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[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
解析：选B.对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可
能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行
于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的
两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，
所以D不正确．综上可知选B.
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(
)
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m α，n β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
⊂ ⊂
D．若m∥n，m∥α，则n∥α
解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m α，n β，则
α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.
⊂ ⊂
3．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(
)
A．垂直 B．相交不垂直
C．平行 D．重合
解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面
LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且
PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，
即平面LMN∥平面PQR.
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD
上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，
则( )A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面
BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形
EFGH是梯形．
5.在正方体ABCDABC D 中，E，F，G分别是AB，BC ，BB 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
给出下列四个推断：
①FG∥平面AADD；
1 1
②EF∥平面BC D；
1 1
③FG∥平面BC D；
1 1
④平面EFG∥平面BC D.
1 1
其中推断正确的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选A.因为在正方体ABCDABC D 中，E，F，G分别是AB，BC ，BB 的中点，所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
FG∥BC ，因为BC ∥AD，所以FG∥AD，
1 1 1 1
因为FG⊄平面AADD，AD 平面AADD，所以FG∥平面AADD，故①正确；
1 1 1 1 1 1 1
因为EF∥AC ，AC 与平面BC D 相交，所以EF与平面BC D 相交，故②错误；
1 1 1 1 ⊂ 1 1 1 1
因为E，F，G分别是AB，BC ，BB 的中点，
1 1 1 1 1
所以FG∥BC ，因为FG⊄平面BC D，BC 平面BC D，
1 1 1 1 1 1
所以FG∥平面BC D，故③正确；
1 1 ⊂
因为EF与平面BC D 相交，所以平面EFG与平面BC D 相交，故④错误．故选A.
1 1 1 1
6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN
平行的是________．
解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
因为AB 平面ABD，MN⊄平面ABD，AB 平面ABC，MN⊄平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
⊂ ⊂
答案：平面ABD与平面ABC
7．如图，正方体ABCDABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平
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面ABC，则线段EF的长度等于________．
1解析：因为EF∥平面ABC，EF 平面ABCD，平面ABCD∩平面ABC＝AC，
1 1
所以EF∥AC，所以F为DC的中点．
⊂
故EF＝AC＝.
答案：
8.如图所示，在正四棱柱ABCDABC D 中，E，F，G，H分别是棱CC ，
1 1 1 1 1
C D，DD，DC的中点，N是 BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运
1 1 1
动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面BBDD .(注：请填上你
1 1
认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD ，HN∥BD，FH∩HN＝H，
1
DD ∩BD＝D，
1
所以平面FHN∥平面BBDD ，只需M∈FH，则MN 平面FHN，
1 1
所以MN∥平面BBDD .
1 1 ⊂
答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)
9.如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面AECF所
1
截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC ＝3，BE＝1.
1
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
1
(2)求BF的长．
解：(1)证明：由已知得平面ABE∥平面DCC F，平面AECF∩平面ABE＝AE，平面
1 1
AECF∩平面DCC F＝C F，
1 1 1
所以AE∥C F，同理可得AF∥C E，所以四边形AECF是平行四边形．
1 1 1
(2)在CC 上取点H，使CH＝1，可得四边形BCHE为矩形，即可 得
1
四边形ADHE为平行四边形，
所以DH∥AE，AE∥FC ，
1
所以四边形FDHC 为平行四边形，所以FD＝3－1＝2，
1
所以BF＝＝2.
10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，
EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
⊂
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
⊂
因为M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
⊂
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
[综合题组练]
1．(创新型)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDABC D 内灌进一些水，固定容器
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底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱AD 始终与水面所在平面平行；
1 1
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；
对于③因为AD∥BC，BC∥FG，
1 1
所以AD∥FG且AD⊄平面EFGH，
1 1 1 1
所以AD∥平面EFGH(水面)．
1 1所以③是正确的；
因为水是定量的(定体积V)．
所以S ·BC＝V，
△BEF
即BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.
2．(应用型)在三棱锥SABC中，△ABC是边长为6的正三角
形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于
D，E，F，H，且它们分别是AB，BC，SC，SA的中点，那么四边形
DEFH的面积为( )
A．18 B．18 C．36 D．36
解析：选A.因为D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点， 所
以DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平 行
四边形，且HD＝SB＝6，DE＝AC＝3.如图，取AC的中点O，连 接
OB，SO，因为SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，
AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB， 则
HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.
3．(应用型)在正方体ABCDABC D 中，M，N，Q分别是棱DC ，AD，BC的中点，点P
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在BD 上且BP＝BD.则以下四个说法：
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①MN∥平面APC；
②C Q∥平面APC；
1
③A，P，M三点共线；
④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________(填序号)．
解析：①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，
易得AM，CN交于点P，即MN 平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；
②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C Q，AN 平面APC，
⊂ 1
所以C Q∥平面APC是正确的；
1 ⊂
③由①知A，P，M三点共线是正确的；
④由①知MN 平面APC，
又MN 平面MNQ，
⊂
所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
⊂
答案：②③
4.如图所示，正方体ABCDABC D 的棱长为a，点P是棱AD
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上一点，且AP＝，过B，D，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线
1 1
CD上，则PQ＝________．
解析：因为平面ABC D∥平面ABCD，而平面BDP∩平面
1 1 1 1 1 1ABCD＝PQ，平面BDP∩平面ABC D＝BD，
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所以BD∥PQ.
1 1
又因为BD∥BD，所以BD∥PQ，
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设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，
所以△APM∽△DPQ.
所以＝＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
所以＝＝，
所以PM＝BD，又BD＝a，
所以PQ＝a.
答案：a
5．(应用型)在如图所示的多面体中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，
AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4DE＝4.
(1)在AC上求作点P，使PE∥平面ABF，请写出作法并说明理由；
(2)求三棱锥ACDE的高．
解：(1)取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP.此时
P为所求作的点(如图所示)．
下面给出证明：因为BC＝2AD，G为BC的中点，
所以BG＝AD.
又因为BC∥AD，
所以四边形BGDA是平行四边形，
故DG∥AB，即DP∥AB.
又AB 平面ABF，DP⊄平面ABF，
所以DP∥平面ABF.
⊂
因为AF∥DE，AF 平面ABF，DE⊄平面ABF，
所以DE∥平面ABF.
⊂
又因为DP 平面PDE，DE 平面PDE，PD∩DE＝D，
所以平面PDE∥平面ABF，
⊂ ⊂
因为PE 平面PDE，
所以PE∥平面ABF.
⊂
(2)在等腰梯形ABCD中，因为∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4，
所以可求得梯形的高为，从而△ACD的面积为×2×＝.
因为DE⊥平面ABCD，
所以DE是三棱锥EACD的高．
设三棱锥ACDE的高为h.
由V ＝V ，可得×S ×h＝S ×DE，即×2×1×h＝×1，解得h＝.
ACDE EACD △CDE △ACD故三棱锥ACDE的高为.
6．如图，四棱柱ABCDABC D 的底面ABCD是正方形．
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(1)证明：平面ABD∥平面CDB；
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(2)若平面ABCD∩平面BDC＝直线l，证明BD∥l.
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证明：(1)由题设知BB 綊DD ，
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所以四边形BBDD是平行四边形，
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所以BD∥BD.
1 1
又BD⊄平面CDB，
1 1
BD 平面CDB，
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所以BD∥平面CDB.
⊂ 1 1
因为AD 綊BC 綊BC，
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所以四边形ABCD 是平行四边形，
1 1
所以AB∥DC.
1 1
又AB⊄平面CDB，
1 1 1
DC 平面CDB，
1 1 1
所以AB∥平面CDB.
⊂ 1 1 1
又因为BD∩AB＝B，
1
所以平面ABD∥平面CDB.
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(2)由(1)知平面ABD∥平面CDB，
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又平面ABCD∩平面BDC＝直线l，
1 1
平面ABCD∩平面ABD＝直线BD，
1
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCDABC D 中，四边形BDD B 为平行四边形，
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所以BD∥BD，
1 1
所以BD∥l.
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