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第 30 练 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知抛物线 上一点 到 轴的距离是2，则点 到焦点 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】
到 轴的距离是2，可得 ，焦点
则点 到焦点的距离为2.
故选:B.
2．已知椭圆C： 的左右焦点分别为F、F，过左焦点F，作直线交椭圆C于
1 2 1
A、B两点，则三角形ABF 的周长为（ ）
2
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【详解】
由题意椭圆的长轴为 ，由椭圆定义知
∴
故选：C
3．已知双曲线C： 的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】
双曲线 的一条渐近线为 ，
将 代入得 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：C
4．若方程 表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
【答案】D
【详解】
由题设， ，可得 .
故选：D
5．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过 的直线与抛物线交于
A，B两点，与准线 交于C点，若 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
【答案】A
【详解】
如图，过A，B向 作垂线，垂足分别为D，E，则 .
设 ， ，因为 ， ，
所以 .因为 ，所以 ， .
设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，则 .
因为 ，
所以 或 .
因为 ，所以 ，故 .
故选：A
6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽
以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的
现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举
办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲
的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥
运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为
26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为 ，若双曲线C以
为焦点、以直线 为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
依题意，以点 为原点，直线 为x轴建立平面直角坐标系，如图，点 ，
设双曲线C的方程为 ，其渐近线为 ，因直线 为一条渐近
线，
则有 ，双曲线C的离心率为 .
故选：B
7．已知 是椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 ，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在椭圆 中，由椭圆的定义可得 ，
因为 ，所以 ，在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 所以 所以 的离心率 .
故选：C
8．已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【详解】
因为 ，
所以 ，
又
记 ，则 ，
②2-①整理得： ，所以
故选：A
9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的
交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 ：的蒙日圆方程为 ， ， 分别为椭圆 的左、右焦点.
离心率为 ， 为蒙日圆上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于
P，Q两点，若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为椭圆 的离心率 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以椭圆 的蒙日圆的半径为 .
因为 ，所以 为蒙日圆的直径，
所以 ，所以 .
因为 ，当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为： .
由 面积的最大值为36，得 ，得 ，进而有 ， ，
故椭圆 的长轴长为 .
故选：B
10．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与
双曲线C有一个交点P，设 的面积为S，若 ，则双曲线C的离
心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
【答案】C
【详解】
依题意， ，令 ， ，则有 ，
由 得： ，即有
，而 ，所以 .
故选：C
二、多选题
11．已知曲线 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示双曲线，则
B．若曲线 表示椭圆，则 且
C．若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线且离心率为 ，则
D．若曲线 与椭圆 有公共焦点，则
【答案】BCD
【详解】
解：对于A：若曲线 ： 表示双曲线，则 ，解得 或
，故A错误；
对于B：若曲线 ： 表示椭圆，则 ，解得 且 ，故
B正确；
对于C：若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线且离心率为 ，则 ，
所以 ，则 ，解得 ，故C正确；
对于D：椭圆 的焦点为 ，
若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，则 ，则 ，解得
（舍去）；
若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，则 ，则 ，解
得 ，符合题意，故 ，故D正确；
故选：BCD12．在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的大小为 ，
点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为 ，点M到平面ABC的距离为 ，
若 ，则（ ）
A． B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧 D．点M的轨迹长度为
【答案】AD
【详解】
解：在 中，因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，故A正确.
过点M作AB的垂线，垂足为G，作平面ABC的垂线，垂足为H，过点M作PA的垂线，
垂足为N，连接HG.
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故B错误，
点 的轨迹是 的角平分线，故C错误，
设 的角平分线为AQ，在 中，由余弦定理得 ，
由角平分线定理得 ，又因为 ，则 ，
在 中，所以 ，所以点M的轨迹长度为 ，所以D正确.
故选：AD.
三、解答题
13．已知椭圆C： 的左右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，
点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 为椭圆上不与 重合的任意一点，直线 分别与直线 相交于点 ，
求证： .
【解析】(1)
由题知： ，
将点 代入方程得： ，解得 ，
椭圆C的标准方程为 .
(2)
由(1)知 ， .
设 ，则 ，
直线 的方程为 ，
令 ，则 ，即 ，
直线 的方程为 ，
令 ，则 ，即
，即 .
14．已知点 与点 的距离比它到直线 的距离小 ，若记点 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线 的方程；(2)若直线 与曲线 相交于 两点，且 ．求证直线 过定点，并求出该定点的坐
标．
【解析】(1)
点 与点 的距离比它到直线 的距离小 ，
点 与点 的距离和点 到直线 的距离相等，
由抛物线定义知：点 轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
即曲线 的方程为： .
(2)
设 ， ， ，
由 得： ，则 ，即 ；
， ，
， ；
， ，即 ；
当 时， ， 恒过定点 .
15．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为A，且 ，
到C的渐近线的距离为1，过点 的直线 与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线
AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，
请说明理由.
【答案】(1) (2)是定值，
【解析】(1)
由题意得 ， ，渐近线方程为 ，
则 到渐近线的距离为 ，
又因为 ，
所以 ， ， ，故双曲线 的标准方程为 .
(2)
设直线 ： ， ， ， ，
联立方程组 得 ，
所以 ， .
因为直线 的方程为 ，
所以 的坐标为 ，同理可得 的坐标为 .
因为 ， ，
所以
，
即 为定值 .
