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5.1 三角函数的定义（精练）
1．（2023春·江西赣州）把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，
所以该手表分针转过的角为： .故选：B.
2．（2023·福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，那么，下列各角
与 角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为与 角终边相同的角的集合为 ，当 时，得到 ，
又 ，所以易知BCD均不符合题意.故选：A.
3．（2023春·天津）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差
D．终边相同的角的弧度都相同
【答案】A
【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的
关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差 的整数倍，故C错误，D错误；故选：A
4．（2023春·云南）下列说法正确的有几个（ ）
（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于 小于 的角；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】第一象限角的集合为 ，
1
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学科网（北京）股份有限公司锐角是大于 小于 的角，锐角的集合为 所以（1）错误，（2）正确，（3）正确故选：
C.
5．（2023春·山东）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，
速度为每分钟转 角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则 大小
是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】由题意得， ，故 ，
因为 ，所以 ， ，因为18分钟时回到出发位置，所以 ，
故 ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ， 或 ，即 或 .故选：C.
6．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系 中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面
上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 （开始时与圆盘上点
重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为 ，细绳的粗细忽略不计，当
时，点 与点 之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
2
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学科网（北京）股份有限公司【解析】展开过程中： , ,故选：D.
7．（2023·辽宁·校联考一模）已知角 的终边上一点的坐标为 ，则 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
而 ，
所以角 的终边上点的坐标可写为： ，
所以 ，因此 的最小正值为 .故选：D
8．（2023·山东菏泽）已知角 的终边过点 ，若 ，则实数m的值为（ ）
A． B．4 C． 或3 D． 或4
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，解得 ．故选：D．
9．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三
体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.
如图所示，水滴是由线段 和圆的优弧 围成，其中 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径
为1，点 到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
设圆弧所在圆的圆心为 ，连接 ，依题意得 ，
且 ，则 ，所以 ，
所以该封闭图形的面积为 .故选：A.
10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 为角 终边上的一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题易知， ，则 ．故选：D．
11．（2023春·北京）设 是第二象限角，则 的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 是第二象限角，所以 ， ，
当 时， ，在第一象限；当 时， ，在第二象限；
当 时， ，在第四象限；故选：D
12．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知直线 与圆 交于不同的两
点A，B，若弧 的长度为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 的圆心 的坐标为 ，半径 ，
因为弧 的长度为 ，所以 ，又 ，所以 为等边三角形，
所以顶点 到边 的距离为 ，所以 ，所以 ，故选：A.
13．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，始边与 的
非负半轴重合，将角 的终边按逆时针旋转 后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设 ，由 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知锐角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由锐角 终边上一点 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 时， ， ，所以 ，
又 ，所以 故选：D
16．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知点 ，将线段 绕原点顺时针旋转
得到线段 ，则点B的横坐标为____________.
【答案】
【解析】易知 在单位圆上，记终边在射线 上的角为 ，如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司根据三角函数定义可知， ；
绕原点顺时针旋转 得到线段 ，则终边在射线 上的角为 ，
所以点B的横坐标为 .
故答案为：
17．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的
天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点
之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图， 所在圆的圆
心O在线段AB上，若 ， ，则扇形OAC的面积为___．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司如图，过点 作 ，设 所在圆的半径为 ，则 ，
在 中， ， ，
所以 ， ，
所以， .
在 中，有 ，
即 ，
整理可得， .
因为 ，所以 ，
所以，扇形OAC的面积为 .
故答案为： .
18．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿
孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、
和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体 ，其中 的下半部分是半径为
的球 的一部分， 的上半部分是半径为3的球 的一部分，且 ，则过直线 的平面截
所得截面的面积为__________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】设N是两球面的一个公共点，且位于截面上，
由 ，得 ，
故 ，从而 ．
所以截面面积为 ．
故答案为：
19．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知 ，将 绕原点 沿顺时针方向旋转
45°到 的位置，则 点的坐标为______.
【答案】
【解析】由向量 ，可得 ，
设 ，可得 ，
将 绕原点 沿顺时针方向旋转 到 的位置，可得 ，
可得 ，
，
设 ，可得 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
20．（2023·河北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，角 的顶点为 ，始边与 轴的非负半轴重
合，终边与圆 相交于点 ，则 ___________.
【答案】
【解析】因为角 的终边与圆 相交于点 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
21．（2023·全国·高三专题练习）在 内，使 成立的 的取值范围是____
【答案】
【解析】根据三角函数线，角度终边落在直线 右下方时，满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司又当 在 时， 成立的 的取值范围是 ，
如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足 ，
又当 在 时， 成立的 的取值范围是
综上所述，所求范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
22．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针
旋转 到点 ，那么点 坐标为__________，若直线 的倾斜角为 ，则其斜率为__________．
【答案】
【解析】设点 为角 终边上一点，如图所示， ．
由三角函数的定义可知： ， ，
则 ，则直线 的倾斜角为 ，
将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，
得直线 的倾斜角为 ，
且点 在 角的终边上，由三角函数定义可得点 的坐标为 ，
即 ，且 ，则 ．
故答案为： ．
1．（2023·全国·模拟预测）用一个圆心角为 ，面积为 的扇形 （ 为圆心）围成一个圆锥（点
恰好重合），该圆锥顶点为 ，底面圆的直径为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，高为 ．
∵扇形的圆心角为 ∴ ，∴
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长∴ ，∴
∴ ∴ ∴ ．故选：
A．
2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令函数 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，则 ，于是 ，即 ；
当 时， ，则 ，所以 ，
而 ，于是 ，即 ；综上： .故选：C
3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，
质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且 .质点A以 的角速度按顺时针方向运动，
质点B同时以 的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．经过1 后，扇形AOB的面积为
B．经过2 后，劣弧 的长为
C．经过6 后，质点B的坐标为
D．经过 后，质点A，B在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【解析】对于 ，由题意可知：经过1 后， ，
所以此时扇形AOB的面积为 ，故选项 错误；
对于 ，经过2 后， ，
所以此时劣弧 的长为 ，故选项 正确；
对于 ，经过6 后，质点 转过的角度为 ，结合题意，此时质点 为角 的终边与单位
圆的交点，所以质点B的坐标为 ，故选项 错误；
对于 ，经过 后，质点 转过的角度为 ，质点 转过的角度为 ，因为
，所以经过 后，质点 ， 在单位圆上第一次相遇，故选项 正确，
故选： .
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学科网（北京）股份有限公司4．（2023·全国·模拟预测）已知角 为锐角，角 、2 、 的始边均与x轴的非负半轴重
合，角 的终边经过点 ，且角 的终边与角 的终边关于角 的终边对称，则 的
值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】∵角 的终边经过点 ，∴ ．
由 ，解得 或 ．
∵ ，∴ ，∴ ，即 （舍），故 ．
∵角 的终边与角 的终边关于角 的终边对称，
∴ ，解得 ．
∴ .
故选：A．
5．（2023春·辽宁大连·高一育明高中校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．角 终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4小时，时针转了
D．若角 和角 的终边关于 对称，则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】对于A，因为角 终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点 的横坐标和纵坐标异号，故
；
因为 ，所以 或 ，
故角 终边上点坐标 对应为： 或 即 或 ，所以角 终边在第二
象限或第四象限，
综上，角 终边在第二象限或第四象限的充要条件是 ，故A正确；
对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，
所以弦所对的圆心角为 ，故B正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是 ，其中每小时旋转 ，
所以经过4小时应旋转 ，故C错误；
对于D，角 和角 的终边关于直线 对称，则 ， ，故D正确.
故选：C
6．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某
校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角
形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点
C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆
弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为 ，
设第 段圆弧的半径为 ，则可得 ，
故数列 是以首项 ，公差 的等差数列，则 ，
则“蚊香”的长度为 .
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先证明：当0＜x＜ 时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S OAP＜S OAP＜S OAT，
△ 扇形 △
即
所以 ＜ ＜ ，即
所以
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学科网（北京）股份有限公司又由函数 在 上单调递增，所以
又由函数 在 上单调递减，则
所以
所以 ，即
故选：C．
8．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）（多选）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点
，以x轴非负半轴为始边作锐角 ， ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ，P，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．扇形 的面积为
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学科网（北京）股份有限公司C．
D．当 时，四边形 的面积为
【答案】AD
【解析】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以 ，故A正确；
选项B：因为 ，
所以扇形 的面积 ，
故B错误；
选项C，
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学科网（北京）股份有限公司故C错误；
选项D：
因为 ，
所以
故D正确故选：AD.
9．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
当角 终边在第二象限时，
当角 终边在第三象限时，
当角 终边在第四象限时， 因此函数的值域为 ，故选C.
10．（2023·全国·高三对口高考）点 从 出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点 ，记
，则 __________；若以 为斜边，作等腰 ，则直线 的斜率为__________.
【答案】 或
【解析】由题意得， ， ， ，
所以 ；
由题意， 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的斜率为 或 .
故答案为： ； 或 .
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学科网（北京）股份有限公司23
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学科网（北京）股份有限公司
