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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 30 练 数列求和（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
4．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
5．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的
等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
7．（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【综合训练】
一、解答题
1．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 .
2．设等比数列 的前 项和为 ，公比 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .
3．在等差数列 中，
(1)求 的通项公式；
(2)若 是公比为2的等比数列， ，求数列 的通项及前 项和 .
4．在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式和前n项和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和公式 ．5．设正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 的前 项和为 ，求证： .
6．已知数列 ， 满足 ，且 ，数列 是公差为1的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .
7．记等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，求m的值．
8．已知递增数列 满足 ．
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
9．已知在公差不为零的等差数列 中， ， 是 与 的等比中项，数列 的前n项和为 ，
满足(1)求数列 与 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
10．数列 满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和为 .
11．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
12．已知公差不为零的等差数列 的首项为1，且 是一个等比数列的前三项，记数列 的前
项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前20项的和．
13．设数列 满足
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；(2)数列 满足 ，求 的值.
14．从① ；② ；③ 三个选项中，任选一个填入下列空白处，并
求解.已知数列 ， 满足 ，且 ， ，______，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
15．已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 ， 别是数列的 ， 前
项和，且 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
16．设数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
17．已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .18．设 为数列 的前n项和，已知 ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
19．已知数列 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求证: .
20．已知 是等差数列， 是等比数列， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)将 ， 的项从小到大排序，组成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，若 ，求 的
值，并求出 ．
21．已知数列 满足 ， .
(1)记 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前2n项和 .
22．已知数列 的首项 .(1)证明： 为等比数列；
(2)证明： .
23．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前项和 .
24．已知数列 满足 ，数列 为等比数列且公比 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，若 ，记数列 满足 求数列 的前 项和 .
25．已知函数 关于点 对称，其中 为实数.
(1)求实数 的值；
(2)若数列 的通项满足 ，其前 项和为 ，求 .
26．已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．27．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的正整数 ， 与2的等差中项等于 与
2的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求证： .
28．已知函数 ，对任意 ，都有 ．
(1)求 的值．
(2)数列 满足： ，求数列 前 项和 ．
(3)若 ，证明：
29．已知各项都为正数的等比数列 的前 项和为 ，数列 的通项公式 ，
若 ， 是 和 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
30．函数 ，数则 满足 .(1)求证： 为定值，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值
范围.
31．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的 ，都有 ．
（ ）写出数列 的前 项．
（ ）求数列 的通项公式（写出推证过程）．
（ ）设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 的值．
32．设数列 的前项n和为 ，若对于任意的正整数n都有 .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式．
（2）求数列 的前n项和.
