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第 30 节 双曲线
基础知识要夯实
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F (|F F |＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F F |且大于
1 2 1 2 1 2
零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学
表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
(1)若 a < c ，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若 a > c ，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图 形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称轴：坐标轴；对称中
对称性
心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0，－a)，A (0，a)
1 2 1 2
性
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
质
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长度|A A |＝2a；线段
1 2 1 2
实虚轴 B B 叫做双曲线的虚轴，它的长度|B B |＝2b；a叫做双曲
1 2 1 2
线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝c＋a，|
1 2 1min
PF | ＝c－a.
2min
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F ，F 为双曲线的两个焦点，且∠F PF ＝
1 2 1 2
θ，则△F PF 的面积为.
1 2
基本技能要落实
考点一 双曲线的标准方程
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双
曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程
为－＝1.
2.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.x2－＝1
【答案】B
【解析】法一 椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0).
设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
法二 设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
【答案】－＝1
【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是
________________.
【答案】－＝1
【解析】设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得
λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
【方法技巧】
1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在 x轴还是y轴上，设出标准方程，再
由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双
曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点二 双曲线的定义及应用
【例2】(1)(2021·合肥质检)－＝4表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2) B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2) D.－＝1(y≥2)
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F PF ＝60°，则
1 2 1 2
△F PF 的面积为________.
1 2
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|
PA|的最小值为________.
【答案】(1)C (2)2 (3)9
【解析】(1)的几何意义为点M(x，y)到点F (0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到
1
点F (0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F (0，3)的距离与到点F (0，－3)的
2 1 2
距离的差为4，且4<|F F |，所以点M的轨迹是以F ，F 为焦点的双曲线的下支，且该
1 2 1 2
双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲线方程
为－＝1(y≤－2)，故选C.
(2)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF |－|PF |＝2a＝2，
1 2
在△F PF 中，由余弦定理，得
1 2cos∠F PF ＝＝，∴|PF |·|PF |＝8，
1 2 1 2
∴S ＝|PF |·|PF |·sin 60°＝2.
F1PF2 1 2
△
(3)因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4，0)，设其右焦点为 H(4，0)，则由双
曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9(当A，P，H三点
共线时取等号).
【方法技巧】
1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方
程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF |－|PF ||＝2a，运
1 2
用平方的方法，建立与|PF |·|PF |的联系.
1 2
【跟踪训练】
1.(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F ，F ，离心率
1 2
为.P是C上一点，且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4，则a＝( )
1 2 1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
【答案】A
【解析】法一 设|PF |＝m，|PF |＝n，P为双曲线右支上一点，则 S ＝mn＝4，m
1 2 PF1F2
－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1. △
法二 由题意得，S ＝＝4，得b2＝4，
PF1F2
又＝5，c2＝b2＋a2， △ 所以a＝1.
(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BF|＝|AG|－|BG|＝7
－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－
＝1(x>2).
2.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶
点C的轨迹方程是( )A.－＝1(x>2) B.－＝1(y>2)
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
【解析】如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BF|＝|AG|－|BG|＝7
－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－
＝1(x>2).
考点三 双曲线的性质
【例3】(2022·东北三省三校联考)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作双曲线
2
一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若F2P＝3F2A，则双曲线C的渐近
线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±2x D.y＝±x
【答案】A
【解析】不妨设直线F P与渐近线y＝x垂直，则直线F P的斜率为－，又F (c，0)，所
2 2 2
以直线F P的方程为y＝－(x－c)，则由解得所以P，所以F2P＝.
2
设A(x ，y )，则F2A＝(x －c，y )，又F2P＝3F2A，
A A A A
所以解得
则A，代入双曲线的方程－＝1，结合c2＝a2＋b2，整理，得a2＝4b2，所以＝，所以双
曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
【例4】(1)(2022·重庆调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点到渐近线的距离为，则
该双曲线的离心率为( )
A.2 B.2
C. D.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B
为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
【答案】(1)D (2)2【解析】(1)由题意，知点(a，0)到直线bx－ay＝0的距离为，所以＝，＝，所以e＝＝.
(2)点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a，0)，
∵AB的斜率为3，∴＝3，
即＝＝e＋1＝3，∴e＝2.
【方法技巧】
双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是由－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关
于e的方程(或不等式)求解.
【跟踪训练】
1.(2022·北京东城区综合练习)双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线与直线 x＝1交于A，B
两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
【答案】D
【解析】由题意，知双曲线 C 的实半轴长 a＝1，双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x＝
±bx，把x＝1代入y＝±bx，得y＝±b，所以|AB|＝2b＝4，解得b＝2，所以c＝＝，所以
离心率e＝＝，故选D.
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F ，F ，一条渐近线为l，过点
1 2
F 且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF |＝2|MF |，则双曲线C的离心率为(
2 1 2
)
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】法一 不妨设渐近线l的方程为y＝x，则点M在第四象限，由双曲线的定义
知|MF |－|MF |＝2a，又|MF |＝2|MF |，所以|MF |＝4a，|MF |＝2a.设过点F 且与l平行
1 2 1 2 1 2 2
的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以cos α＝＝，所以cos∠F F M＝.在△F F M中，
1 2 1 2
由余弦定理cos∠F F M＝，得＝，整理得c2＝5a2，即c＝a，所以e＝＝.
1 2
法二 不妨设渐近线l的方程为y＝x，则由MF ∥l知，直线MF 的斜率为，方程为y
2 2＝(x－c)，代入双曲线方程得点M的横坐标x ＝.由双曲线的定义知|MF |－|MF |＝2a，
M 1 2
又|MF |＝2|MF |，所以|MF |＝4a，|MF |＝2a.
1 2 1 2
设过点F 且与l平行的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以cos α＝＝，所以cos α＝
2
＝，整理得c2＝5a2，即c＝a，所以e＝＝.
考点四 双曲线几何性质的综合应用
【例4】(1)已知M(x ，y )是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是C的两个焦点，若
0 0 1 2
MF1·MF2<0，则y 的取值范围是( )
0
A. B.
C. D.
(2)(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF
为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
(3)(2021·淮南一模)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的直线
1 2 2
交双曲线右支于A，B两点，若△ABF 是等腰三角形，且∠A＝120°，则△ABF 的周长
1 1
为( )
A.＋8 B.4(－1)
C.＋8 D.2(－2)
【答案】(1)A (2)A (3)A
【解析】(1)因为F (－，0)，F (，0)，－y＝1，所以MF1·MF2＝(－－x ，－y )·(－x ，
1 2 0 0 0
－y )＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c＝，如图所示，由圆
的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为
M，连接 OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt OPM 中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝
a2，故＝，即e＝.
△
(3)由双曲线－＝1(b>0)，可得a＝2，
如图所示，设|AF |＝m，
2|BF |＝n.
2
可得|AF |＝4＋m，
1
|BF |＝4＋n.
1
|AF |＝|AB|，
1
∴4＋m＝m＋n，解得n＝4.
作AD⊥BF ，垂足为D，则D为线段BF 的中点，∠F AD＝60°，
1 1 1
∴|DF |＝(4＋m)，
1
∴(4＋m)×2＝4＋n，
即(4＋m)＝4＋n.
又n＝4，代入解得m＝－4.
∴△ABF 的周长＝4＋m＋m＋n＋4＋n＝8＋2(m＋n)＝8＋.故选A.
1
【方法技巧】1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、
对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识
的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【跟踪训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐
近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8
C.16 D.32
【答案】B
【解析】不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为 y＝±x，分别与x＝a联立，
可得D(a，b)，E(a，－b)，
则|DE|＝2b.∴S ＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
ODE
∴c2△ ＝a2＋b2≥2ab＝16.
当且仅当a＝b＝2时，等号成立.
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8.
2.(2021·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为 F ，F ，在双
1 2
曲线上存在点P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，2] B.[2，＋∞)
C.(1，] D.[，＋∞)
【答案】B
【解析】当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，因为OP为△PF F 的边F F 上的
1 2 1 2
中线，所以PO＝(PF1＋PF2)；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.因为
双曲线上存在点P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，所以4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知4a≤2c，
则e≥2，选B.
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知 、 为双曲线 的焦点， 为 与双曲线 的交点，
且有 ，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，在 中， ，可设 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
又由 得 ，所以， .故选：A.
2．已知双曲线 上有一点P到一个焦点距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．4或20 B．20 C．4 D．6或18
【答案】A
【解析】设双曲线 的左右焦点分别为 ，则 ，
设P为双曲线上一点，不妨令 ，
∴点 可能在左支，也可能在右支，
由 ，得 ，
所以 或4，均满足 ，
所以点 到另一个焦点的距离是 或 ． 故选：A．
3．已知 是双曲线 的右焦点，过点 作垂直于 轴的直线交于双曲线
于 两点， 分别为双曲线的左、右顶点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 于点 ，且 为线段 的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则 的横坐标都为 ，代入双曲线方程得
,
而 ，所以直线 方程为 ，
令 ，得
所以直线 : ，令 得， ，
因为 为线段 中点，所以可得
，整理得 ，所以
故选C项.
4．双曲线 的焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由题意 ，所以 ，焦距为 ．故选：C．5．已知椭圆 ，双曲线 为 的焦点， 为 和
的交点，若 的内切圆的圆心的横坐标为2， 和 的离心率之积为 ，则 的值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】不妨设点 在第一象限内， 的内切圆与边 的切点分别为 ，双
曲线的焦距为 .
则
，
因为点 在双曲线上，所以 ，则 ，
又因为 和 的离心率之积为 ，而椭圆的离心率 ，双曲线的离心率为
，所以 ，解得 .故选：C.
6．已知平行于 轴的直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 、 两点，为坐标原点，若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为 ，
所以 所以 .故选：A
7．设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ．P是C上一
1 2
点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，故选：A.
8．若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等
于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【解析】由双曲线的定义得 ，即 ，
因为 ，所以 .故选：B.
9．设F为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，
又 ， 为以 为直径的圆的半径，
为圆心 ．
，又 点在圆 上，
，即 ．
，故选A．
10．已知 ， 为双曲线 的焦点， 为 与双曲线 的交点，且有
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意知 ，
在 中， ，可设 ，则 ，
由勾股定理得， ，
又由 得 ，所以 .故选：C
11．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，
若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为当且仅当 取等号
的焦距的最小值： 故选：B.
12．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且焦距为 ，则双曲线焦点到渐
近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 的焦距为 ，所以焦点为 ，
所以双曲线焦点到渐近线 的距离为 .故选：A
二、填空题
13．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近
1 2 1
线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由
，得 则 有 ，
又OA与OB都是渐近线，得 又 ，得．又渐近线OB的斜率为 ，所以该双曲线的离心率
为 ．
14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极
图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的
半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点
视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
【答案】
【解析】以两焦点所在直线为 轴，两焦点所在线段的中垂线为 轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为 ，由题意得双曲线的渐近线方程为 ， ，
所以 ，进而得 .
故双曲线的实轴长为： .
故答案为：，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
15．双曲线 的两条渐近线的方程为______.
【答案】
【解析】由条件可知 ， ，
则双曲线的渐近线方程 .
故答案为：
16．已知双曲线 的左焦点为 ，点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
，则双曲线 的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为： ，又 ，
点 到双曲线 的一条渐近线的距离 ， ，
则双曲线 的渐近线方程为： .故答案为： .
三、解答题17．已知双曲线E： 的离心率为2，点 在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点 的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由已知可得 ，
∴ ，解得 ①
又∵点 在E上，
∴ ②
由① ②可得 ， .
∴双曲线E的方程为 .
（2）过点 的直线l斜率显然存在，
设l的方程为： ， ， ，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得 ，
依题意 ，且 ，
所以 且 ，
因此，可得 ， .
∴.
18．已知双曲线 ： 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，一条渐近线
的倾斜角为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）经过点 的直线与双曲线的右支交与 两点，与 轴交与 点，点 关于原点的对称点为
点 ，求证： ．
【解析】（1）由题意得 ， ，
解得 所以双曲线 的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为： ，得 ， ，
设 ， ，
联立 ，整理可得，
所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以 ，设 ，
所以
19．已知点 在双曲线 上．
（1）求正数 的值；
（2）求双曲线C上的动点P到定点 的距离的最小值．
【解析】（1）由题意，将点 代入双曲线方程得， ，又 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，设点 ，则 ，且 或 ，
则 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，所以 的最小值为 .
20．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线 的左、右准线与其一条
渐近线 的交点分别为 ， ，四边形 的面积为4.（1）求双曲线 的方程；
（2）已知 为圆 的切线，且与 相交于 ， 两点，求 .
【解析】（1）设 ，
由直线 是双曲线 的一条渐近线，得 ①，
因为双曲线 的准线方程为 ，
由 得 ，所以 ，
由双曲线的对称性，得 ，
由四边形 的面积为4，可得 ，即 ，
结合①得， ，所以双曲线 的方程为 .
（2）①当直线 的不斜率存在时，对于圆 ，
不妨考虑 ，
则由 得 ，
所以 ， ，
所以 .
②当直线 的斜率存在时，设 ，
因为直线 与 相交于 ， 两点，所以 .
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 （*），
设 ， ，
由 消 得 ，
结合（*），有 ，
所以 ， ，
所以 ，
.
结合（*），得 .
综上， .
21．已知双曲线方程为 ， ， 为双曲线的左､右焦点，离心率为 ，点P为双曲线在
第一象限上的一点，且满足 ， .
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点 作直线 交双曲线于 两点，则在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值，
若存在，请求出 的值和该定值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）解法一：由 得： ， ，
， ，
在 中，由 得： ，
代入 ， 得：
解得： ， ， 双曲线方程为： .
解法二：由 得： ， ，
设点 ，则点 满足 …①，
， ，即 …②，
，即 …③，
则由①②得： ，代入③得： ， ， 双曲线方程为： .
（2）解法一：当 斜率为 时， ，
此时 ， ，由 得： ；
当 斜率不为 时，设 ， ， ，
联立 得： ，则 ，
， ，，
令 ，即 ，
解得： ，则 ，此时 ；
综上所述：存在 ，使得 ；
解法二：当 斜率为 时， ，
此时 ， ，由 得： ；
当 斜率不为 时，设 ， ， ，
联立 得： ，则 ，
， ，
，
若 为定值，则 ， ， ，此时 ；
当 ， 斜率为 时， ；
综上所述，存在 ，使得 ；
解法三：当 斜率不存在时， ，此时 ， ，
若 ，则 ；当 斜率存在时，设 ， ， ，
联立 得 ，则 ，
， ，
若 为定值，则 ， ， ，此时 ；
综上所述：存在 ，使得 .
22． 年 月 日，四川汶川发生里氏 级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的 处空
降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路 、 送到矩形灾民区 中去，若 ，
， ， ，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道
路 送药较近，而另一侧的点沿道路 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方
程.
【解析】矩形灾民区 中的点可分为三类，第一类沿道路 送药较近，
第二类沿道路 送药较近，第三类沿道路 和 送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设 为界线上的任一点，则 ， ，
∴界线是以 、 为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ( ， )，
∵ ， ，∴ ，
，故双曲线的标准方程为 ，
注意到点 的坐标为 ，故 的最大值为 ，此时 ，
故界线的曲线方程为 ( ， ).
