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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 30 练 数列求和（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得
，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累
乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题
目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到
，最后由裂项相消法求得 ．
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
4．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，再结合错
位相减法可得解.
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .
5．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
6．（2021·天津·统考高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的
等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公
式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即
可得证.
7．（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【综合训练】
一、解答题
1．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立关于 的方程组，然后解出即可得答案；
（2）利用分组求和法求出答案即可.
【详解】（1）∵ ，∴ ， ，解得 ，∴ ；
（2）由题可知 ，∴ ，
∴ ，
2．设等比数列 的前 项和为 ，公比 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解： ，解得 ，
；
（2）
.
3．在等差数列 中，
(1)求 的通项公式；(2)若 是公比为2的等比数列， ，求数列 的通项及前 项和 .
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）设公差为 ，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的通项求出数列 的通项，即可得出数列{ }的通项，再利用分组求和法即可得
解.
【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得 ，
则 ，所以 ，
所以 ；
（2） ，
因为 是公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ，.
所以
.
4．在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式和前n项和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和公式 ．【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出结果.
【详解】（1）公差 不为零的等差数列 中， ，又 成等比数列，
所以 ，即 ，
解得 ，
则 ，
.
（2）由（1）可知， ，
可得数列 的前 项和
.
5．设正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 、 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得 ，即可证明.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，又 ，则 ；
当 时， ， ，两式相减，
整理可得 ，又 为正项数列，即 ，
所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
6．已知数列 ， 满足 ，且 ，数列 是公差为1的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由等差数列定义得 ，即 ，再由 且 求 的通项公式，注意验
证 的情况；
（2）令 ，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求结果.
【详解】（1）由题设 ，又 是公差为1的等差数列，
所以 ，故 ，
又 且 ，则 ，
故 ，显然 也满足，
综上， .
（2）令 ，
则 ，
所以
，
所以 .
7．记等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，求m的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据下标和定理及 得出 ，结合 即可求出 ，进而写出通项公式；
（2）首先写出 的表达式，由裂项相消法得出 ，由 解出 即可．
【详解】（1）设 的公差为d，因为 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ．
所以 ．
（2）因为 ，
所以
，
由 ，解得 ，
所以 ．
8．已知递增数列 满足 ．
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)Sn= .
【分析】（1）由题可得 ，然后根据等差数列的概念即得；（2）利用错位相减法即得.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，
若 ，则 ，又 ，
所以数列 为首项为7公差为4的等差数列；
若 ，由 ，得 ， （舍去）；
综上： ；
（2）由（1）知， ，所以数列 的前n项和，
作差可得：
，
所以 ，
故 的前n项和为Sn= .
9．已知在公差不为零的等差数列 中， ， 是 与 的等比中项，数列 的前n项和为 ，
满足
(1)求数列 与 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设出公差，根据等比中项列出方程，求出公差，得到通项公式，并根据
得到 为公比为2的等比数列，求出通项公式；
（2）在（1）的基础上，利用错位相减法求出和.
【详解】（1）由题意得 ，设公差为 ，
又 ，所以 ，解得 或0，
因为公差不等于0，所以 ，
故 ；
①中，当 得 ，解得 ，
当 时， ②，①－②得 ，即 ，
中，当 时， ，解得 ，满足 ，
故 为公比为2的等比数列，故 ；
（2） ，
，故 ，
两式相减得，
解得 .
10．数列 满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对数的运算和等比数列的定义证明；
（2）利用分组求和以及错位相减法求和.
【详解】（1）
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得， ，所以 ，
设 设其前 项和为 ，
则 ①
②
减②得所以
所以
11．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据 ，作差求出公比 ，即可得出答案；
（2）由（1）得 ，可得 ，利用分组求和法计算可得．
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
①， ，
当 时，有 ，
当 时， ②，
由① ②得 ，即 ，
， ，
，
；（2）由（1）得 ，则 ，
， ，
，
．
12．已知公差不为零的等差数列 的首项为1，且 是一个等比数列的前三项，记数列 的前
项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前20项的和．
【答案】(1) ，
(2)210
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；
（2）利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，又 ，所以 ．
因为 是一个等比数列的前三项，所以 ．
即 又 ，所以
所以数列 的通项公式为 ，
（2）由（1）知数列 的前 项和
所以 ，数列 的前20项的和为13．设数列 满足
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等比数列定义证明并求通项公式即可；
（2）求得 ，对 用错位相减求和，即可求得答案.
【详解】（1）
，
数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，则 .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，且数列 前 项和为 ，
则 ①，
②，
由①-②得，
则 ，
所以
14．从① ；② ；③ 三个选项中，任选一个填入下列空白处，并
求解.已知数列 ， 满足 ，且 ， ，______，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选① ，选② ，选③
【分析】先根据递推公式可得 ，进而得到 .选①：化简可得 ，直接可得 ；
选②：化简可得 ，再代入裂项求和即可；选③： ，错位相减求和即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ， .
选①： ，
所以 ，
选②： ，所以 ，
选③： ，所以 ，
，
两式相减，可得
15．已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 ， 别是数列的 ， 前
项和，且 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得 ，运用等比数列的求和公式和裂项相消求和的方法，计算可得所求和.
【详解】（1）∵数列 ， 都是等差数列，且 ， ，
∴ ，即 ，解得
∴ ， .
综上， ，（2）由（1）得：
∴
16．设数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，求得数列 的通项公式，即可求出 的通项公式；
（2）由题知 ，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，
所以 ，即 ，
则 ，
当 时， ，解得 ，则 ，
从而 是首项为2，公比为2的等比数列，
故 ，即 ；（2）由（1）知 ，
所以 ．
17．已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据 与 的关系即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得 ，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1） ①，
当 时， ，解得 .
当 时， ②，
①-②，得 ，所以 ，
又 ，符合上式，故 .
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 ，
则.
18．设 为数列 的前n项和，已知 ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据等差数列定义可得 ，利用 与 之间关系可证得数列 为等差数列，由
等差数列通项公式可求得 ；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）由题意得： ；
当 时， ，又 ， ；
当 且 时， ，
整理可得： ，
， ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， .
（2）由（1）得： ，.
19．已知数列 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求证: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意， ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ，
所以
数列 的前n项和为，
由 得 ，即证 .
20．已知 是等差数列， 是等比数列， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)将 ， 的项从小到大排序，组成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，若 ，求 的
值，并求出 ．
【答案】(1) ， ．
(2) ，2726
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项的性质即可分别求出通项.
（2）由（1）知 ， ， ，若 ，则含 前 项， 前
项，然后利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
故 ．
因为 ，
所以 ，即 ， ，
故 ．
（2）因为 与 均为递增数列，且 ， ， ，
所以当 时， ，故 ．
．
21．已知数列 满足 ， .
(1)记 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前2n项和 .
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；
（2）利用（1）中的结果求数列 的通项公式，并结合并项求和运算求解.
【详解】（1）由题意可知： ，
且 ，
所以数列 是以首项 ，公比 的等比数列，
可得 .
（2）由（1）可知： ，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ；综上所述： .
可得当 为奇数时， ，
则
，
所以 .
22．已知数列 的首项 .
(1)证明： 为等比数列；
(2)证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对 两边加1，变形可得 ，从而可证得结论；
（2）由（1）可求出 ，则可求出 ，然后利用裂项相消法可求出 ，
再利用放缩法可证得结论.
【详解】（1）
，
，
又是以4为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
，
，
，
.
23．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；
（2）先根据等比数列的通项公式可得 ，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，即 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知 ，所以 .
所以
，
当 为偶数时，可得 ；
当 为奇数时，可得 ；
综上所述： .
24．已知数列 满足 ，数列 为等比数列且公比 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，若 ，记数列 满足 求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的关系可得 公比，再进而可得 为等差数列即可；（2）由 得， ，再根据分组求和方法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
令 得 ，又数列 为等比数列，设公比为 有 ，而 ，解得 ，则 ，
因此 ，即数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 .
（2）由①知数列 是公比为2的等比数列，
由 得， ，
解得 ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶
数项是以4为首项4为公比的等比数列，所以
25．已知函数 关于点 对称，其中 为实数.
(1)求实数 的值；
(2)若数列 的通项满足 ，其前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；（2）根据倒序相加法，可得答案.
【详解】（1）由题知 ，即 ，
整理得 ，解得 ；
（2）由题知， ，且 ，
则 ，
又 ，
故 ，
即 .
26．已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出当 时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1） ，再根据错位相减求解可得 ，再化简不等式可得 ，再
设 ，根据作差法判断 的单调性，进而可得最大值.
【详解】（1） ，当 时， ，
两式相除得； ，
又 符合上式，故 ；
（2） ，
，
，
错位相减得：
，
，
即 ，由 ，得 ，
设 ，则 ，
故 ，
由 ，
由 可知， 随着 的增大而减小，
故 ，
故 恒成立，知 单调递减，
故 的最大值为 ，则
27．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的正整数 ， 与2的等差中项等于 与
2的等比中项.(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知 与2的等差中项等于 与2的等比中项，推出 并由此得出 ，进而得 的
递推关系，从而推得数列 的通项公式；
（2）要证 ，即证 ，将 看作每项都减去
1，故令 ，利用 的通项公式求得 ，并利用裂项相消法求和，进而得证.
【详解】（1）由题意，有 ，整理得 ，
则 ，所以 ，
, ,
整理得 ，
由题意知 ，∴ ,
∴数列 为等差数列，其中 ，公差 ,
∴ ，
即 通项公式为 ；
（2）要证 ，即证 ，
，令 ,
则 ，
故
，
∴ .
【点睛】关键点点睛：令 ，并利用裂项相消法求和，是解决第二问的关键.
28．已知函数 ，对任意 ，都有 ．
(1)求 的值．
(2)数列 满足： ，求数列 前 项和 ．
(3)若 ，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意令 ，即可得解；
（2）令 可得 ，再利用倒序相加法得到 ，从而得到，最后利用错位相减法计算可得；
（3）利用放缩法得到 ，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为对任意 ，都有 ，
令 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，
令 ，则 ，
①，
又 ②，
两式相加得：
，
所以 ．
，
所以 ③，
④，
③ ④可得，
，
所以 ；
（3）由（2）可知 ，所以 ，
所以
，
所以 .
29．已知各项都为正数的等比数列 的前 项和为 ，数列 的通项公式 ，
若 ， 是 和 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由 ， ，结
合题设条件，即可求解；
（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.
【详解】（1）∵数列 的通项公式 ，
∴ ，设各项都为正数的等比数列 的公比为 ，则 ，
∵ ，∴ ，①
∵ 是 和 的等比中项，∴ ，解得 ，②
由①②得 ，解得 或 （舍去），
∴ ；
（2）
当 为偶数时，
，
设 ，③
则 ，④
③减④，得 ，
∴ ，∴ ，
当 为奇数，且 时，
，
经检验， 符合上式，
∴30．函数 ，数则 满足 .
(1)求证： 为定值，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值
范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）计算 为定值2，用倒序相加法求得 通项公式；
（2）由（1）得 ，裂项相消求和得 ，求出 的取值范围.
【详解】（1）证明：
，
则 ，
，
两式相加，得 ，即 .
（2）由（1）， ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列， ，
，
，
由题， ，所以 ，因为 ，
设 ， ，
由对勾函数的性质，当 时， 最小，即 ，
所以当 时， 最大，即 ，
所以 .
31．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的 ，都有 ．
（ ）写出数列 的前 项．
（ ）求数列 的通项公式（写出推证过程）．
（ ）设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 的值．
【答案】（1） ， ， （2） （3） 的最小值是 ．
【详解】分析：（1）在 中，令 ，求 ；令 ，求 ；令 ，可求 ；（2）根据
与 的固定关系 ，得 ，化简整理可得 是首项为 ，公差为 的等
差数列，从而可得结果；（3）把（2）题中 的递推关系式代入 ，根据裂项相消法求得 ，可得
，解不等式 即可得到对所有 都成立的最小整数 .
详解：（ ） 时 ，∴ ；
时 ，∴ ；时 ，∴ ．
（ ）∵ ，
∴ ，
两式相减得： 即 ，
也即 ，
∵ ，
∴ ，
即 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，
（3） ，
．
∵ 对所有 都成立，
∴ 即 ．
故 的最小值是 ．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）
； （3） ；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结
果错误.
32．设数列 的前项n和为 ，若对于任意的正整数n都有 .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式．
（2）求数列 的前n项和.
【答案】（1）见解析 ； （2） .
【分析】（1）利用数列的递推关系式，化简，变形为 ，即可得到 ，证得数列为
等比数列，进而求得 的通项公式；
（2）利用“乘公比错位相减法”，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解．
【详解】（1）由题意，数列 满足 ，
当 时，则 ，解得 ，
当 时，则 ，整理得 ，
所以 ，即 ，即 ，
又由 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，即 ，解得 ，
即数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）可得 ，
设 ，
，
所以 ，
又由 ，
所以数列 的前n项和为：
．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题
目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之
后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
