文档内容
第 30 节 双曲线
基础知识要夯实
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F (|F F |＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F F |且大于
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零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学
表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
(1)若 a < c ，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若 a > c ，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图 形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称轴：坐标轴；对称中
对称性
心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0，－a)，A (0，a)
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性
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
质
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长度|A A |＝2a；线段
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实虚轴 B B 叫做双曲线的虚轴，它的长度|B B |＝2b；a叫做双曲
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线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝c＋a，|
1 2 1min
PF | ＝c－a.
2min
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F ，F 为双曲线的两个焦点，且∠F PF ＝
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θ，则△F PF 的面积为.
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基本技能要落实
考点一 双曲线的标准方程
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双
曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.x2－＝1
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是
________________.
【方法技巧】
1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在 x轴还是y轴上，设出标准方程，再
由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双
曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点二 双曲线的定义及应用
【例2】(1)(2021·合肥质检)－＝4表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2) B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2) D.－＝1(y≥2)
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F PF ＝60°，则
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△F PF 的面积为________.
1 2
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|
PA|的最小值为________.
【方法技巧】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方
程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF |－|PF ||＝2a，运
1 2
用平方的方法，建立与|PF |·|PF |的联系.
1 2
【跟踪训练】
1.(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F ，F ，离心率
1 2
为.P是C上一点，且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4，则a＝( )
1 2 1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
2.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶
点C的轨迹方程是( )
A.－＝1(x>2) B.－＝1(y>2)
C.－＝1 D.－＝1
考点三 双曲线的性质
【例3】(2022·东北三省三校联考)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作双曲线
2
一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若F2P＝3F2A，则双曲线C的渐近
线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±2x D.y＝±x
【例4】(1)(2022·重庆调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点到渐近线的距离为，则
该双曲线的离心率为( )
A.2 B.2
C. D.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B
为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
【方法技巧】
双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是由－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关
于e的方程(或不等式)求解.【跟踪训练】
1.(2022·北京东城区综合练习)双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线与直线 x＝1交于A，B
两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F ，F ，一条渐近线为l，过点
1 2
F 且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF |＝2|MF |，则双曲线C的离心率为(
2 1 2
)
A. B.
C. D.
考点四 双曲线几何性质的综合应用
【例4】(1)已知M(x ，y )是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是C的两个焦点，若
0 0 1 2
MF1·MF2<0，则y 的取值范围是( )
0
A. B.
C. D.
(2)(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF
为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
(3)(2021·淮南一模)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的直线
1 2 2
交双曲线右支于A，B两点，若△ABF 是等腰三角形，且∠A＝120°，则△ABF 的周长
1 1
为( )
A.＋8 B.4(－1)
C.＋8 D.2(－2)
【方法技巧】1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、
对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识
的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【跟踪训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8
C.16 D.32
2.(2021·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为 F ，F ，在双
1 2
曲线上存在点P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，2] B.[2，＋∞)
C.(1，] D.[，＋∞)
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知 、 为双曲线 的焦点， 为 与双曲线 的交点，
且有 ，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知双曲线 上有一点P到一个焦点距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．4或20 B．20 C．4 D．6或18
3．已知 是双曲线 的右焦点，过点 作垂直于 轴的直线交于双曲线
于 两点， 分别为双曲线的左、右顶点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 于
点 ，且 为线段 的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
4．双曲线 的焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知椭圆 ，双曲线 为 的焦点， 为 和
的交点，若 的内切圆的圆心的横坐标为2， 和 的离心率之积为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知平行于 轴的直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 、 两点，
为坐标原点，若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ．P是C上一
1 2
点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
8．若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等
于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
9．设F为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆
x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
10．已知 ， 为双曲线 的焦点， 为 与双曲线 的交点，且有
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．11．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，
若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
12．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且焦距为 ，则双曲线焦点到渐
近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近
1 2 1
线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极
图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的
半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点
视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
15．双曲线 的两条渐近线的方程为______.
16．已知双曲线 的左焦点为 ，点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
，则双曲线 的渐近线方程为__________.三、解答题
17．已知双曲线E： 的离心率为2，点 在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点 的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
18．已知双曲线 ： 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，一条渐近线
的倾斜角为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）经过点 的直线与双曲线的右支交与 两点，与 轴交与 点，点 关于原点的对称点为
点 ，求证： ．
19．已知点 在双曲线 上．
（1）求正数 的值；
（2）求双曲线C上的动点P到定点 的距离的最小值．
20．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线 的左、右准线与其一条
渐近线 的交点分别为 ， ，四边形 的面积为4.
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知 为圆 的切线，且与 相交于 ， 两点，求 .
21．已知双曲线方程为 ， ， 为双曲线的左､右焦点，离心率为 ，点P为双曲线在
第一象限上的一点，且满足 ， .（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点 作直线 交双曲线于 两点，则在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值，
若存在，请求出 的值和该定值，若不存在，请说明理由.
22． 年 月 日，四川汶川发生里氏 级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的 处空
降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路 、 送到矩形灾民区 中去，若 ，
， ， ，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道
路 送药较近，而另一侧的点沿道路 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方
程.
