文档内容
第 30 讲 y=sin(ωx+φ)的图象与性质
1、 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R
振幅 周期 频率 相位 初相
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ
y＝Asin(ωx
＋φ)
3、 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 函数 的图象由
的图象向左平移 个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 42、 （2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数 在区间
单调递增，直线 和 为函数 的图象的两条对称轴，则 （ ）
A. B. C. D.
π π
3、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图象向左平移
个单位长度后得到曲线
3 2
C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
π
4、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取
3
值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
π 2π
5、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若 0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则φ的值为 ．变式2、（2022·江苏海安·高三期末）函数 的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称
轴的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3、（2022年湖南张家界市模拟试卷）记函数 的最小正周期为T，
若 ，且 是 图象的一个最高点，则 （ ）
A. B. C. D.
方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降
区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
例2、某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，
如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
xA sin (ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对
称中心为，求θ的最小值．
变式1、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）（多选题）要得到 的图象 ,只要将
图象 怎样变化得到
A. 将 的图象 沿x轴方向向左平移 个单位
B. 将 的图象 沿x轴方向向右平移 个单位
C. 先作 关于x轴对称图象 ,再将图象 沿x轴方向向右平移 个单位
D. 先作 关于x轴对称图象 ,再将图象 沿x轴方向向左平移 个单位
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位C．向左平移 个单位 D．向右移 个单位
变式3、 （2022年福建龙岩市模拟试卷）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐
标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A. B.
C. D.
变式4、（2022·山东莱西·高三期末）要得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐
标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸
缩后平移”．
考向三 三角函数图象与性质的综合问题
例3、（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数 (ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在 上是单调增函数
B．若 ，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得到的图象关于原点对称D．若f(x)在 上有且仅有3个零点，则
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数 (A＞0，0＜φ＜π)的图象
如图所示，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C．当 时，f(x)的最大值为1
D．若 ，则 的最小值为π
变式2、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）将函数 的图象向左平移 个单位长度
后得到 的图象如图，则（ ）
A． 为奇函数B． 在区间 上单调递增
C．方程 在 内有 个实数根
D． 的解析式可以是
变式3、（2022·广东汕尾·高三期末）（多选题）以下关于函数 的命题，正确的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．直线 的函数 图象的一条对称轴
D．将函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于原点对称
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．
1、（2022年厦门双十中学模拟试卷）将 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐
标不变），得到 的图象，再将 图象向左平移 ，得到 的图象，则
的解析式为（ ）
A. B. C. D.2、（2022·广东佛山·高三期末）已知函数 在一个周期内的图象如图所
示，图中 ， ，则 ___________.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）若 的部分图象如图所示，则 的值
为________．
4、（2022·广东潮州·高三期末）（多选题）已知函数 ，则（ ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0， ]上的最小值为
C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线 对称5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知函数 ，若 且对任意
都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的图象向左平移 个单位后，图象关于原点对称
D． 的图象向右平移 个单位后，图象关于 轴对称
6、（2022·山东泰安·高三期末）已知函数 ，将 的图象向左
平移 个单位长度，所得函数的图象关于 轴对称.
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个实数根，求实数 的取值范围.
