. 实际问题的数学建模：将充电过程转化为分段函数模型，结合物理常识（如充电速度保护机制）验
证选项合理性。
总结：此类题以“图象分析→分段建模→数据验证”为核心，是中考数学中典型的“应用型探究”题
型，需重点突破分段函数与跨学科情境的综合应用！
1．如图，在菱形 中， ， ．动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线
运动到点 ，同时动点 从点 出发，以相同速度沿折线 运动到点 ，当一个点停止
运动时，另一点也随之停止．设 的面积为 ，运动时间为 秒．则下列图象能大致反映 与 之间
函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论：当P，Q分别在 ， 上运动时，
10 / 191
学科网（北京）股份有限公司，当P，Q分别在 ， 上运动时，同理可得： ，即可求
解．
【详解】解：（1）当P，Q分别在 ， 上运动时，
∵ 是菱形， ，则 为边长为2的等边三角形，过点 作 于点 ，
， ，
函数最大值为 ，符合条件的A，B，C，D，
（2）当P，Q分别在 ， 上运动时：
同理可得： ，
符合条件的有A，
故选A．
2．如图1，在 中， ， 为边 上一定点，动点 从点 出发，沿折线 — 运动
至点 后停止．设点 运动的路程为 ，令 ，图2是 与 的函数关系图象，则点 到 的距
离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解
11 / 191
学科网（北京）股份有限公司题的关键．过点 作 于点 ，连接 ，由图象可知 ；当点N与点B重合时，
； ，先求得 ，推出 ，在利用勾股定理求得 ．
【详解】解：过点 作 于点 ，连接 ，如图所示：
由图象可知 ；当点N与点B重合时， ； ．
在 中，由勾股定理，可得 ．
，
．
故答案为： ．
3．如图1，在正方形 中， ，以B为圆心， 为半径作弧 ，F为弧 上一动点，作矩
形 ，E、G在正方形 的边上，设 ，矩形 的面积为y，y关于x的函数图象如图2
所示，点P的坐标为 ，则 ．
【答案】10
【分析】先证明四边形 ，四边形 都是矩形，结合以B为圆心， 为半径作弧 ，F为弧
上一动点，得 ， ， ， ，因为点P的坐
12 / 191
学科网（北京）股份有限公司标为 ，即 ，解得 或 ，即可作答．
【详解】解：延长 ，交 于点H，连接 ，如图，
四边形 为矩形，四边形 为正方形，
， ，
四边形 ，四边形 都是矩形，
， ，
，
，
以B为圆心， 为半径作弧 ，F为弧 上一动点，
，
，
，
点P的坐标为 ，
，
，
或 ，
经检验， 是原方程的根， 不合题意，舍去，
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆的基本性质，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
4．如图（1）所示， 为矩形 的边 上一点，动点 ， 同时从点 出发，点 沿折线
13 / 191
学科网（北京）股份有限公司运动到点 时停止，点 沿 运动到点 时停止，它们运动的速度都是1 /秒．设 、
同时出发 秒时， 的面积为 ．已知 与 的函数关系图象如图（2）（曲线 为抛物线的一部
分），则下列结论：① ；② ；③当 时， ；④当 秒时，
；其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】根据函数图象得到 ，结合矩形性质和三角形面积公式得到 ，利用
勾股定理和函数图象得到 ，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当 时，设 ，利用
待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题．
【详解】解：①由图（2）知，当 时， ，
由题知，当 时， ，
四边形 为矩形，
，
与 间距为 ，
，
，
，
故 ，即①正确；
14 / 191
学科网（北京）股份有限公司② ，故②错误；
③当 时，设 ，
过点 ，
，解得 ，
，故③错误；
④当 秒时，点 在 上，此时 ，则 ，
， ， ，
，故④正确；
综上所述，正确的结论是①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三
角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息．
押题猜想三 几何图形的选填压轴题
限时：5min
1．【改编】如图，矩形 中，P为 边上一点（不与A，D重合），连接 ， ，过 点作
，垂足为 ，连接 ， ， 与 相交于点 ．则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则∠PFE=90° B．若 ，则 为等腰三角形
15 / 191
学科网（北京）股份有限公司C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 最小为
【答案】C
【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得 ，证得 ，即可判断选项A
正确；若 ，根据等腰三角形的性质可得 ，利用直角三角形的性质得 ，得
证 ，即可判断选项B正确；过点 作 于点 ，根据矩形的性质得 是等腰直
角三角形，推出 ，即 、 、 、 四点共圆，通过圆周角定理得出 ，利
用勾股定理求出 、 的值，通过 即可判断C选项错误；通过题意可得点 在以 中
点 为圆心， 为直径的圆上，当 、 、 三点共线时， 最小，利用勾股定理求出 ，再通过
即可判断D选项正确．
【详解】解：A、 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
,
，
， ，
，则∠PFE=90°，故A选项正确；
B、如图，
16 / 191
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
， ，
．
在 和 中，
，
，
，
为等腰直角三角形，故B选项正确；
C、如图，过点 作 于点 ，
四边形 是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
17 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，故C选项错误；
D、如图，
，
，
点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
18 / 191
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
，故D选项正确．
故选：C．
押题解读
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，
直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，勾股定理.此类问题考查的知识点较多，求解时需
要学生熟练掌握相关知识点.若题目为选择题，可利用排除法求解.
1．在 中， ， ， 是 边上的中线，E是线段 上一点（不与点
D重合）．将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，如图，连接 ．
结论Ⅰ：当点E与点C重合时， ；
结论Ⅱ：当点E为 的中点时，线段 取得最小值．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，∵
， ， 是 边上的中线，
∴ ， ，过 作 ，交 于 ，连接 ，连接 交 于 ，交 于
，由旋转可得 ， ，结合平行得到 ，即可证明
， ，则 垂直平分 ，得到 ，当E是线段 上运动时，点
的运动轨迹为直线 一部分，根据运动轨迹求解即可．
【详解】解：∵ ， ， 是 边上的中线，
19 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，如图，连接 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，如图，连接 ，当点E与点C重合时，点F与点M重
合，即 ，故结论Ⅰ正确；
过 作 ，交 于 ，连接 ，连接 交 于 ，交 于 ，
由旋转可得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴当E是线段 上运动时，点 的运动轨迹为直线 一部分，
∴线段 最小值为 ，此时 与 重合，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
20 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴当点E为 的中点时，线段 取得最小值，
故结论Ⅱ正确，
综上所述，Ⅰ和Ⅱ都对，
故选：A．
2．如图，矩形 中， ， ，点E是边 上一点，且 ，点F是边 上任一点，把
沿 翻折，点B的对应点为 ，连接 、 ，则以下结论正确的是（ ）
①当 与 相似时， ；② 的最小值是 ；③点 到 距离的最小值是 ；④取
的中点P，连接 ，则 的最大值是 ．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握
隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质
得 ，则点 在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接 ，当C、 、E共线时，
有最小值，最小值为 ，利用勾股定理求解 即可判断②；过E作 于G，当 、 、
共线时， 最小，即点 到 距离的最小，最小值为 的长度，利用三角形的面积公式求得
，进而求得 可判断③；取 的中点，连接 、 ，利用三角形的中位线求得
，则点P在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，当点P在 的延长线上时， 最大，
最大值为 ，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得 即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
21 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
①当 时，则 ，即 ，
解得 ；
当 时，则 ，即 ，
解得 ，
综上，当 与 相似时， 或 ，故①错误；
②由折叠性质得 ，则点 在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接 ，当C、
、E共线时， 有最小值，最小值为 ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ，故②正确；
③过E作 于G，当 、 、 共线时， 最小，即点 到 距离的最小，最小值为 的长
度，
由 得 ，
∴ ，
∴点 到 距离的最小值为 ，故③正确；
④取 的中点，连接 、 ，
∵点P是 的中点，
∴ 是 的中位线，
22 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴点P在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，当点P在 的延长线上时， 最大，最大值为 ，
过O作 于H，则 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ 的最大值是 ，故④正确，
综上，结论正确的是②③④，
故选：B．
3．如图，正方形 中， ，点E为 中点，以 为直径的半圆交线段 于点F，连接 交
于点G．下列结论：① ；② ；③ ；④当点E在 边上（不与B、C重
合）运动时， 有最大值 ．其中正确结论有 ．
【答案】①②④
【分析】取 的中点O，连接 ，过点F作 于H，取 中点M．通过说明四边形
为平行四边形，由直径所对的圆周角为直角，结合垂径定理得出 ．可判定①正确；利
用 ，对应边成比例，解得 和 的长，从而判定②正确；通过 ，计算出
23 / 191
学科网（北京）股份有限公司的长，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积，从而判定③错误；根据当且仅当 与 相切
时， 取得最大值，利用勾股定理计算出 的最大值，判定④正确．
【详解】解：取 的中点O，连接 ，过点F作 于H，取 的中点M．
∵四边形 为正方形，
∴ ．
∵点E是 的中点，点O是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ 是半圆的直径，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ． 故①正确；
在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
24 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．故②正确；
作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
当E点在 上运动时，点F在 上运动，
当且仅当 与 相切时， 取得最大值．
∴当 取得最大值时， ， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，
解得： ．
∴ 的最大值为 ，故④正确．
综上，正确结论有：①②④．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知
识，结合已知条件恰当的添加辅助线是解题的关键．
4．如图， 是 的直径，弦 于点G，点F是 上一点，且满足 ，连接 并
延长交 于点E，连接 ，给出下列结论：
25 / 191
学科网（北京）股份有限公司① ；② ；③当 时， ；④当 时，
的面积是 ．上述结论中，正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据圆周角定理及垂径定理推出 ，即可判断①；证明 ，即可判断②；设
，则 ，结合 ，得到 ，求出 ， ，由
，利用余弦的定义即可判断③；由已知先求出 ，再求出 ， ，进
而求出 ，利用三角形相似的性质即可求出 ，根据 ，即可
判断④．
【详解】解：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
26 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
27 / 191
学科网（北京）股份有限公司故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合
运用以上知识是解题的关键．
5．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为 （单位： ）的正方形纸片 ，他在边
和 上分别取点 和点 ，使 ，又在线段 上任取一点 （点 可与端点重合），
再将 沿 所在直线折叠得到 ，随后连接 ，小王同学通过多次实践得到以下结论：①当
点 在线段 上运动时，点 在以点 为圆心的圆弧上运动；②当 达到最大值时， 到直线 的
距离达到最大；③ 的最小值为 ；
④ 达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知
识点是解题的关键．
由折叠的性质得到 ，可判断结论①正确；连接 ，得到 ，由
可判断③；当 达到最小值时，点 在线段 上，证明 ，得到
，求出 ，可判断④；在 中， 随着 的增大而增大，当 最大
时， 有最大值， 有最大值，此时点 与点 重合，作 于点 ， 于点 ，得
到 ，当 取得最大值时， 有最小值，可判断②．
28 / 191
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 正方形纸片 的边长为 ， ，
，
根据折叠的性质可知 ，
当点 在线段 上运动时，点 在以点 为圆心的圆弧上运动，
故结论①正确；
如图，连接 ，
，
，
，
，
的最小值为 ，
故结论③正确；
当 达到最小值时，点 在线段 上，
由折叠可得 ，
，
，
，
，
29 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
故结论④错误；
在 中， ，
随着 的增大而增大，
，
当 最大时， 有最大值， 有最大值，此时点 与点 重合，
如图，作 于点 ， 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
当 取得最大值时， 也是最大值，
，
有最小值，
30 / 191
学科网（北京）股份有限公司在 中， 有最大值，
即 有最大值，
此时点 到 的距离最大，
故结论②正确；
综上所述，正确的结论有 个，
故选∶C．
押题猜想四 函数的选填压轴
限时：4min
1．【改编】如图，抛物线 （ 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一个交点在2和3之间，
顶点为B．①抛物线 与直线 有且只有一个交点；②若点 、点 、
点 在该函数图象上，则 ；③将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得
抛物线解析式为 ；④点 关于直线 的对称点为 ，点 分别在 轴和 轴上，当
时，四边形BCDE周长的最小值为 ．其中正确判断有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【答案】D
31 / 191
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：将 化为顶点式为：
顶点坐标为 ，函数图形与直线 相切于顶点，只有一个公共点，①正确；
将 向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到：
，③正确；
二次函数的对称轴是直线 ，故 可对称到 ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故
，②错误；
当 时，函数解析式为： ，故
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 连接 ，则 为 和
的最小值，四边形 周长最小值为 与 的和，则有：
当 时，四边形BCDE周长的最小值为 ，④错误；
正确的有：①③，
故选：D．
押题解读
32 / 191
学科网（北京）股份有限公司本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握
二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利
用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键．把二次函数的一般式转化为顶点式，即可发现函数
图形与直线相切于顶点，据此判定①，根据“上加下减，左加右减”求出平移后的抛物线的解析式，
可判定③，根据对称性质确定点的对称点，再根据二次函数的增减性质可判定②，求出时的抛物线的
解析式，作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，四边形周长最小值为与的和，计算后判定
④．
1．如图，抛物线 （ 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一个交点在 和 之间，顶点为 ．
①抛物线 与直线 有且只有一个交点；② 的取值范围为 ；③若点
，点 ，点 在该函数图象上，则 ；
④若将该抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得抛物线的解析式为 ；⑤若点
关于直线 的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形 周长的最小值
为 ．其中正确结论的序号有（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的
计算，平移规律，轴对称最短路径的计算是关键．根据判别式可判定①；根据图示可得当 时，
，可判定②；根据对称轴即函数对称轴性质可判定③；根据函数平移规律可判定④；根据
33 / 191
学科网（北京）股份有限公司轴对称最短路径的计算可判定⑤．
【详解】解：抛物线 （ 为常数）交 轴于点 ，
∴ ，
抛物线 与直线 ，则有 ，
∴ ，
∴抛物线 与直线 有且只有一个交点，故①正确；
∵抛物线 （ 为常数）与 轴的一个交点在 和 之间，对称轴直线为 ，
∴另一个交点在 和 之间，
根据图示可得，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故②正确；
若点 ，点 ，点 在该函数图象上，对称轴直线为 ，离对称轴直线越近，函数
值越小，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵二次函数 ，
∴将该抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，
∴平移后得抛物线的解析式为 ，故④正确；
当 时， ，则 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
∴顶点坐标 ，则 ，
34 / 191
学科网（北京）股份有限公司如图所示，作点 关于 轴对称点 ，作点 关于 轴对称点 ，
∴ ，
∴四边形 ，
当点 四点共线时， 值最小，
∴ ，
∴四边形 周长的最小值为 ，故⑤错误．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
2．若抛物线 （ ， 是常数， ）经过点 ，当 时，对应的函数值 ．
有下列结论：①抛物线的对称轴：直线 ；②若点 、 在这个抛物线上，则 ；③
；④ ．正确结论的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二
次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
由题意得到 ，得到 ；由当 时，对应的函数值 得到 ，
得到 ，故④正确；抛物线的对称轴为直 ，令 ，解得 ，故①错误；点
35 / 191
学科网（北京）股份有限公司、 在这个抛物线上，得到
，得出 ，故②错误；令 ，则 ，得到
，故③正确，即可得到答案．
【详解】解： 抛物线 经过点 ，
，
，
当 时，对应的函数值 ，
，
，
，
，
，
故④正确；
，
抛物线的对称轴为直线 ，
令 ，解得 ，
，
抛物线的对称轴不是直线 ；
故①错误；
点 、 在这个抛物线上，
，
，
，
，
，
，即
36 / 191
学科网（北京）股份有限公司故②错误；
令 ，则 ，
，
故③正确；
综上所述，正确的结论有 个，
故选：C．
3．如图：我们规定：形如 的函数叫做“ 型”函数．如图是“ 型”函数
的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于 轴对称；②关于 的不等式
的解是 或 ；③当关于 的方程 有两个实数解时， ．
其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）．
【答案】①②
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根
式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：根据函数的特征可知图象关于 轴对称，故①正确，符合题意；
函数 关于 轴对称的函数图象解析式为 ，
关于 的不等式 的解是 或 ，故②正确，符合题意；
由图可得：关于 的方程 有两个实数解时， 或 取函数的最大值时，故③错误，不
符合题意；
综上所述，正确的是①②，
故答案为：①②．
37 / 191
学科网（北京）股份有限公司4．如图，我们规定形如 的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数
的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线 对称：②关于 的不等式
的解是 或 ；③当 时，关于 的方程 有四个实数解；④当 时
函数 的 值随 值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序
号）．
【答案】①
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根
式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线 对称，故①正确，符合题意；
由“元宝型函数”函数 的图象可知，当 且 时，图象位于x轴上方，
关于 的不等式 的解是 且 ；故②正错误，不符合题意；
当 时， ，
由图象可得：当 时，关于 的方程 有四个实数解；故③错误，不符合题意；
由图象可知，函数 的 值随 值的变化情况取决于函数在 时的增减性，并不一
定是当 时， 值随 值的增大而减小．故④错误，不符合题意．
综上所述，正确的是①．
故答案为：①．
38 / 191
学科网（北京）股份有限公司押题猜想五 涉及数与式、方程不等式（组）有关的计
算问题
限时：3min
1．【改编】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
押题解读
涉及数与式、方程不等式（组）有关的计算问题为中考解答题必考内容，该部分难度较低，属于送分
39 / 191
学科网（北京）股份有限公司题，解题的过程需注意涉及相关知识点的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在
较复杂的运算中，不注意顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误．
1．以下是小明解分式方程 的解答过程：
解： ①
②
∴ ③
经检验 是方程的解
小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程．
【答案】小明的解答过程不对，从第①步开始错，解答过程见详解
【分析】本题考查解分式方程，先去分母再解整式方程，最后要检验．
根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可．
【详解】解：不正确，从第①步开始错，
正确步骤如下：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化成1得： ，
检验：当 时， ，
故 是增根，原方程无解．
2．（1）解方程：
（2）计算：
40 / 191
学科网（北京）股份有限公司（3）化简求值： ，其中
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，三角函数值的混合运算，分式的化简求值；
（1）把方程化为 ，再利用配方法解方程即可；
（2）先计算乘方，算术平方根，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即
可；
（3）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把 代入计算即可．
【详解】解：（1） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2） ，
；
（3）
41 / 191
学科网（北京）股份有限公司；
当 时，
原式 ；
3．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了整式的混合运算的化简求值，
根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再代入求值即可．
【详解】解： ，
，
当 时，原式 ．
4．（1）解不等式组 ．
（2）先化简 ，再从 ，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】（1） ；（2） ，当 时，原式 ，当 时，原式 ．
【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的
混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：（1） ，
42 / 191
学科网（北京）股份有限公司由①得 ；
由②得 ；
∴不等式组的解集为 ；
（2）
，
由题意得： 且 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ．
5．先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解．
【答案】 ，
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计
算，即可解答．本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
【详解】解：
，
43 / 191
学科网（北京）股份有限公司， ，
该不等式组的整数解为： ， ，
， ，
， ，
当 时，原式 ．
押题猜想六 一元二次方程根的判别式与韦达定理
限时：4min
1．【改编】阅读材料：如果一元二次方程 的两根分别是 ， ，那么 ，
．借助该材料完成下列各题：
(1)若 ， 是方程 的两个实数根，则 ， ．
(2)若 ， 是方程 的两个实数根，且 ，求m的值．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）解： 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴
故答案为： ， ；
（2）解： 关于 的方程 有两个实数根，
44 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
解得： ，
、 是关于 的方程 的两个实数根，
， ，
又∵ ，
，即 ，
解得， 或 ，
又∵ ，
∴ 的值是 ．
押题解读
解答题中常将一元二次方程根的判别式与韦达定理这两个知识点共同考查，难度一般.第一小问通常求
含参一元二次方程中参数的取值范围，第二问已知一元二次方程两根满足的关系，求系数.近年来作为
中考热考内容，常与几何知识共同出题.
1．关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为 、 ，求 的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题考查了求整式的值，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等；
（1）由根的判别式得 ，即可求解；
（2）由（1）可求出 ，据此求出原方程 ，由根与系数的关系进行求解即可；
45 / 191
学科网（北京）股份有限公司能熟练利用根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解： 一元二次方程 有实数根，
，
解得： ，
k的取值范围为 且 ；
（2）解： 且 ；
k取得最大整数值为 ，
原方程为 ，
，
，
，
．
2．已知矩形 的对角线长 ，且矩形两条边 和 的长恰好是关于x的一元二次方程
的两根．
46 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)求矩形 的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形 的周长为 ，面积为
【分析】（1）根据题意只需证明 即可；
（2）由根与系数的关系得到 ，再有勾股定理和矩形的性质得到
，即 ，进而可得 ，据此解方程即可得
到答案．
【详解】（1）证明：在 中， ，
，
无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根；
（2）解： 和 是方程的两个根，
，
矩形 的对角线长 ，
，即 ，
，
整理得： ，
解得： ，
，
，
，
47 / 191
学科网（北京）股份有限公司矩形 的周长为： ，
矩形 的面积为： ．
【点睛】本题考查了接一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定
理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
3．关于 的一元二次方程
①求证：无论 取何值，方程总有两个不相等实数根．
②若 两边 、 的长是这个方程的两根，且斜边 ．问 为何值时， 是
直角三角形．
【答案】①证明见解析；②当 时， 是直角三角形
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理的逆定理等知
识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
①利用一元二次方程根的判别式即可得证；
②先一元二次方程的根与系数的关系可得 ，从而可得 ，
再根据勾股定理的逆定理可得要使 是以 为斜边的直角三角形，则 ，解方程可得
的值，然后结合 即可得出答案．
【详解】证明：①对于关于 的一元二次方程 ，
∵这个方程根的判别式为 ，
∴无论 取何值，方程总有两个不相等实数根．
②∵ 两边 、 的长是这个方程的两根，
∴ ，
∴
，
要使 是以 为斜边的直角三角形，则 ，
∴ ，
48 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，
当 时， ，不符合题意，舍去，
∴当 时， 是直角三角形．
4．已知平行四边形 的两边 、 的长是关于x的方程 的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形 是菱形？
(2)若 ，求m的值．
【答案】(1)当 时，四边形 为菱形
(2)m的值为1
【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可；
（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形 为平行四边形，
∴当 时，平行四边形ABCD是菱形，
∵ 、 的长是关于x的方程 的两个实数根，
，即 ，
解得： ，
∴当 时，四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵ 、 的长是关于x的方程 的两个实数根，
， ，
∵ ，
，即 ，
整理得：
解得： ， ，
，
49 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ 不合题意，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题
的关键．
押题猜想七 尺规作图
限时：4min
1．【改编】如图， ， 平分 ，交 于点E．
(1)实践与操作：利用尺规作 的平分线，交 于点O，交 于点F，连接 （要求：尺规作图并
保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：试猜想四边形 的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)猜想：四边形 是菱形，理由见解析
【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等．
（1）以点 为圆心，任意长为半径画弧，交 于 两点，再分别以 为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧交于一点，连接 与这点即为 的平分线，即可得到本题答案；
（2）根据题意先证明四边形 是平行四边形，后继而证明出四边形 是菱形．
【详解】（1）解：以点 为圆心，任意长为半径画弧，交 于 两点，再分别以 为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点 与这点交 于点 ， 即为 的平分线，
作图如下：
50 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：猜想：四边形 是菱形，证明如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
押题解读
中考尺规作图的考查通常会涉及基本作图技能，如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、
作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线等，这些基本技能是解决复杂作图问
题的基础。除了基本的作图技能，中考尺规作图题还可能考查学生的综合能力，包括逻辑推理、空间
想象、问题解决等。在解答尺规作图题时，考生需要保留作图痕迹，这要求考生在作图过程中要规范
操作，确保每一步作图都符合尺规作图的要求。
1．如图， 中， ．
(1)在 上找一点M，使得 ，并说明 理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作
51 / 191
学科网（北京）股份有限公司法）
(2)在（1）的基础上，若 ， ，求 的长．（保留根号，无需化简）
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）作线段 的垂直平分线即可，根据线段垂直平分线的性质即可得到 ；
（2）先求得 ，推出 ，作 于点 ，利用等腰三角形的性质求得
， ，再利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）解：如图，点M即为所作；
由作图知， 是线段 的垂直平分线，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
52 / 191
学科网（北京）股份有限公司在 中， ．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出
辅助线解决问题是解题的关键．
2．如图，在平行四边形 中，点 为 的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用
实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)若 ，请在图1中的 边上找点 ，使 ；
(2)如图2，点 为 边上一点，请在图2中的 边上找点 ，使 ．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知
识是解题的关键．
（1）连接 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，则点 即为所求；
（2）连接 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 并延长，
交 于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：连接 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，则点 即为所求，如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
53 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴点 为 中点，
又∵点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，即 ，
又∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 并延长，
交 于点 ，则点 即为所求，如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴点 为 的中点，
又∵点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点 为 的中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴点 是 的中点，
∴ 是 和 的中位线，
∴ ，
∴ ．
3．如图，这是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
54 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，在 上作点 上作点E，连接 ，使得 ，且 ；
(2)如图2，在 上作点 上作点G，连接 ，使得 ，且 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，
熟练掌握这些知识是解题的关键；
（1）取格点M，N，连接 交 于D，网格线与 的交点为E，连接 即为所求；
（2）取格点P，H，连接 交 于G，网格线与 的交点为F，连接 即为所求．
【详解】（1）解：如图1， 即为所求；
（2）解：如图2， 即为所求．
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点 均在格点上，顶点B在网
55 / 191
学科网（北京）股份有限公司格线上．
(1)线段 的长等于_______；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，
①画出圆心O
②画出一个以 为边的矩形 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】(1)
(2)①画图见解析；②画图见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）①如图， 取格点 D， 连接 与圆相交于点 P，连接 ； 取圆与网格线的交点E，F，连接 ，
与 相交于点O，则 为圆心；
②连接 并延长，与圆相交于点Q； 连接 ， ， ， 则四边形 即为所求．
【详解】（1）解：由勾股定理可得： ；
（2）解：①如图， 取格点 D， 连接 与圆相交于点 P，连接 ； 取圆与网格线的交点E，F，连接
，与 相交于点O，则 为圆心；
理由：∵ ，
∴ 为直径，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直径，
∴ 为圆心；
②连接 并延长，与圆相交于点Q； 连接 ， ， ， 则四边形 即为所求．
56 / 191
学科网（北京）股份有限公司理由：∵ 为直径，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴四边形 为矩形；
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理以及勾股定理的逆定理、矩形的判定，圆周角定理的应用，
解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
5．如图均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、
C、D均在格点上．
(1)如图①，连结 交于点E，直接写出： 的值为______；
(2)如图②，在 上找一点F，使 ；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，
保留作图痕迹，不要求写画法）
(3)如图③， 交于点P，直接写出 的值______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
57 / 191
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明 得到 ；
（2）取点格点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；
（4）取格点 连接 交 于点 ，得到 ， ，证明 ，得到
，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图，取点格点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；
，
，
，
；
（3）解：如图，取格点 连接 交 于点 ，
58 / 191
学科网（北京）股份有限公司由图可知 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
6．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和点 ， 轴于
点 ， 轴于点 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象
交于点 ，并求出点 的坐标；
(3) 是线段 上的一点，连接 ， ，若 和 的面积相等，求点 的坐标．
59 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解
时解题的关键：
（1） 均在反比例函数的图象上，列出方程求出 的值，进而求出 点的坐标和 的值，待定系数法
求出一次函数的解析式即可；
（2）根据尺规作垂线的方法，作出点 ，求出 的中点坐标 ，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，
推出 的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出 点坐标即可；
（3）设 ，根据面积相同，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解： 和 是反比例函数图象上的点， ，解得 或
（舍去），
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
反比例函数的解析式为 ．
把 ， 代入一次函数 ，得 ，解得
一次函数的解析式为 ．
（2）尺规作图如图所示．
60 / 191
学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ， ，
垂直平分 ，
为 的中点，
，即 ．
设直线 与 轴和 轴交于点 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，点 的中点坐标为： ，与 点重合，
∴ ， 平分 ，即 为第一象限的角平分线，
∴直线 的解析式为： ，
，
∴点 在直线 上，
联立 与反比例函数的解析式，可得 ，解得 （负值舍去）；
∴点 ．
（3）如图，连接 、 ，由于点 在直线 上，
设 ．
∵ ， ，
∴ ，
61 / 191
学科网（北京）股份有限公司由 和 的面积相等，得： ，
解得 ；
把 代入 ，得 ；
点坐标是 ．
押题猜想八 统计和概率
限时：4min
1．【改编】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设
一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查： 家庭电路； 简单烹饪；
布艺手缝； 收纳整理； 编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统
计图．
根据图中信息，回答下面问题：
(1)本次调查的学生人数为______；并补全条形统计图．
(2)在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“收纳整理”的学生人数；
(3)小明同学从 ， ， 三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从 ， ， 三门课程中随机选择
一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率．
【答案】(1)200；图见解析
(2)2700人
(3)
【详解】（1）解： （人），即本次调查的学生人数为200人，
∴喜欢D的人数为 （人），
∴喜欢B的人数为 （人），
62 / 191
学科网（北京）股份有限公司补全统计图如下所示：
（2）解： （人），
答：估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为2700人；
（3）解：列表如下：
小明
A B D
小红
B
D
E
由表格可知，两名同学选课一共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种，
∴他们选择相同课程的概率 ．
押题解读
统计与概率的试题在中考中通常包括选择题、填空题和解答题，题型多样，覆盖面广，且近年来统计
与概率的分值在中考中占比逐渐增加，体现了对学生数据分析和决策能力的重视。常见题型如下：
1）根据统计图表进行数据分析，提出合理的决策建议，考查学生对数据的解读和应用能力。
2）将概率知识与实际问题相结合，如游戏公平性、匹配问题等，考查学生解决实际问题的能力.
1．小马和小虎参加某项考试，他们都忘记了自己在第几考场，已知一共有4个考场．
(1)小马随机选择一个考场，恰好是自己的考场的概率为 ；
(2)小马和小虎记得两人不在同一个考场，他们各选择一个考场，恰好选择到是自己的考场的概率是多少？
63 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意，画树状图得出所有等可能结
果．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）设四个考查为A、B、C、D，其中小马应在A考场、小虎应在B考场，画树状图得出所有等可能结果，
从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小马随机选择一个考场，恰好是自己的考场的概率为 ，
故答案为： ．
（2）解：设四个考场为A、B、C、D，其中小马应在A考场、小虎应在B考场，画树状图，如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到是自己的考场的只有1种结果，
∴恰好选择到是自己的考场的概率为 ．
2．如图是可以自由转动的两个转盘，转盘甲被分成3等份，每份上分别标有数字1、2、3，转盘乙被分成
2等份，每份上分别标有数字1、2．小嘉和小艺两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时转动
甲、乙两个转盘，转盘停止后，将指针指向的两个数字相乘（若指针落在分隔线上时，默认其指向右侧扇
形），若乘积为偶数，则小嘉获胜，否则，小艺获胜．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求出小嘉获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏对二人都
64 / 191
学科网（北京）股份有限公司公平．
【答案】(1)
(2)这个游戏对双方不公平，修改游戏规则见解析
【分析】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
（1）列表得出所有等可能的情况数，找出积为偶数的情况数，即可求出小嘉获胜的概率；
（2）求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏不公平，修改规则即可．
【详解】（1）解：由题意列表如下：
1 2 3
1 1 2 3
2 2 4 6
由表可知，共有6种等可能出现的结果，其中乘积为偶数的结果有4种，
小嘉获胜的概率为 ．
（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
由（1）可知，小艺获胜的概率为 ．
，
所以这个游戏不公平．
可以修改游戏规则为：同时转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，将指针指向的两个数字相加（若指针落在
分隔线上时，默认其指向右侧扇形），若和为偶数，则小嘉获胜，否则，小艺获胜．（答案不唯一，合理
即可）
3．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩
家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山
西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出
“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游，每次出游只能选一条路线．
65 / 191
学科网（北京）股份有限公司“跟着悟空游山西”二日游推荐路线
A．临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺
B．长治线：观音堂、紫庆寺
C．翔州线：尝福寺、应县木塔
D．普中线：平遥镇国寺、平遥双林寺
(1)小米家选A路线的概率是______；
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩，请用树状图或
列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，正确的画出树状图是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：从A、B、C、D路线中选中A的概率为 ；
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中两家恰好选择同一条路线的结果有4种
答：小米家和小明家选择同一条路线的概率为 ．
4．截止至 年 月 日，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破 亿元人民币，成为全球动画电影票
房冠军．如图，有 张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片： 哪吒， 敖丙， 太乙真人，
申公豹．
66 / 191
学科网（北京）股份有限公司将这 张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 张卡片不放回，
记录后搅匀，再随机取出 张卡片．求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“ 太乙真人”的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法，求取出的 张卡片为“ 哪吒”和“ 敖丙”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
（1）由题意知，共有 种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“ 太乙真人”的结果有 种，利
用概率公式可得答案；
（2）画树状图展示所有 种等可能的结果数以及取出的 张卡片为“ 哪吒”和“ 敖丙”的结果数，
再利用概率公式可得出答案；
【详解】（1）解：由题意知，共有 种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“ 太乙真人”的结
果有 种，
∴第一次取出的卡片图案为“ 太乙真人”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：任意取出 张卡片，记录后不放回，再从中任意取出 张卡片，作出树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中两次取出的 张卡片中图案为“ 哪吒”、“ 敖丙”的结果数为 ，
∴两次取出的 张卡片中图案为“ 哪吒”、“ 敖丙”的概率为 ，
67 / 191
学科网（北京）股份有限公司答：取出的 张卡片为“ 哪吒”和“ 敖丙”的概率为 ．
5．一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把
箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色
小球的频率稳定于0.25左右．
(1)请你通过计算估计箱子里白色小球的个数；
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜
色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】(1)箱子里白球的个数为3
(2)
【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频
率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
（1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为
x，根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，求出概率即可．
【详解】（1） ， ，
∴箱子里白球的个数为3．
（2）画出树状图，如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
（摸出的小球颜色恰好不同） ．
押题猜想九 利用函数解决实际问题
限时：5min
1．【改编】据灯塔专业版数据，截至2025年4月29日，《哪吒之魔童闹海》总票房达153亿元，登顶全
球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源
68 / 191
学科网（北京）股份有限公司于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差
引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定
各用300元购进了 、 两种哪吒玩偶．已知一个 种哪吒玩偶是一个 种玩偶价格的2倍，且购进两种
玩偶的数量共15个．
(1)求购进 、 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进 、 两种哪吒玩偶共80个，且 种哪吒玩偶的数量不多于
种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？
【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元
(2)3000元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
（1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是 元，利用数量=总价÷单价，结
合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪
吒玩偶的单价），再将其代入 中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价；
（2）设购进A种哪吒玩偶 个，则购进B种哪吒玩偶 个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B
种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购
进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函
数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为 元，则B种哪吒玩偶的单价为 元．
根据题意，得：
解得：
经检验： 是原分式方程的解
B种： 元
答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元．
69 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：设购进A种哪吒玩偶 个，则购进B种哪吒玩偶 个
根据题意，得：
解得：
花费
整理，得：
∵ ，当 时， 随 的增大而减小
∴当 时， 元
答：此次购进最少要花3000元．
押题解读
函数与热点问题结合的试题通常以解答题的形式出现，有时也会在选择题和填空题中考查基础应用。
作为热考内容，该部分分值在中考中占比较大，通常占数学总分的6%至10%，体现了对学生应用数
学知识解决实际问题能力的重视。这类试题的难点在于从实际问题中抽象出数学模型。
1．人类免疫缺陷病毒（ ）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏
人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护． 攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要
是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被 侵入后，宿主体
内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将 侵入机体的时刻设为0时刻，在 内T细胞
的相对浓度变化量为二次函数， 内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且 时，T细胞的相
对浓度为 ．
(1)写出C关于t的函数解析式；
(2)若T细胞相对浓度变化量在 以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．
70 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数和比例函数的应用，待定系数法求函数解析式．
（1）当 时，设 ，用待定系数法求出函数解析式；当 时，设
，由反比例函数 经过 ，可求出反比例函数 的解析式；即可得解；
（2）先出当 时，t的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：当 时，设 ，
抛物线 经过 ， ，
代入得： ，
解得： ，
，
当 时，
反比例函数 经过 ，设 ，
代入得： ，
；
（2）解： 当 时，函数 随着 的增大而增大，
此时令 ，解得 ，
当 时， 随着 的增大而减小，
71 / 191
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
解得 ，
该机体患病的时间段为 ．
2．【热点问题】2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”
特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉
祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元．
(1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元．
(2)某公司举行“追梦新时代 巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖 名，奖励一
件B种吉祥物，二等奖不多于 名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？
(3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公
司共能省多少钱？
【答案】(1)A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元
(2)购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱
(3)特许商品店打折后，该公司共能省212元
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据
题意正确列出二元一次方程和一元一次不等式成为解题的关键．
（1）设A种吉祥物每件的售价是 元，B种吉祥物每件的售价是 元，然后根据题意列二元一次方程求解
即可；
（2）根据题意列一元一次不等式并求最小整数值，再根据一次函数求最小值，即可解答；
（3）根据题意列算式计算即可．
【详解】（1）解：设A种吉祥物每件的售价是 元，B种吉祥物每件的售价是 元，
由题意可知 ，
72 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元；
（2）解：由题意可知： ，
，
设总费用为 元，则 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 取最小值，
，
购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱；
（3）解： （元），
答：特许商品店打折后，该公司共能省212元．
3．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡
上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里
表示起跳点A到地面 的距离， ，以O为坐标原点，以地面的水平线 为x轴， 所在的
直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距
离 与水平方向移动的距离 满足 ．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K
与 相距30 ，高度（与 距离）为5 ，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10 时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试
跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度 的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与 的对
73 / 191
学科网（北京）股份有限公司应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于 的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】(1) ，能
(2)①成反比例函数关系， ，验证见解析；②当滑出速度 为 时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关
键．
（1）根据题意可得抛物线经过点 ，对称轴为 ，从而得到抛物线的解析式为
，令 ，求出 ，比较即可求解；
（2）①设 ，将 代入得 ， ．将 代入 验证：当
时， 成立，即可求解；②将 和 分别代入 ，得
， ．由 得 ，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线 经过点 ，对称轴为 ，
可得 ，
解析式为 ，
74 / 191
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
，
此运动员落地达标，
故答案为： ，能；
（2）解：①由表格数据可知， 与 的乘积相等，所以 与 成反比例函数关系．
设 ，
将 代入得 ，
解得 ，
．
将 代入 验证：当 时， 成立，
能相当精确地反映 与 的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点 ，
将 和 分别代入 ，
得 ， ．
由 得 ，
又
．
答：当滑出速度 为 时，运动员的成绩恰好能达标．
4．如图，利用 的墙角修建一个梯形 的储料场，其中 ，且 ．如果新建墙
总长15m．
75 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)设储料场面积为 ， 的长为 ，则 的长为______ ， 的长为______m， 与 的函数关系
式______．
(2)当 取何值时，才能使储料场的面积最大？
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据线段的和差关系求出 ，过A作 于H，证明四边形 是矩形，得出 ，
，求出 ，根据等角对等边得出 ，再根据线段的和差关系求
出 ，最后根据梯形的面积公式求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵新建墙 总长15m， 的长为 ，
∴ 的长为 ，
过A作 于H，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
76 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：由（1）可知：
∵ 抛物线开口向下
抛物线的对称轴为
∴ 当 时，储料场的面积最大．
5．【热点问题】掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是
一条抛物线，行进高度 与水平距离 之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为 ，当
水平距离为 时，实心球行进至最高点 处．
(1)求抛物线的表达式；
(2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 ，
此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
(3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的
高度至少达到多少时，可得满分．
【答案】(1)
(2)没有得满分，见解析
(3)当掷出点的高度至少达到 时，可得满分
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
77 / 191
学科网（北京）股份有限公司（1）根据题意设出 关于 的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令 ，解方程即可；
（3）把 ， 代入得解析式 ，求出 ，再令 即可求解．
【详解】（1）解：设 关于 的函数表达式为 ，
把 代入上式得，
解得 ．
∴ 关于 的函数表达式为 ．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当 时，即： ，
解得 ， （舍去），
∵ ，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设 ．
把 ， 代入得， ，
求出 ．
∴ ．
∴
答：当掷出点的高度至少达到 时，可得满分．
78 / 191
学科网（北京）股份有限公司押题猜想十 利用锐角三角函数解决实际问题
限时：6min
1．【改编】如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度 ，烧杯高度
，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分 ，且 ，漏
斗管位于烧杯的上方部分 ，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点 处， ，玻璃棒 长度为
．
（结果精确到 ）
(1)求漏斗口处点 到底座 的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为 ，求此时玻璃棒顶端 点到桌面的距离．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
（1）由题意可知 ， ，延长 交 ，则 ，在 中，
，根据题意可知点 到底座 的高度等于 ，即可求解；
（2）过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，由题意可知， ，在 中，
，由题意可知 ，在 中， ，此时玻
79 / 191
学科网（北京）股份有限公司璃棒顶端 点到桌面的距离为 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知 ， ，
延长 交 ，则 ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴点 到底座 的高度 ；
（2）过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，
由题意可知， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
此时玻璃棒顶端 点到桌面的距离为 ，
即玻璃棒顶端 点到桌面的距离为 ．
押题解读
解直角三角形的应用题在中考中通常以解答题的形式出现，有时也会在选择题和填空题中考查基础应
用，也是中考中的热点问题，通常占数学总分的8%至15%，解直角三角形的应用题背景越来越贴近
80 / 191
学科网（北京）股份有限公司学生的生活实际，求解的过程就是将实际问题抽象为直角三角形模型，再利用相关知识求解问题.
1．图1是我国古代提水的器具枯槔（ ），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架
在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上
悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿
下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿 米， 为 的中点，支架 垂直地
面 ，此时水桶在井里时， ．
(1)如图2，求支点 到小竹竿 的距离（结果精确到 米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿 旋转至 的位置，小竹竿 至 的位置，此时
，求水桶水平移动的距离（结果精确到 米）．（参考数据：
）
【答案】(1)点 到小竹竿 的距离为 米
(2)水桶水平移动的距离 米
【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角
函数值的计算是关键．
（1）如图所示，过点 作 于点 ，此时 为点 到小竹竿 的距离，可证四边形 是
矩形， ， ，在 中， 米， 米，由勾股
定理即可求解；
81 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）如图所示，过点 作 于点 ，交 于点 ，根据解直角三角形的计算得到 米，
由 即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，此时 为点 到小竹竿 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，点 是 的中点，
∴ 米，
在 中， 米，
∴ 米，
∴ 米，
即点 到小竹竿 的距离为 米；
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，交 于点 ，
由（1）可得， 米， 米， ，
∴ ，
82 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 中， ，
∴ 米，
∴ 米，
∴水桶水平移动的距离 米．
2．如图，港口B位于港口A的北偏西 方向，港口C位于港口A的北偏东 方向，港口C位于港口B
的北偏东 方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为 ，求港口
C到航线的距离．（参考数据： ．）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点 作 航线于点 ，过点 作 ，过点 作
于点 ，设 ，分别解 ，进行求解即可．
【详解】解：过点 作 航线于点 ，过点 作 ，过点 作 于点 ，则四边形
为矩形，
∴ ，
由题意，得： ，设 ，则：
83 / 191
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ ；
即：港口 到航线的距离为 ．
3．如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为 的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其
高度忽略不计），为坡地 进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知 ，
水柱在距出水口A的水平距离为 时，达到距离地面 的竖直高度的最大值为 ．以 所在的水平
方向为x轴， 所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点为 上的点C处，求点C距出水口的水平距离．
84 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键，
（1）根据坡比 ，求出 的长，从而得到点 ，点 坐标，再由题意设抛物线的表达式为
，代入即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线 的解析式为 ，由点 ，点 坐标求得直线 的解析式，再由点 是直线 和
抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点 坐标．
【详解】（1）解： ，
，
设 ，则 ．
，
，
解得 ，
，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
由条件可设抛物线的表达式为 ，
将 代入，可得 ，
解得 ，
水柱所在抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将点 ，点 代入得： ，
85 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
直线 的解析式为 ．
联立 ，
得 ，
解得 ，
点C的横坐标为 ，
点C距出水口的水平距离为 ．
4．巫云开高速起于巫溪县， 经云阳县， 止于开州区， 是渝东北地区与主城都市区联系的重要通道，
也是重庆过境大通道的重要组成部分， 预计在 2025 年建成通车． 为及时学握巫云开高速通车后是否会
对沿途居民生活产生噪音影响， 施工单位派出了两名勘测师对已经修建好的高速路段 进行勘测．
如图， 勘测师甲在一段自西向东的高速路上的 处发现民宿 在 处北偏西 方向上， 与
处距离为 80 米， 民宿 在 处北偏东 方向上； 勘测师乙在民宿 处测得民宿 在 处
北偏西 的方向上．
(1)求 的距离（结果保留一位小数）；
(2)当居住场所与高速路的距离不大于 30 米的时候， 人们的生活会被高速路上的噪声影响， 相关部门可
通过加装隔音堜来减少噪声污染， 每米隔音墙的单价为 158 元． 请判断民宿 是否会被高速路上的
86 / 191
学科网（北京）股份有限公司噪声影响? 如果有被影响， 则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙， 请计算出安装隔音墙
需要资金多少元? 如果没有被影响， 请说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)109.3米
(2)3160元
【分析】（1）过点A作AT⊥DE，过点B作BK⊥DE于N，过点A作AM⊥BC于M，证△AMB是等腰直角
三角形得AM=BM，∠BAM=45°，再由含30°角的直角三角形的性质得AM= AC=40（米），然后由勾股定
理得CM=40 （米），即可解决问题；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得BN= AB=20 （米），再由20 米＜30米，得民宿B会被高
速路上的噪声影响，设在DE上从G到H处受影响，则BG=BH=30米，然后由勾股定理得GN=HN=10
（米），即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点A作AT⊥DE，过点B作BK⊥DE于N，过点A作AM⊥BC于M，
则AT∥KN，
∴∠ABN=∠BAT，
由题意得：∠CAT=45°，∠BAT=60°，∠CBK=75°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABC=180°-∠CBK-∠ABN=180°-75°-60°=45°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠BAM=45°，
∴∠CAM=∠CAT+∠BAT-∠BAM=45°+60°-45°=60°，
∴∠C=30°，
87 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴AM= AC= ×80=40（米），
∴ （米），
∴BC=BM+CM=AM+CM=40+40 ≈109.3（米）；
（2）由（1）得： AMB是等腰直角三角形，AM=40米，
△
∴AB= AM=40 （米），
∵∠BAN=90°-∠BAT=90°-60°=30°，
∴BN= AB=20 （米），
∵20 米＜30米，
∴民宿B会被高速路上的噪声影响，
设在DE上从G到H处受影响，则BG=BH=30米，
∵BN⊥DE，
∴ （米），
∴GH=2×10=20（米），
∴安装隔音墙需要资金为：20×158=3160（元）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．如图，某公园内有一个垂直于地面的信号塔 ，小高同学位于点C的位置观测信号塔，眼睛距地面高
度为 米， ，测得塔顶B的仰角为 ，小高向着信号塔的方向前进到点E处，此时小高
距信号塔的水平距离为27米，测得塔顶B的仰角为 ﹒
(1)求小高前进的距离 ；（ 取 ，结果保留整数）
(2)此时，小高发现，前方5米的地面上有一个气球正在缓缓升起，假设气球升起的方向是垂直向上的，3
88 / 191
学科网（北京）股份有限公司秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶B的位置，求气球升起的平均速度．
【答案】(1)小高前进的距离 约为20米
(2)气球升起的平均速度为 米/秒
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）连接 ，并延长交 于点 ，先证出 ， 米，再在 中，解直角三
角形可得 的长，在 中，解直角三角形可得 的长，则可求出 的长，由此即可得；
（2）过点 作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，先分别求出 的长，从而可得
的长，再利用 除以时间即可得．
【详解】（1）解：如图，连接 ，并延长交 于点 ，
由题意得： ， ， ， 米， 米，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，四边形 是矩形，
∴ ， ， 米，
在 中， 米，
在 中， 米，
∴ 米，
∴ （米），
答：小高前进的距离 约为20米﹒
（2）解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，
89 / 191
学科网（北京）股份有限公司则四边形 是矩形，
∴ ， 米， ，
由题意得： 米，
∴ 米，
在 中， 米，
∴ 米，
∵气球升起的方向是垂直向上的，3秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶 的位置，
∴气球升起的平均速度为 （米/秒），
答：气球升起的平均速度为 米/秒．
押题猜想十一 几何图形的证明与计算问题
限时：6min
1．【改编】如图，在四边形 中， ， ，对角线 和 相交于点 ．请在以下两
个条件中：“① ；② ”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
90 / 191
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握
以上知识点是解题的关键．
（1）选择① ，先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，
即可完成证明；选择② ，先证明四边形 是平行四边形，得 ，然后证明
，得 ，根据两直线平行，同旁内角互补，可知 ，
得 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明；
（2）因为 ，由 ， ，可求 ，在 中，由勾股定理可求 长，根
据 即可求解．
【详解】（1）选择① ，
证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
平行四边形 是矩形；
选择② ，
证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
平行四边形 是矩形；
（2）解：由（1）得， ，
， ，
，
91 / 191
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
．
押题解读
中考中几何图形的证明与计算问题的出现频率较高，是中考的重要组成部分，而且该部分内容涉及知
识点较多，学生需掌握以下知识：三角形的全等/相似、特殊三角形的性质，以及特殊平行四边形的
性质与判定，圆的切线、弦、圆心角、圆周角定理，以及弧长和扇形面积的计算，图形变化等.
1．如图，在 中，点E，F分别在 ， 上， ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，当 的长为 时，四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，添加适当的辅助
线构造直角三角形是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质和等式的性质得到 ，再利用一组对边互相平行且相等的四边形是平行
四边形的判定定理解答即可；
（2）过点B作 ，交 的延长线于点H，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求
得 ，AH，设 的长为x，则 ，利用勾股定理和菱形的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
．
又∵ ，
，
四边形 是平行四边形．
92 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：过点B作 ，交 的延长线于点H，如图，
设 的长为x，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴当 的长为 时，四边形 是菱形．
故答案为： ．
2．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ，点 是 的中点，连接 ． 于点 ，
， 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若菱形 的周长为40， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
93 / 191
学科网（北京）股份有限公司(2)80
【分析】（1）由菱形的性质得出点 是 的中点．由三角形中位线的判定和性质得出 ，再结
合已知条件以及矩形的判定方法即可证明．
（2）由菱形的性质，三角形中位线的性质得出 ，再利用勾股定理分别求出 ， ，
，最后再根据 ．
【详解】（1）证明： 菱形 的对角线 与 相交于点 ，
点 是 的中点．
点 是 的中点，
．
，
四边形 是平行四边形．
，
．
四边形 是矩形．
（2）解： 菱形 的周长为40，
．
由（1）可得， ，
则 ．
， ，
．
由（1）知，四边形 是矩形，
． ．
，
．
菱形 的对角线 与 相交于点 ，
．
．
94 / 191
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的定义和性质，勾股定理等知识，
掌握这些判定定理和性质是解题的关键．
3．如图，以 的 边为直径作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 相交于点 ，连接
， ．
(1)判断 的形状，并证明；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) 是等腰三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，得出 ，根据圆周角定理得出 ，证
出 ，即可得 ，即 是等腰三角形．
（2）过点 作 ，垂足为 ．根据圆周角定理得出 ，在 中，
，设 ，则 ，根据等腰三角形的性质得出 ，证明
， ，即可求解．
【详解】（1）解： 是等腰三角形
理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
95 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰三角形．
（2）解：过点 作 ，垂足为 ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
在 中， ，
设 ，则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等
知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
4．如图，四边形 中， ， ， ，连接 ，以点B为圆心， 长为半
径作 ，交 于点E．
96 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 与 相切；理由见解析
(2)
【分析】（1）过点B作 ，证明 ，得到 ，即可证明 与 相切；
（2）先证明 是等边三角形，根据三线合一得到 ，求出 ，再利用 ，求
出阴影部分面积．
【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
过点B作 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点F在 上，
∴ 与 相切；
97 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角
函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
5．在 中， ， ， 于点D．点M，N分别是 ， 上的动点，且
满足 ．连接 ，交 于点E，过点M作 ，交 于点F，垂足为H．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当 时，依题意补全图形，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明 ，结合 ，可得
，再进一步的分别求解 ， 即可得到结论；
98 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）如图，连接 ， ，证明 ， ，可得 ， ，证明
，可得 三点共线，延长 至 ，使 ，而 ， ，可得
， ， ，再证明 ，可得 ，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 ， ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
99 / 191
学科网（北京）股份有限公司延长 至 ，使 ，而 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，
三角形的内角和定理的应用，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
押题猜想十二 几何图形压轴
限时：2min
1．【改编】综合与实践：
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受
这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 中， ，将线段 绕
点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．
(1)【观察感知】
100 / 191
学科网（北京）股份有限公司如图2，通过观察，线段 与 的数量关系是________；
(2)【问题解决】
如图3，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ， ．
①求线段 的长；
②连接 交 于点 ，则 的值为________．
(3)【拓展应用】
如图3，若 ， ，在直线 上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长度．
【答案】(1)
(2)①2；②
(3)2或
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，进而证明 ，即可求解；
（2）①证明 ，得出 ， ，根据 ，得出
，求出结果即可；
②过点 作 于点 ，证明 得出 ，证明 ，设 ，
则 ，代入比例式，得出 ，进而即可求解；
（3）当 在 点的左侧时，过点 作 于点 ，当 在 点的右侧时，过点 作 交 的
延长线于点 ，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．
，
，
∵ ，
，
，
又 且 ，
101 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
②如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
102 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
设 ，则 ，
解得：
∴ ；
（3）解：如图所示，当 在 点的左侧时，过点 作 于点 ，
∵
∴ ，设 ，则 ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
在 中， ， ，
103 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
如图所示，当 在 点的右侧时，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
押题解读
104 / 191
学科网（北京）股份有限公司中考中几何图形压轴题的出现频率非常高，几乎是每年中考数学试卷的必考题型。因为压轴题涉及知
识点较多，难点相对较大，该题型能够有效考查学生的综合能力，区分学生水平，符合教育目标，并
具有实际应用价值。因此，几何图形的证明与计算问题在中考中占有重要地位，是考生必须掌握的内
容。
1．综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动．
问题情景：四边形 中， ，点 在 上，点 在 上，将 沿 翻折，使顶点 落
在四边形 内，对应点为 ，点 为 边上一点，点 为 边上一点，将 沿 翻折，点
的对应点 恰好在射线 上．
(1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形 为矩形，点 在射线 上， ，则 与
的位置关系是___________，数量关系是___________；
(2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？
并就图2的情形说明理由；
(3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形 的边 在 轴上，
三点重合，若点 ，点 为 的三等分点（位置不确定），连接 ，请直接写
出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3) 或
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
105 / 191
学科网（北京）股份有限公司作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）根据矩形的性质、折叠的性质得到 ，得到 ，再证明
，得到 ，由此即可求解；
（2）根据平行四边形的性质、折叠的性质得到 ，得到 ，再证明
，得到 ，由此即可求解；
（3）分 两种情况，利用矩形的性质和勾股定理，分别解答即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，点 共线， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：成立，理由如下，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵折叠，点 共线， ，
106 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即（1）中两个结论仍然成立；
（3）解：如图，当 时，过点 作 交 的延长线于点 ，
，
四边形 是矩形， ，
，
，
， ，
根据折叠可得 ， ，
，
107 / 191
学科网（北京）股份有限公司四边形 为矩形，
，
设 ，则 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
；
如图，当 时，过点 作 交 的延长线于点 ，
，
同理可得四边形 为矩形，则 ，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
；
综上，点 的坐标为 或 ．
2．综合与实践
【问题呈现】
108 / 191
学科网（北京）股份有限公司（1）如图1， 和 都是等边三角形，连接 ， ．求证： ．
【类比探究】
（2）如图2， 和 都是等腰直角三角形， ，连接 ， ，则
【拓展提升】
（3）如图3， ， ，连接 ， ，若 ．
①求 的值；
②延长 交 于点 ，则 ．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）① ，② ．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）①利用勾股定理求得 ，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到 ，再利用直角三
角形的边角关系定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
109 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
（2）∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）①∵ ， ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②设 ， 交于点 ，如图，
110 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三
角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的
判定与性质是解题的关键．
3．【问题发现】（1）如图1，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一点，过点 作
，分别交 ， 于点 ， ， ， ．则：
① ________；
② 与 的关系是________；
【类比探究】（2）如图2，点 是矩形 外一点，过点 作 ，分别交 ， 反向延长线
于点 ， ②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ， 是 外一点， ， ，
，求 的最小值．
111 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ；② ；（2）成立，理由见解析（3）
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是
解题的关键．
（1）①根据矩形的性质和判定证明四边形 和四边形 都是矩形，求出各个线段的长，再利用
勾股定理即可得到答案；
②由 ， 即可得到结论；
（2）证明四边形 和四边形 都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论；
（3）作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线
于点 ，连接 ，证明四边形 和四边形 都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可．
【详解】解：（1）①如图 ： 四边形 是矩形， ， ，
，
，
过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
② ，
112 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ；
（2）成立，理由如下：
四边形 是矩形，
，
，
过点 作 ，分别交 ， 反向延长线于点 ，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）作 交 的延长线于点 ，则 ，
，
作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，连接 ，
，
，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
，
，
，
，
，
113 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
， ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
的最小值为 ．
4．如图，在 中， ， 是边 上的高，已知 ， ．动点 从点 出
发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 向终点 运动，当点 不与点 、 重合时，连接 ，
以 、 为边作 ．设 与 重叠部分图形的面积为 ，点 的运动时间为 ．
114 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的长；
(2)求 与 之间的函数关系式；
(3)当 的对角线与边 平行时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)①当 时， ；②当 时， ；③当 时，
(3) 或
【分析】本题考查了列二次函数表达式，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，解
直角三角形，解题的关键是：根据点 的位置分情况讨论．
（1）根据勾股定理，求出 ，根据面积列式，即可求解，
（2）分三种情况进行讨论，根据三角函数用 表示出线段长，结合梯形面积和三角形面积公式，即可求解，
（3）分三种情况进行讨论，根据矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
∵ ，即： ，
∴ ；
（2）解： ， ，
115 / 191
学科网（北京）股份有限公司① 在 之间时，设 与 交于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴当 时， ；
② 在 之间时，设 与 交于点 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴当 时， ；
③ 在 之间时，作 垂足为 ，
116 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴当 时， ；
（3）解： 与 交于点 ，不存在 与 平行的情况，
①当 在 之间时， 与 有交点，不存在 与 平行的情况；
②当 在 之间， 时，
∵ ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∵ ，
117 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，则 ；
③当 在 之间时， 时，设 、 交于点 ，
∵ ，
∴ 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
综上所述， 或 ．
5．【问题提出】
（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上， 于点D且 ．
求 的最小值；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形 中， ，点E，F分别为 上的点，
且 ，求四边形 面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某园林对一块矩形花圃 进行区域划分，点K为 的中点，点M，N分别为
上的点，且 将花圃分为三个区域．已知 ，现计划在 和
中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．
118 / 191
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（2）
【分析】（1）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点E，先由圆周角定理
和垂径定理得 ，可得 ， ，设 ，结合
，再进一步即可解决问题；
（2）分别延长 交于点M，如图所示：则 均为等腰直角三角形，将 绕点C顺时
针旋转 得到 ，则A、D、 三点共线，由
，当 取得最小值时， 取得最大值，，
求出 的最小值，即可解决问题；
（3）如图③中，将 绕点K顺时针旋转得到 ，此时N，C， 共线，作 的外接圆
，连接 ， ， ，过点O作 于点H．求出 的面积的最小值，可得结论．
【详解】解：（1）如图①中，作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点E，
则 ， ， ，
∵
119 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
设 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 最小值为 ；
（2）分别延长 交于点M，如图所示：则 均为等腰直角三角形，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
；
∵ ，
120 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴将 绕点C顺时针旋转 得到 ，则A、D、 三点共线，
∴ ，
∵ 为定值，
∴当 取得最小值时， 取得最大值，
∵ ，
∴以 为斜边作等腰 ，则 的外接圆是以点O为圆心， 长为半径的圆，过点O作
于点J．
设 的外接圆半径为 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点O在 上时， 最短，此时 ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图③中，将 绕点K顺时针旋转得到 ，此时N，C， 共线，作 的外接圆
，连接 ， ， ，过点O作 于点H．
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
121 / 191
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最小值为 ，
∴ 的面积 的面积的最小值为 ，
∴五边形 的面积的最大值 ，
∴种植乙花面积的最大值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，垂线段最短等知
识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
押题猜想十三 反比例函数与一次函数
限时：6min
1．【改编】如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
122 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)求一次函数的解析式；
(2)请写出不等式 的解集；
(3)将直线 向右平移3个单位长度得直线 ，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形 ，请判断
它的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)四边形 是菱形，见解析
【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
将点 ， 代入 中，
得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；
123 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解： 点 ， ，
由图象可得不等式 的解集为 或
（3）解：四边形 为菱形．理由如下：
如图，连接 ， ，
由 向右平移3个单位长度得直线 ，
∴ 的函数解析式为： ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用函数图象解不等
式，菱形的判定，掌握一次函数与反比例函数的基础知识是解本题的关键．
押题解读
中考中反比例函数与一次函数作为中考的必考题型，是因为它们具有基础性和广泛应用，能够有效考
查学生的数学能力，区分学生水平，符合教育目标。因此，反比例函数与一次函数在中考中占有重要
地位，是考生必须掌握的内容。
124 / 191
学科网（北京）股份有限公司1．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)结合图象请直接写出不等式 的解集；
(3)若点P在y轴上，且 的面积为12，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可；
（3）设 ，先求出直线 与y轴交点C的坐标，再根据三角形面积公式 底 高，以 为底，
A、B横坐标差的绝对值为高来计算 的面积，进而求出y的值．
【详解】（1）解：将 代入 ，
得 ，
∴ ，
把 代入 得 ，
125 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴反比例函数的解析式为 ；
（2）如图所示，一次函数 的图象与反比例函数y 的图象交于点 、 ，A点为
，
把B点代入反比例函数 ，即 ，
∴B点坐标为 ，
∴根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式 解集为： 或 ；
（3）如图所示， 与y轴交于C点，
在 中，令 ，得 ，
∴直线 与y轴交点 ，
已知 ， ，根据三角形面积公式 ，
， ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
2．如图，点 是反比例函数 图象上的点，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴
126 / 191
学科网（北京）股份有限公司于点 ，连接 ，线段 交 于点 ．
(1)求 的值；
(2)求直线 的函数解析式；
(3)若将 所在的直线向下平移 个单位长度后，与反比例函数的图象 有且只有一个
公共点，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）由 得到点 的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出 的值；
（2）先求出点 的坐标，再将 ， 的坐标代入所设的解析式 中，求出 ， 的值，再代
回所设的解析式中即可；
（3）先确定平移后的函数解析式，再和反比例函数联立，转化为一元二次方程，最后根据 求得．
【详解】（1）解： ，
，
点 的坐标为 ，点 的横坐标为2，
将点 代入 中，得 ；
（2）由（1）可知 ，
，
点 的横坐标为2，
127 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
点 的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，解得 ，
直线 的函数解析式为 ；
（3）将 所在的直线向下平移 个单位长度后直线的解析式为 ，
平移后的直线与反比例函数的图象 有且只有一个公共点，
，整理得： ，
，
解得 ， ，
又 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析
式，以及一元二次方程根的判别式．解题的关键是熟练掌握相关的基础知识．
3．阅读材料：
在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进
行了推导．
证明：在反比例函数 的图象上任取一点 ，
则点A关于原点的对称点B的坐标为 ．
128 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
∴点B也在反比例函数 的图象上．
∵点A是反比例函数 上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数 的图象关于原点对称．
问题解决：
下面我们来研究一个新函数 ．
(1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数 的图象关于 对称；
(2)已知点 在函数 的图象上，且 ，直接写出x的取值范围是 ．
(3)已知函数 的图象在函数 的图象的下方，求x的取值范围．
【答案】(1)y轴
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，关于y轴对称的点的坐标特点；
（1）根据阅读材料的证明过程证明即可；
（2）由 可得 ，即 ，即可得解；
（3）结合函数图象 与 只交于 部分，求出 与 的图象交点，结合函数图象
即可得解．
【详解】（1）解：函数 的图象关于y轴对称，
129 / 191
学科网（北京）股份有限公司证明：在 的图象上任取一点 ，
则点A关于y轴的对称点B坐标为 ，
∵把 代入 中， ，即点B在 的图象上，
∴ 的图象关于y轴对称，
故答案为：y轴；
（2）解：∵点 在函数 的图象上，且 ，
，
，
或
故答案为： 或 ；
（3）解：如图：
结合函数图象 与 只交于 部分，
此时联立 ，
解得 ，
经检验， 是方程的解，
130 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
，
∵函数 的图象在函数 的图象的下方，
∴x的取值范围为： 或 ．
4．如图， 、 两点在函数 的图象上．
(1)求 的值及直线AB的解析式 ；
(2)从图上观察，当 时直接写出 时 的取值范围；
(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数 的图象与
直线 围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) ，
【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点
问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
（1）把点 代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把 ， 分别代入表达式 ，即可
求得直线 的解析式；
（2）由图象即可求得；
（3）根据图象及解析式即可求得．
131 / 191
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点 ，
将 代入 ，得 ，
∴反比例函数的表达式为
将点 ， 分别代入表达式 得：
，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：由图象可知：当 或 时， ；
（3）解：格点的横坐标x的取值范围为 且x为整数
当 时， ， ，此时在区域内的格点的坐标为
当 时， ， ，此时在区域内的格点的坐标为
当 时， ， ，此时没有格点；
综上，所含格点的坐标为 ，
押题猜想十四 函数与几何图形综合
限时：6min
1．【改编】如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的图象上，
．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交函数
的图象于点 ，过点 作 轴于点 ．
132 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)求函数关系式；
(2)探究 的面积与四边形 的面积存在着怎么的数量关系？
(3)证明： ．
【答案】(1)
(2)相等
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得点 ，再把 代入 ，即可求解；
（2）连接 ， 交 于点K，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得
，从而得到 ，即可求解；
（3）设平移距离为n，可得点 ， ，从而得到 ，可证明
，从而得到 ，再由 ，可得 ，即可求证．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ 轴， 轴，
∵ ，
∴点 ，
把点 代入 ，得： ，
∴函数关系式为 ；
133 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图，连接 ， 交 于点K，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 四边形 的面积；
故答案为： ；
（3）解：如图，设平移距离为n，
根据题意得：四边形 是矩形，
∴ ，
∴点 ，
∵反比例函数 ，
∴ ，
∴ ，
134 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
押题解读
中考中函数与几何图形综合题通常涉及多个知识点，如函数的图像与性质、几何图形的性质与判定、
方程与不等式的求解等，要求学生具备较强的知识整合能力。该部分题目形式多样，可能涉及函数的
图像与几何图形的位置关系、交点问题，或利用函数解析式求解几何图形的边长、面积等，通常难度
较大，需要学生具备较高的数学素养和解题能力。
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，
点 在反比例函数 图象上．
(1)求 的值及点 的坐标；
(2)若 为等腰直角三角形， ，求点 的坐标；
(3)过点 ， 的直线与 轴交于点 ，点 与点 关于点 对称，若存在 ，使得
，请直接写出 的值．
【答案】(1) ，点
135 / 191
学科网（北京）股份有限公司(2) 或
(3) 或
【分析】`（1）由待定系数法求出 的表达式，进而求解；
（2）当 点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可；
（3）分两种情形证明 ，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入 ，则 ，即点 ，
将点 的坐标代入 得， ，则 ，
则直线 的表达式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴点 ；
（2）解：当 点在第一象限时，过点 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，如图所示：
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
则点 ；
当 点在第三象限时，过点 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，如图所示：
136 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述： 点坐标为 或 ；
（3）解：设点 ，点 与点 关于点 对称，则点 ，
则 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
则 ，
即 ，
解得： （负值已舍去），即点 ，
137 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ，则 为 的中点，
由中点坐标公式得：点 ，
则 ．
如图，当点 在第三象限时．
同理可得： ，
即 ，
解得 ，
可得 ，
∴ ，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，一次函数的性质，中点坐标公式
的运用等，综合性强，难度适中．
2．如图，直线 与坐标轴交于点 ， ，直线 经过点 ，与 交于点 ，点 的横坐
标为1．
138 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的解析式．
(2)点 是线段 上一点，过点 作垂直于 轴的直线，分别与 轴和直线 交于点 ， ．设点 的横坐
标为 ．
①当 时，求点 的坐标；
②若 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)① ；②2
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和
性质是解题的关键．
（1）设直线 的解析式为 ，求出 ，将 ， 代入即可得到答案；
（2）①求出 ，将 代入 ，得 ，即可得到答案；
②由题意，得 ．若 ，则 ，求出 和 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ．
将 代入直线 的解析式，得 ，
；
直线 经过点 ， ，
139 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得
直线 的解析式为 ；
（2）解：①当 时， ，
．
将 代入 ，得 ，
解得 ，
；
②由题意，得 ．
若 ，则 ，
解得 ，
．
令 ，解得 ，
，
．
3．【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点 是直线 上第一象限内的两个动点（ ），以线
段 为对角线作矩形 ， 轴．反比例函数 的图象经过点 ．
140 / 191
学科网（北京）股份有限公司【构建联系】
(1)求证：函数 的图象必经过点 ．
(2)如图2，把矩形 沿 折叠，点 的对应点为 ．当点 落在 轴上，且点 的坐标为 时，
求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称的性质，熟
练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）设 ，则 ，用含 的代数式表示出 ，再代入 验证即可得解；
（2）先由点B的坐标和k表示出 ，再由折叠性质得出 ，如图，过点D作 轴，过
点B作 轴，证出 ，由比值关系可求出 ，最后由 即可求解．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
∵ 轴，
∴D点的纵坐标为 ，
∴将 代入 中得： 得，
∴ ，
141 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴将 代入 中得出 ，
∴函数 的图象必经过点C；
（2）∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数 的图象经过点A，C，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵把矩形 沿 折叠，点C的对应点为E，
∴ ， ，
∴ ，
如图，过点D作 轴，过点B作 轴，
∵ 轴，
142 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴H，A，D三点共线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
由图知， ，
∴ ，
∴ ；
4．如图，平面直角坐标系 中，抛物线 经过原点O、 ，将该抛物线绕点
旋转 得到抛物线 ，两抛物线交于B、C两点，抛物线 与y轴交于点D．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，求 的面积；
(3)若直线 与抛物线 交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线 的斜率为 ，直
143 / 191
学科网（北京）股份有限公司线 的斜率为 ，当 为定值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线 的顶点坐标为 ，进而推出抛物线 的顶点坐标为 ，且二次项系数为 ，
则抛物线 的解析式为 ，联立 ，可得 ，则点M为
中点，即可得 ；
（3）同理得到抛物线 的解析式为 ，则 ，
设 ，则可推出 ；利用待定系数法可得 ，
，求出 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过原点O、 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线 的表达式 ，
144 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵抛物线 的表达式 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∵抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，且二次项系数为 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴点M为 中点，
∴ ；
（3）解：∵抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，抛物线 的顶点坐标为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，且二次项系数为 ，
145 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴抛物线 的解析式为 ，
∴ ，
设 ，
联立 得 ，
∴ ；
设直线 解析式为 ，直线 解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
同理可得 ，
∴
146 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
∵ 是一个定值，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，旋转180度后点的坐标特点，正确求出抛物线 的解
析式是解题的关键．
押题猜想十五 与函数有关的最值问题
限时：8min
1．【改编】已知：已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，顶点
为D．
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，求出P点坐标及 的周长；
(3)如图2，连接 ，E为线段 上一动点，求 的最小值．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)8
147 / 191
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据 ，得到 ，利用待定系数法依次解答即可；
(2) 设点 ，根据对称性质，得到 ，确定点 ，根据题意，连接 ，交对称轴于点
F，当P与点F重合时， 取得最小值，且为
，利用勾股定理，计算 ，
设直线 的解析式为 ，确定解析式即可求得交点的坐标．
(3) 过点E作 轴于点G，根据 ，得 ，
于是 ，故
，利用 ，故当D，E，G三点共线时， 取得最小值，根据垂线段最短，
最小值为 ，解答即可．
【详解】（1）解：根据 ，
∴ ，
∵ 在 上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设点 ，
∵ ，
148 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ 的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∵A，B是对称点，
∴连接 ，交对称轴于点F，当P与点F重合时， 取得最小值，且 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
当 时， ，
故 ，
∴ 的周长最小时， ， 的周长为
．
149 / 191
学科网（北京）股份有限公司（3）解：过点E作 轴于点G，
根据 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
故当D，E，G三点共线时， 取得最小值，根据垂线段最短， 最小值为 ，
故 ，
故 的最小值为8．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的性质，勾股定理，三角函数的应用，垂线段最短，熟
练掌握三角函数的应用，抛物线的性质计算是解题的关键．
押题解读
150 / 191
学科网（北京）股份有限公司中考中与函数有关的最值问题，是中考数学的核心考点之一，尤其在二次函数中体现最为突出。常见
出题类型为：
1）二次函数最值问题：仍然是考查的重点，可能涉及动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间等不同
情况，考查学生对二次函数性质的深入理解和分类讨论能力。
2）一次函数与反比例函数最值问题：虽然难度相对较低，但可能会与实际应用题相结合，考查学生
在具体情境中求解最值的能力。
3）函数与几何图形综合题：预计会出现更多的函数与几何图形相结合的最值问题，如抛物线与直线
的交点问题、动态几何中的面积最值等。
1．如图，二次函数 （ 为常数）图象与 轴交于点 ，顶点为 ，点 的
坐标为 ，连接 ．
(1)求二次函数表达式；
(2)如图 ，求证： 是等腰直角三角形；
(3)如图 ， 分别是线段 上的动点，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）求出点 坐标，再根据两点间距离公式求出 的长度，进而根据勾股定理的逆定理及等
151 / 191
学科网（北京）股份有限公司腰直角三角形的定义即可求证；
（ ）如图，延长 至 ，使 ，在 上取 ，连接 ，由线段
垂直平分线的性质得 ， ，证明 得 ，即得
，又由等腰三角形的性质可得 ，即得 ，利用
勾股定理得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得，
，
解得 ，
∴二次函数表达式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）解：如图，延长 至 ，使 ，在 上取 ，连接 ，
152 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，
153 / 191
学科网（北京）股份有限公司勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，正确作出
辅助线是解题的关键．
2．如图，已知抛物线 过点 ，且它的对称轴为 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当 的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在 上方时，M是抛物线上的动点，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)P的坐标为 或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出直线 的函数解析式为 ，进一步得到点Q的坐标为 ．设点P的坐标为 ，得
到 ，即可求出答案；
（3）连接 并延长交抛物线于点M，则点M即为所求． 的最大值为 的长．过点A作抛物线
对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，且它的对称轴为
∴
154 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，
设直线 的函数解析式为 ，把点 代入，得 ，解得 ．
∴直线 的函数解析式为 ，
设 和对称轴 的交点为点Q．
当 时 ，
∴点Q的坐标为 ．
∵点P在对称轴上，
∴设点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 或 ．
∴点P的坐标为 或 ；
155 / 191
学科网（北京）股份有限公司（3）如图2，连接 并延长交抛物线于点M，则点M即为所求． 的最大值为 的长．
过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
即 最大值为 ．
3．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过点A，B，与x轴的
另一个交点为点C，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接 ，
156 / 191
学科网（北京）股份有限公司若 ，求点M的坐标；
(3)如图②，P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 ，交 于点Q，求线段 的最大值及
此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点M的坐标为
(3)线段 的最大值为 ，点P的坐标为
【分析】（1）先求出 两点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，以 为圆心， 为半径作圆，当 点过 上时，则 ，
得到 ，求出抛物线的对称轴为 ，设 ，建立方程求解即可；
（3）先求出点C的坐标，证明 是等腰直角三角形，延长 交y轴于点F，过点 作y轴的平行线
交 于点H，过点Q作 于点G，解直角三角形求出 ，当 求最大值时，则 取
得最大值，求出直线 的解析式为 ，设 ，则 ，求出
，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：将 代入 ，则 ，
令 ，解得： ，
∴ ， ，
把 、 的坐标代入 得：
157 / 191
学科网（北京）股份有限公司，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图，以 为圆心， 为半径作圆，
∵ 两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分 ，
∴ ，
当 点过 上时，则 ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ， ， ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴点M的坐标为 ；
（3）解：令 ，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
158 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
延长 交y轴于点F，过点 作y轴的平行线交 于点H，过点Q作 于点G，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 求最大值时，则 取得最大值，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
159 / 191
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
此时， ， ，
∴线段 的最大值为 ，点P的坐标为 ．
【点睛】主要考查了用待定系数法二次函数的解析式和二次函数的图象性质，圆周角定理，解直角三角形，
勾股定理．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
4．如图1，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线 的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线 与直线 相交于点M，且 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
160 / 191
学科网（北京）股份有限公司（1）先求出点A，B，C的坐标，设直线 的解析式为 ，代入点B，C的坐标，利用待定系数法
即可求解；
（2）设 ，分2种情况①点 在直线 上方；②点 在直线 下方，利用割补法表示出
以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大
小即可得出答案；
（3）设 ，分2种情况①点 在直线 上方；②点 在直线 下方，过点 、 分别作
轴的平行线，交直线 于点 、 ，得出 ， ，通过证明 ，得到
，结合图形列出方程，解出 的值即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： ， ，
， ，
令 ，则 ，
，
设直线 的解析式为 ，
代入 和 ，得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
（2）解：由（1）得， ， ， ，
， ，
161 / 191
学科网（北京）股份有限公司设 ，
①若点 在直线 上方，则 ，
如图，连接 、 、 、 ，
，
，
当 时， 有最大值 ；
②若点 在直线 下方，则 ，
如图，连接 、 、 ，
162 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
，
当 时， 有最大值 ；
，
以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为 ．
（3）解：由（1）得，直线 的解析式为 ， ，
设 ，
①若点 在直线 上方，则 ，
如图，过点 、 分别作 轴的平行线，交直线 于点 、 ，
，
当 ，则 ，
，
，
轴，
，
，
163 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
解得： ， ，
点 的坐标为 或 ；
②若点 在直线 下方，则 ，
如图，过点 、 分别作 轴的平行线，交直线 于点 、 ，
同理①中的方法可得， ， ，
轴，
，
，
，
解得： （舍去）， ，
点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
164 / 191
学科网（北京）股份有限公司5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴交于点A，若抛物线顶点坐标 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若过点A的直线 与抛物线交于A，B两点，连接 ．
①求证： ；
②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断 的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，
请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)①见解析；②当 时， 的面积有最大值，最大值为
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理逆定理，三角形
的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数表示线段的
长解决问题，属于中考压轴题．
（1）根据顶点式可得该抛物线的表达式；
（2）①如图1，过点 作 轴于 ，设直线 交 轴于 ，根据三角函数值相等可证明
，再由直角三角形的两锐角互余可得结论；
②如图2，过点 作 轴交 于点 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
表示 的长，根据三角形的面积 铅垂高 水平宽，并配方即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标 ，
∴设该抛物线的表达式为 ，
∵二次函数图象经过坐标原点，
165 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）证明：①∵抛物线表达式为 ，
∴令 ，
解得 ， ，
∴点A坐标为 ，
∵直线 过点A，
∴ ，
∴ ，
∴直线表达式为 ，
联立 ，
化简得 ，
解得 或 ，
把 代入 ，可得 ，
∴B点坐标为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ；
166 / 191
学科网（北京）股份有限公司解：②∵M为x轴上方的抛物线上任意一点，
如图，连接 ， ，作 轴，与直线 交于点N，
∴设M点坐标为 ，则N点坐标为 ，
∴ ，
点B到 的距离为 ，点A到 的距离为 ，
∴
，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 .
押题猜想十六 与函数有关的存在性问题
限时：8min
1．【改编】已知抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上存在一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，请求出所有满足条件的点 的坐
标．
【答案】(1)
167 / 191
学科网（北京）股份有限公司(2)满足条件的点 的坐标为 或 ．
【分析】本题主要考查了考查了二次函数综合，勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点 的坐标为 ，利用两点距离计算公式分别表示出 ，再分
和 两种情况根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
解得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：设点 的坐标为 ．
∵ ，
∴ ，
．
在 中，当 时， ，
∴
化简，得 ，解得 ．
当 时，点 与点 重合，不合题意，舍去．
当 时， ．
此时点 的坐标为 ．
同理，当 时， ，
168 / 191
学科网（北京）股份有限公司即 ，
化简，得 ，解得 ．
当 时，点 与点 重合，不合题意，舍去．
当 时， ．
此时点 的坐标为 ．
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
押题解读
函数与存在性问题主要考查二次函数存在性问题，作为中考压轴的热考题型，可能涉及二次函数与特
殊图形的存在性问题，如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等，考查学生的分类讨论能力和几何
代数综合.
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．
(1)求拋物线的函数解析式．
(2) 是直线 下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点 分别作 轴，交抛物线于点 ，作
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
(3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在 取得最大值的条件下，连
169 / 191
学科网（北京）股份有限公司接 ，交 轴于点 ，平移后的抛物线上是否存在一点 ，使得 ？若存在，直接写出符合
条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的最大值为11，此时点 的坐标为
(3)存在，点 的坐标为 或 ．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾
股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过P作 轴交直线 于H，由二次函数的性质可得点 ，对称轴为 ；再
通过证明 是等腰直角三角形，即 ，进而得到 ；再运用待定系数法求得直线
的解析式为 ，设点 ，则 ，进而得到
，然后运用配方法求最值即可解答；
（3）先直线 的解析式为 ，再求得 ，然后确定平移后的抛物线解析式为
；设 ，再用两点间距离公式表示出 ，然后再运用勾
股定理列方程求得n即可解答．
【详解】（1）解：将 两点代入 可得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
170 / 191
学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图：过P作 轴交直线 于H，
∵抛物线的表达式为 ，
∴点 ，对称轴为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 ，则 ，
∴ ， ，
∴
171 / 191
学科网（北京）股份有限公司，
∴当 ，即 时， 的最大值为11．
∴ 的最大值为11， ．
（3）解：如图：设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵连接 交y轴于点M，
∴ ，
∵ ，抛物线沿射线 方向平移 个单位，
∴将抛物线 向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：
，
172 / 191
学科网（北京）股份有限公司设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，解得： 或 ，
将 、 代入 分别得到 ，2，
∴ 或 ．
2．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．与 轴交于点 ，顶点为 ，抛物线 ： 经过点 ．
173 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)当点 的坐标为 时，求抛物线 的表达式；
(2)在（ ）的条件下，在第二象限内抛物线 上是否存在一点 ，使得 的面积是 的面积的一
半？若存在，请求出点 的坐标：若不存在，请说明理由：
(3)若抛物线 和抛物线 构成的封闭图形内部（不包含边界）有 个整点（横、纵坐标都是整数），请求
出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，点 的坐标为
(3)
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）过点 作 交 轴于点 ，利用平行线间的面积处处相等，可将 转化为 ，再根据
和 的关系，可得三角形底之比，从而确定点 的坐标，再确定 的解析式，最后求交点坐标即
可得到结论；
（ ）根据抛物线 经过抛物线 的顶点 ，从而将点 代入抛物线 可得 ，由抛物线
经过抛物线 的顶点，可得 个整点分布在 和 上，从而可得 的取值范围；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，三角形的面积等知识，掌握二次函数的
174 / 191
学科网（北京）股份有限公司图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线 的表达式为 ；
（2）解：存在，点 的坐标为 ，理由如下：
过点 作 交 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴点 和点 的中点坐标为 ，
即点 坐标为 ，
设过点 和 的直线解析式为 ,
175 / 191
学科网（北京）股份有限公司则 ，
解 ，
∴ 的解析式为 ，
∵ ，
∴可设 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，
联立 ，可得 ，
解得 ， ，
∵点 在第二象限，
∴点 的横坐标为 ，
把 代入 ， 得 ，
∴点 的坐标为 ；
（3）解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴抛物线 ，
∴顶点 的坐标为 ，
∵抛物线 过点 ，
∴ ，
解得 ，
176 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴抛物线 的解析式为 ，
∵抛物线 的顶点坐标为 ，
把 代入抛物线 ，得 ，
∴点 也在抛物线 上，
即点 为抛物线 和抛物线 的交点，
设抛物线 与 轴交于点 ，
过点 作 轴，交抛物线 于点 ，则 ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵抛物线 和抛物线 构成的封闭图形内部(不包含边界)有 个整点，
∴ ，
∴ ．
3．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．
177 / 191
学科网（北京）股份有限公司(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点 在线段 上运动，过点 作 轴的垂线，与 交于点 ，与抛物线交于点 ，连接 、 ，
求四边形 的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时， 的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形 的面积最大为16；点P的坐标为
(3) ，
(4)点 的坐标为 或 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次
函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把 ， 代入 ，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得 ，设 ，则 ，求出 ，则
，根据四边形 的面积 ，结合二
次函数的增减性，即可解答；
（3）作C点关于x轴的对称点 ，连接 与x轴相交于点N，此时 的值最小，根据两
178 / 191
学科网（北京）股份有限公司点间距离公式即可求出 的最小值，再求出直线 的解析式为 ，即可得到点N的坐标；
（4）设 ，根据两点之间距离公式得出 ， ， ，然后分
情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴该二次函数的解析式 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 的面积最大为16，此时点P的坐标为 ；
179 / 191
学科网（北京）股份有限公司（3）解：作C点关于x轴的对称点 ，连接 与x轴相交于点N，
此时 的值最小， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
则直线 的解析式为 ，
令 ，
解得： ，
此时点 ；
（4）解：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
当斜边为 时， ，
即 ，整理得： ，
解得： ；
当斜边为 时， ，
即 ，
180 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得： ；
∴
当斜边为 时， ，
即 ，
解得： ；
∴
综上：点 的坐标为 或 或 或 ．
4．如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 和 两点，与 轴交于 ，直线
经过点 ，且与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ，与对称轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式和 的值；
(2)在 轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点 的坐标；
若不存在，试说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，
(2)存在，点 的坐标为 或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与
性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键．
181 / 191
学科网（北京）股份有限公司（1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再把 代入 即可得答
案；
（2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定， 与 应均为等腰直角三角形，所以 有
两种可能情况，即 ，或 ，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
把 代入 ，
得 ，
；
（2）解：把 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
由于点 在 轴上，设 ，则 ，
182 / 191
学科网（北京）股份有限公司若 ∽ ，
得 ，即 ，
解得 ，
点 的坐标为 ，
若 ∽ ，
得 ，即 ，
解得 ，
点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
5．抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．已知 ，抛物线的顶点坐标为 ，点 是抛
物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
183 / 191
学科网（北京）股份有限公司(2)如图1，点 在线段 上方的抛物线上运动（不与 ， 重合），过点 作 ，垂足为 ，
交 于点 ．作 ，垂足为 ，求 的面积的最大值；
(3)如图2，点 是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点 ，使得以点 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的
性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并
灵活应用．
（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将 点坐标代入即可求出抛物线表达式；
（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判
断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜
边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积；
（3）根据平行四边形的判定定理，分别以 为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相
等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴假设抛物线的表达式为 ，
将 代入得，
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：令 ,则 ，
令 ，则 ，
184 / 191
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴ ， ， ，
假设直线 的表达式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
∵ ，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
当斜边 最大时， 的面积最大，
假设 ， ，
求顶点横坐标为 ， ，顶点纵坐标为 的最大值，
，
是等腰直角三角形，
，
∴ 的面积为 ；
（3）解：分两种情况讨论，
①当 为平行四边形的边时，则有 ，且 ，
如图，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ，
185 / 191
学科网（北京）股份有限公司则 ，
在 和 中， ，
，
，
点 到对称轴的距离为3，
又 ，
抛物线对称轴为直线 ，
设点 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时，代入 ，得： ，
当 时，代入 ， ，
点 坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时，
如图，设 的中点为 ，
186 / 191
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
点 在对称轴上，
点 的横坐标为 ，设点 的横坐标为 ，
根据中点公式得： ，
，此时 ，
；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
6．如图，二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C，点P是x轴上一动
点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段 上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形 面积的最大值，并求出此时点
N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使
以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
187 / 191
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3) 或 或 或 或
【分析】（1）把 代入 中求出b，c的值即可；
（2）先求出 ，求出 ， ，求出直线 的解析式为 ，设 ，则
， ，则 ；再由 得到
，故当 时， 最大，最大值为 ，此时点P的坐标为 ；
（3）先求出顶点 的坐标，设 ，分 为菱形的对角线、 为菱形的对角线和 为菱形的对角
线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 中，得
，
解得
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵二次函数 与y轴交于点C，
∴ ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，
188 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∴ ；
∵ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ，
∴此时点P的坐标为 ；
（3）解：存在．
∵ ，
∴ ，
设 ，
189 / 191
学科网（北京）股份有限公司①当 为菱的对角线时，如图，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
②当 为矩形的对角线时，如图，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 ，
190 / 191
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
③当 为矩形的对角线时，如图，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
综上，存在E点坐标为 或 或 或 或 使得以A、D、E、F为
顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函
数的图象和性质是解题的关键．
191 / 191
学科网（北京）股份有限公司
